فيديو الدرس: التمثيلات البيانية للدوال الكسرية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نمثل بيانيًّا الدوال الكسرية التي تكون مقاماتها خطية، ونحدد أنواع خطوط تقاربها، ونصف سلوكها الطرفي.

الدالة الكسرية هي كسر جبري حيث يكون كل من البسط والمقام من كثيرات الحدود. على سبيل المثال، دﺱ يساوي خمسة ﺱ زائد سبعة على اثنين ﺱ ناقص واحد عبارة عن دالة كسرية. من المهم ملاحظة أن الدالة كثيرة الحدود الاعتيادية، مثل رﺱ يساوي ثلاثة ﺱ ناقص خمسة، هي أيضًا دالة كسرية. إذ يمكننا إعادة كتابة ثلاثة ﺱ ناقص خمسة على الصورة ثلاثة ﺱ ناقص خمسة على واحد؛ حيث واحد هو كثيرة حدود من الدرجة الصفرية.

لكن الدوال كثيرات الحدود الاعتيادية، مثل رﺱ، تختلف قليلًا عن الدوال الكسرية الأخرى. ويرجع ذلك إلى أنه يمكن استخدام أي قيمة لـ ﺱ في مجال ر، في حين أن الدالة الكسرية التي تحتوي على كثيرة الحدود من الدرجة الأولى في المقام، مثل كثيرة الحدود هذه، يكون لها قيمة واحدة لـ ﺱ تساوي عندها كثيرة الحدود صفرًا. ومن ثم، تكون الدالة دﺱ غير معرفة. وفي هذه الحالة، إذا كان اثنان ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا، فإن ﺱ يساوي نصفًا. لذلك، يجب استبعاد القيمة نصف من مجال ﺩ؛ لأن الدالة غير معرفة عند هذه القيمة.

أبسط دالة كسرية تتضمن كثيرة حدود من درجة غير صفرية في المقام، هي دالة المقلوب دﺱ يساوي واحدًا على ﺱ. التمثيل البياني للدالة ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ يكون على شكل قطع زائد، يبدو بهذا الشكل. يكون القطع الزائد متماثلًا حول الخطين ﺹ يساوي ﺱ وﺹ يساوي سالب ﺱ. في الربع الأول، يقترب المنحنى من الخط ﺹ يساوي صفرًا دون أن يمسه أبدًا عندما يئول ﺱ إلى ∞. الخط ﺹ يساوي صفرًا، أو المحور ﺱ، يسمى خط التقارب. يقترب المنحنى أيضًا من الخط ﺹ يساوي صفرًا في الربع الثالث، لكن هذه المرة من الأسفل عندما يئول ﺱ إلى سالب ∞. وبالمثل، يقترب المنحنى من ∞ عندما يئول ﺱ إلى صفر من الاتجاه الموجب، ومن سالب ∞ عندما يئول ﺱ إلى صفر من الاتجاه السالب. إذن، التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ له خط تقارب أفقي عند ﺹ يساوي صفرًا، وخط تقارب رأسي عند ﺱ يساوي صفرًا.

يمكن استخدام هذه الدالة البسيطة ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ وإجراء تحويلات هندسية على الدالة للحصول على تمثيلات بيانية مختلفة لدوال كسرية مختلفة. في المثال الأول، سنحدد التمثيل البياني لدالة كسرية باستخدام التحويل الهندسي للدالة من التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ.

أي التمثيلات البيانية الآتية يمثل دﺱ يساوي واحدًا على ﺱ زائد واحد؟

دعونا نبدأ بتذكر التمثيل البياني لأبسط دالة كسرية؛ وهي ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ. يحتوي هذا التمثيل البياني على خط تقارب أفقي عند ﺹ يساوي صفرًا، وخط تقارب رأسي عند ﺱ يساوي صفرًا. يمكننا إيجاد التمثيل البياني للدالة دﺱ يساوي واحدًا على ﺱ زائد واحد باستخدام تحويل هندسي على الدالة ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ. ولتحويل الدالة واحد على ﺱ إلى واحد على ﺱ زائد واحد، فإننا ببساطة نحول ﺱ إلى ﺱ زائد واحد. والآن، تذكر أن تحويل الدالة هندسيًّا بتحويل ﺱ إلى ﺱ زائد ﺃ، تقابله إزاحة أفقية إلى اليسار بمقدار ﺃ من الوحدات. ومن ثم، فإن التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ زائد واحد هو نفسه التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ بإزاحة إلى اليسار بمقدار وحدة واحدة.

