تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة مثلثية الرياضيات

أوجد قيمة ‎∫_‎(−𝜋‏/‏٤)^(−𝜋‏/‏٦) (٤ + 𝜋 جتا ٩ﺱ) ﺩﺱ.

٠٦:٢٦

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة التكامل المحدد من سالب 𝜋 على أربعة إلى سالب 𝜋 على ستة لأربعة زائد 𝜋 في جتا تسعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

مطلوب منا إيجاد قيمة التكامل المحدد لثابت زائد دالة مثلثية. نحن نعلم كيف نوجد قيم التكاملات المحددة باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. سنبدأ إذن بتذكر جزء النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل الذي يوضح لنا كيفية إيجاد قيم التكاملات المحددة.

ينص هذا الجزء على أنه إذا كانت الدالة ﺩ متصلة على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ، وﻕ شرطة ﺱ يساوي ﺩﺱ، فإن التكامل المحدد من ﺃ إلى ﺏ للدالة ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي قيمة ﻕ عند ﺏ ناقص قيمة ﻕ عند ﺃ. بعبارة أخرى، إذا كانت الدالة التي سيتم تكاملها متصلة على فترة التكامل، وكانت لدينا المشتقة العكسية للدالة التي سيتم تكاملها، يمكننا إذن إيجاد قيمة التكامل المحدد باستخدام المشتقة العكسية. فهو يساوي قيمة ﻕ عند ﺏ، أي الحد العلوي للتكامل، ناقص قيمة ﻕ عند ﺃ، أي الحد السفلي للتكامل.

دعونا نبدأ بإيجاد التكامل للقيم المعطاة في السؤال. نلاحظ أن الحد العلوي للتكامل هو سالب 𝜋 على ستة، والحد السفلي للتكامل هو سالب 𝜋 على أربعة. إذن ﺃ يساوي سالب 𝜋 على أربعة، وﺏ يساوي سالب 𝜋 على ستة. بعد ذلك، نجعل ﺩﺱ الدالة التي سيتم تكاملها، وهي تساوي أربعة زائد 𝜋 في جتا تسعة ﺱ.

تذكر أنه لكي نستخدم النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، علينا التأكد من أن الدالة التي سيتم تكاملها متصلة على فترة التكامل. وفي هذا السؤال، نلاحظ أن الدالة التي سيتم تكاملها هي مجموع دالتين متصلتين. فهي مكونة من ثابت زائد دالة مثلثية. نحن نعلم أن جتا تسعة ﺱ دالة متصلة لجميع قيم ﺱ الحقيقية. إذن الدالة التي سيتم تكاملها هي مجموع دالتين متصلتين لجميع قيم ﺱ الحقيقية. وهذا يعني تحديدًا أن ﺩ ستكون دالة متصلة على فترة التكامل. وبهذا نكون قد أثبتنا أن الجزء الأول متحقق لدينا.

علينا الآن إيجاد المشتقة العكسية للدالة التي سيتم تكاملها. هناك عدة طرق مختلفة لذلك. ولكن الطريقة الأسهل هي استخدام ما نعرفه عن التكاملات غير المحددة. تذكر أن التكاملات غير المحددة هي طريقة لإيجاد المشتقات العكسية. ونحن نعرف كيف نفعل هذا حدًّا تلو الآخر.

أولًا، تكامل الثابت أربعة بالنسبة إلى ﺱ يساوي أربعة ﺱ. بعد ذلك، لكي نحسب تكامل الحد الثاني، علينا أن نتذكر إحدى نتائج التكامل القياسية للدوال المثلثية. بالنسبة إلى أي ثابت حقيقي ﺃ لا يساوي صفرًا، فإن تكامل جتا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي جا ﺃﺱ مقسومًا على ﺃ زائد ثابت التكامل ﺙ. قيمة ﺃ هنا تساوي تسعة. إذن، نحصل على 𝜋 في جا تسعة ﺱ الكل مقسوم على تسعة. ونضيف ثابت التكامل ﺙ. وهذا يعطينا المشتقة العكسية للدالة التي سيتم تكاملها.

في الواقع، هذه مشتقة عكسية لأي قيمة للثابت ﺙ. لكننا بحاجة إلى دالة واحدة فقط لنجري عليها التكامل. لذا، سنجعل قيمة ﺙ تساوي صفرًا. وهذا يعطينا: الدالة ﻕﺱ تساوي أربعة ﺱ زائد 𝜋 في جا تسعة ﺱ مقسومًا على تسعة.

بعد أن أوجدنا المشتقة العكسية وأثبتنا أن التكامل متصل على فترة التكامل بأكملها، نحن الآن مستعدون لاستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لإيجاد قيمة التكامل المحدد. نجد أن هذا التكامل المحدد يساوي أربعة ﺱ زائد 𝜋 في جا تسعة ﺱ مقسومًا على تسعة عند حدي التكامل سالب 𝜋 على أربعة، وسالب 𝜋 على ستة.

لا يتبقى لنا الآن سوى حساب ذلك عند حدي التكامل. نبدأ بالحد العلوي للتكامل عند ﺱ يساوي سالب 𝜋 على ستة. نعوض بـ ﺱ يساوي سالب 𝜋 على ستة في المشتقة العكسية. وهذا يعطينا: أربعة في سالب 𝜋 على ستة زائد 𝜋 في جا تسعة في سالب 𝜋 على ستة الكل مقسوم على تسعة. وإذا حسبنا قيمة هذا المقدار، فسنحصل على سالب خمسة 𝜋 على تسعة.

سنفعل الأمر نفسه مع الحد السفلي للتكامل. تذكر أنه علينا طرح هذه القيمة. إذن، نعوض بـ ﺱ يساوي سالب 𝜋 على أربعة في المشتقة العكسية. وهذا يعطينا: أربعة في سالب 𝜋 على أربعة زائد 𝜋 في جا تسعة في سالب 𝜋 على أربعة مقسومًا على تسعة. يمكننا الآن البدء في التبسيط مرة أخرى. أولًا، أربعة في سالب 𝜋 على أربعة يساوي سالب 𝜋. بعد ذلك، إذا حسبنا 𝜋 في جا سالب تسعة 𝜋 على أربعة مقسومًا على تسعة، فسنحصل على سالب جذر اثنين 𝜋 مقسومًا على ١٨. وهكذا نكون قد بسطنا هذا المقدار بأكمله لنحصل على: سالب خمسة 𝜋 على تسعة ناقص سالب 𝜋 ناقص جذر اثنين 𝜋 مقسومًا على ١٨.

وأخيرًا، إذا حسبنا هذا المقدار، فسنحصل على جذر اثنين 𝜋 مقسومًا على ١٨ زائد أربعة 𝜋 على تسعة، وهذه هي الإجابة النهائية. إذن، باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل وما نعرفه عن التكاملات غير المحددة للدوال المثلثية، أوجدنا أن قيمة التكامل المحدد من سالب 𝜋 على أربعة إلى سالب 𝜋 على ستة لأربعة زائد 𝜋 في جتا تسعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي جذر اثنين 𝜋 مقسومًا على ١٨ زائد أربعة 𝜋 على تسعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.