نسخة الفيديو النصية
أوجد التكامل غير المحدد لسالب اثنين ﺱ ناقص خمسة الكل تربيع على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
أولًا، هيا نفك أقواس بسط الكسر في التكامل. نحصل على سالب اثنين ﺱ ناقص خمسة الكل تربيع. وهذا يساوي سالب اثنين ﺱ ناقص خمسة في سالب اثنين ﺱ ناقص خمسة. بضربهما معًا، نحصل على أربعة ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ زائد ١٠ﺱ زائد ٢٥، وهو ما يبسط إلى أربعة ﺱ تربيع زائد ٢٠ﺱ زائد ٢٥.
والآن، يمكننا إعادة كتابة هذا في التكامل. وهذا يعطينا التكامل غير المحدد لأربعة ﺱ تربيع زائد ٢٠ﺱ زائد ٢٥ الكل مقسوم على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. الآن، نستطيع تقسيم هذا الكسر. الآن، لدينا تكامل أربعة ﺱ تربيع على ﺱ زائد ٢٠ﺱ على ﺱ زائد ٢٥ على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
الآن نلاحظ أنه في أول كسرين لدينا ﺱ في كل من البسط والمقام. لذلك يمكننا إلغاء رموز الـ ﺱ. وهذا يعطينا التكامل غير المحدد لأربعة ﺱ زائد ٢٠ زائد ٢٥ على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
هيا نر كيف نجري عملية تكامل لكل حد من هذه الحدود على حدة. أول حدين هنا، أربعة ﺱ زائد ٢٠، يمثلان كثيرة حدود. لذلك يمكننا أن نجري لهما عملية تكامل ببساطة، وذلك بزيادة أس ﺱ بمقدار واحد وقسمته على الأس الجديد. وهكذا بالنسبة إلى الحد أربعة ﺱ سنحصل على أربعة ﺱ تربيع. والأس الجديد هو اثنان. لذا يجب القسمة على اثنين.
والآن، الحد الثاني هو ٢٠. يمكننا كتابته في صورة ٢٠ في ﺱ أس صفر حيث إن ﺱ أس صفر يساوي واحدًا. لذا حين نزيد أس ﺱ بمقدار واحد، نحصل على ٢٠ في ﺱ أس واحد. ثم سنقسم على الأس الجديد، وهو واحد.
الآن، الحد الثالث، ٢٥ على ﺱ، حسابه أصعب قليلًا. يجب أن نتذكر القاعدة التي تقول إن تكامل واحد على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ. إلا أن لدينا في حالتنا تكاملًا لـ ٢٥ على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وحيث إن ٢٥ مجرد عدد ثابت، فيمكننا أن نأخذه عاملًا خارج علامة التكامل ونكتب ٢٥ في تكامل واحد على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
وقد كتبنا للتو أن تكامل واحد على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ. لذلك هذا يساوي ٢٥ في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ. والآن، يمكننا إضافة هذا الحد. وأخيرًا، يجب ألا ننسى أنه بما أن هذا تكامل غير محدد، فعلينا إضافة ثابت التكامل. وبذلك، نحصل على موجب ﺙ في النهاية.
بهذا نكون قد توصلنا إلى الحل. علينا فقط أن نبسطه. سنحصل على حل نهائي وهو أن التكامل غير المحدد لسالب اثنين ﺱ ناقص خمسة الكل تربيع على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي اثنين ﺱ تربيع زائد ٢٠ﺱ زائد ٢٥ في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد ﺙ.