بالنظر إلى الإجابات المحتملة، يمكننا ملاحظة أن التمثيل البياني (ج) هو نفسه التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ بإزاحة إلى اليسار بمقدار وحدة واحدة. وخط تقاربه الرأسي ﺱ يساوي صفرًا تمت إزاحته إلى اليسار عند ﺱ يساوي سالب واحد. وخط تقاربه الأفقي عند ﺹ يساوي صفرًا لم يتغير.

والآن، سنلقي نظرة على مثال عكسي؛ حيث سيكون لدينا تمثيل بياني ومطلوب منا إيجاد الدالة.

ما الدالة الممثلة في الشكل الآتي؟

في البداية، لاحظ أن التمثيل البياني المعطى يشبه التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ. يمكننا الحصول على هذا التمثيل البياني من التمثيل البياني للدالة الأصلية ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ بإجراء بعض التحويلات الهندسية على الدالة. التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ له خط تقارب أفقي عند ﺹ يساوي صفرًا، وخط تقارب رأسي عند ﺱ يساوي صفرًا. والتمثيل البياني المعطى له أيضًا خط تقارب رأسي عند ﺱ يساوي صفرًا، لكن خط التقارب الأفقي له عند ﺹ يساوي سالب ثلاثة. وهذا يعني أن الإزاحة بمقدار ثلاث وحدات لأسفل هي أحد التحويلات الهندسية المستخدمة للحصول على التمثيل البياني المعطى من التمثيل البياني للدالة الأصلية. قبل إجراء هذه الإزاحة الرأسية، علينا أولًا أن نتحقق مما إذا كان هناك أي تحويلات هندسية أخرى للدالة؛ لأن ترتيب التحويلات الهندسية المستخدمة على الدالة مهم جدًّا.

هناك ثلاثة أنواع مختلفة من التحويلات الهندسية يجب وضعها في الاعتبار؛ وهي الانتقال والتمدد والانعكاس. لقد رأينا بالفعل أن هناك انتقالًا بمقدار ثلاث وحدات لأسفل. بالنظر إلى هاتين النقطتين الموضحتين على التمثيل البياني المعطى، نجد أنه إذا نقلنا هاتين النقطتين بمقدار ثلاث وحدات لأعلى، فسنحصل على النقطتين سالب واحد، واحد؛ وواحد، سالب واحد. من الواضح أن هاتين النقطتين لا تقعان على التمثيل البياني للدالة الأصلية ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ. ومن ثم، لا بد من وجود تحويل هندسي آخر على الأقل. تبدو هاتان النقطتان مماثلتين للنقطتين سالب واحد، سالب واحد؛ وواحد، واحد. هاتان النقطتان تبعدان إحداهما عن الأخرى المسافة نفسها، كما أن لهما القيم المطلقة نفسها لإحداثيات ﺱ وﺹ. لذلك لا يبدو أن هناك أي تمدد؛ حيث إن التمدد هو الذي يزيد المسافة بين النقطتين أو ينقصها.

يبدو أن التمثيل البياني المعطى مقلوب مقارنة بالتمثيل البياني للدالة الأصلية. وبشكل أكثر تحديدًا، قيمة ﺹ تقترب من موجب ∞ عندما يئول ﺱ إلى صفر من الاتجاه السالب. وتقترب من سالب ∞ عندما يئول ﺱ إلى صفر من الاتجاه الموجب. وهذا بالضبط هو السلوك المعاكس لمنحنى الدالة الأصلية، وهذا يعني وجود انعكاس. ونظرًا لتماثل التمثيل البياني للدالة الأصلية ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ، فإن الانعكاس حول المحور ﺱ هو نفسه الانعكاس حول المحور ﺹ. لذا، سنفترض أن هذا انعكاس حول المحور ﺱ.

عند الجمع بين التحويلات الهندسية، لا بد أن تتم تحويلات التمدد والانعكاس قبل تحويلات الانتقال. والانعكاس حول المحور ﺱ يعني أننا بدلنا إشارة قيم ﺹ لجميع النقاط على التمثيل البياني. إذن، دﺱ يتحول إلى سالب دﺱ. هذا يعني أننا نضرب الدالة الأصلية في سالب واحد. إذن، نضرب الدالة الأصلية واحد على ﺱ في سالب واحد لنحصل على سالب واحد على ﺱ. دعونا نفرغ بعض المساحة، وننظر إلى التمثيل البياني الذي يمثل المعلومات التي لدينا حتى الآن؛ ﺹ يساوي سالب واحد على ﺱ. حسنًا، لقد انعكس التمثيل البياني حول المحور ﺱ. والنقطة سالب واحد، سالب واحد أصبحت سالب واحد، واحد، والنقطة واحد، واحد أصبحت واحد، سالب واحد. هاتان هما النقطتان اللتان حصلنا عليهما على التمثيل البياني المعطى عند الإزاحة بمقدار ثلاث وحدات لأعلى.

إذن، كل ما علينا فعله الآن هو إجراء انتقال بمقدار ثلاث وحدات لأسفل. الانتقال الرأسي بمقدار ﺟ من الوحدات يعني إضافة ﺟ إلى قيم ﺹ لجميع النقاط على التمثيل البياني. إذن، دﺱ تتحول إلى دﺱ زائد ﺟ. وستوضح إشارة ﺟ الاتجاه الذي يتحرك فيه التمثيل البياني. إذا كانت قيمة ﺟ موجبة فإنه سيتحرك لأعلى، وإذا كانت سالبة فسيتحرك لأسفل. وعليه، لنقل هذا التمثيل البياني ثلاث وحدات إلى أسفل، نطرح ثلاثة من دﺱ. إذن، سالب واحد على ﺱ يتحول إلى سالب واحد على ﺱ ناقص ثلاثة. إذن، التمثيل البياني المعطى يمثل الدالة دﺱ تساوي سالب واحد على ﺱ ناقص ثلاثة. ويمكننا التعويض بالنقطتين الأصليتين سالب واحد، سالب اثنين؛ وواحد، سالب أربعة لتوضيح أنهما تحققان هذه المعادلة.

في المثال التالي، سنحدد البارامترات الناقصة في دالة كسرية من التمثيل البياني المعطى.

يمثل الرسم البياني الآتي ﺹ يساوي ﻙ على ﺱ ناقص ﺃ زائد ﺏ. هناك نقطة واحدة محددة على الرسم البياني. ما قيم الثوابت ﺃ وﺏ وﻙ؟

دعونا نبدأ بملاحظة أن هذا التمثيل البياني يشبه التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ. يمكننا الحصول على التمثيل البياني المعطى من التمثيل البياني للدالة الأصلية ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ عن طريق إجراء بعض التحويلات الهندسية على الدالة. التمثيل البياني للدالة الأصلية ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ له خط تقارب أفقي عند ﺹ يساوي صفرًا، وخط تقارب رأسي عند ﺱ يساوي صفرًا. والتمثيل البياني المعطى يحتوي على خط تقارب أفقي عند ﺹ يساوي سالب اثنين، وخط تقارب رأسي عند ﺱ يساوي ثلاثة. هذا يعني أن الإزاحة لأسفل بمقدار وحدتين وإلى اليمين بمقدار ثلاث وحدات، هي أحد التحويلات الهندسية للدالة للحصول على هذا التمثيل البياني من التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ.

لكن قبل إجراء عملية الانتقال هذه، علينا أولًا التحقق مما إذا كان هناك أي تحويلات أخرى؛ لأن ترتيب التحويلات الهندسية مهم للغاية. هناك ثلاثة أنواع مختلفة من التحويلات الهندسية يجب وضعها في الاعتبار؛ وهي الانتقال والتمدد والانعكاس. التمثيل البياني المعطى له نفس اتجاه التمثيل البياني للدالة الأصلية، لذا يمكننا استبعاد الانعكاس. يمكن أن يكون التمدد من التحويلات الهندسية المستخدمة، لكن من الصعب الجزم بذلك بمجرد النظر. وبما أن لدينا النقطة ستة، سالب واحد على التمثيل البياني، يمكننا استخدام هذه النقطة لتحديد معامل التمدد، إذا كان موجودًا. تذكر أنه عند الجمع بين التحويلات الهندسية، لا بد أن تتم تحويلات التمدد والانعكاس قبل تحويلات الانتقال.

تذكر أن التمدد الأفقي بمعامل التمدد ﺩ واحد يعني أننا نحول ﺱ إلى ﺱ على ﺩ واحد. بعبارة أخرى، تناقصت قيم ﺱ لجميع النقاط على التمثيل البياني بمعامل ﺩ واحد. والتمدد الرأسي بمعامل التمدد ﺩ اثنين يعني تحويل دﺱ إلى ﺩ اثنين في دﺱ. بعبارة أخرى، نضرب جميع قيم ﺹ على التمثيل البياني في المعامل ﺩ اثنين. سنبدأ بالدالة الأصلية دﺱ يساوي واحدًا على ﺱ ونجري تمددًا أفقيًّا، فنحصل على واحد على ﺱ على ﺩ واحد.

وبعد ذلك، نجري تمددًا رأسيًّا؛ حيث نضرب الدالة دﺱ الجديدة في ﺩ اثنين، وهو ما يعطينا ﺩ اثنين على ﺱ على ﺩ واحد. وهذا يبسط إلى ﺩ واحد في ﺩ اثنين على ﺱ. ‏ﺩ واحد في ﺩ اثنين هو ثابت آخر. لذا، يمكننا أن نسمي هذا الثابت ﻙ. إننا لا نعرف قيمة ﻙ حتى الآن. علينا أولًا المتابعة إلى عمليات الانتقال. مواضع خطوط التقارب لا تتأثر بالتمدد. لذلك، فإن الاحتمال الوحيد هو تغير موضعي خطي التقارب من خلال الانتقال بمقدار وحدتين لأسفل وثلاث وحدات إلى اليمين. الانتقال الرأسي بمقدار ﺟ من الوحدات يعني تحويل دﺱ إلى دﺱ زائد ﺟ. إذن، يمكننا تغيير جميع قيم ﺹ للنقاط الموجودة على التمثيل البياني من ﺹ إلى ﺹ زائد ﺟ. إذا كان ﺟ موجبًا، فإن هذا يعني أن التمثيل البياني يتحرك لأعلى، وإذا كان سالبًا فإن هذا يعني أنه يتحرك لأسفل.

في هذه الحالة، علينا إجراء التمدد أولًا. إذن، الدالة الأصلية واحد على ﺱ تتحول إلى ﻙ على ﺱ. ومن ثم، لنقل هذا بمقدار وحدتين لأسفل، نحصل على ﻙ على ﺱ ناقص اثنين. والآن، تذكر أنه للانتقال الأفقي بمقدار ﺟ من الوحدات، فإننا نحول جميع قيم ﺱ إلى ﺱ ناقص ﺟ. مرة أخرى، قيمة ﺟ ستحدد الاتجاه؛ حيث موجب ﺟ يعطينا إزاحة لليمين، وسالب ﺟ يعطينا إزاحة لليسار. لكن الإشارة ستعكس بالطبع؛ لأننا نطرح ﺟ من ﺱ. إذن لإجراء إزاحة بمقدار ثلاث وحدات إلى اليمين، بدءًا من ﻙ على ﺱ ناقص اثنين، علينا تغيير قيم ﺱ إلى ﺱ ناقص ثلاثة. وهذا يعطينا ﻙ على ﺱ ناقص ثلاثة ناقص اثنين. إذن، هذا التمثيل البياني يمثل الدالة دﺱ تساوي ﻙ على ﺱ ناقص ثلاثة ناقص اثنين. وبهذا نكون قد أوجدنا اثنين من بارامترات السؤال. ‏ﺃ يساوي ثلاثة وﺏ يساوي سالب اثنين.

والآن كل ما علينا فعله هو إيجاد قيمة ﻙ. تحتوي هذه المعادلة على ثلاث قيم مجهولة. هذه القيم هي دﺱ وﺱ وﻙ. لدينا هنا نقطة على التمثيل البياني وهي ستة، سالب واحد. وهذا يناظر قيمتي دﺱ وﺱ على الترتيب، اللتين يمكننا التعويض بهما في المعادلة ثم إعادة ترتيبها لإيجاد ﻙ. إذن، لدينا دﺱ يساوي سالب واحد وﺱ يساوي ستة. بتبسيط المعادلة وإعادة ترتيبها، نحصل على ﻙ يساوي ثلاثة. إذن، لدينا الآن قيم الثوابت الثلاثة. ‏ﺃ يساوي ثلاثة، وﺏ يساوي سالب اثنين، وﻙ يساوي ثلاثة.

في المثال السابق، رأينا مدى صعوبة تحديد تمدد التمثيل البياني بمجرد النظر. لذا، استخدمنا معامل التمدد المجهول ﻙ، ثم أوجدنا معامل التمدد هذا باستخدام نقطة على التمثيل البياني. على وجه التحديد، إذا بدأنا بدالة المقلوب ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ وأجرينا تمددًا أفقيًّا بمعامل تمدد ﺩ واحد، فسنحصل على واحد على ﺱ على ﺩ واحد. وعند إجراء تمدد رأسي بمعامل تمدد ﺩ اثنين نحصل على ﺩ اثنين على ﺱ على ﺩ واحد، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ﺩ واحد ﺩ اثنين على ﺱ.

ونظرًا لأن ﺩ واحد وﺩ اثنين يضربان أحدهما في الآخر في النهاية، فإن هذا التحويل لا يحدث فرقًا بين التمدد الأفقي والرأسي. على سبيل المثال، إذا كان معامل التمدد الأفقي ﺩ واحد يساوي واحدًا، ومعامل التمدد الرأسي ﺩ اثنين يساوي اثنين، فسنحصل على اثنين على ﺱ. وبالمثل، إذا كان معامل التمدد الأفقي يساوي اثنين، وكان معامل التمدد الرأسي يساوي واحدًا، فإننا نحصل على النتيجة نفسها؛ اثنين على ﺱ. وهذا مثال واضح على تماثل دالة المقلوب، لكن الأمر يتجاوز ذلك.

إذا أجرينا انعكاسًا للدالة حول المحور ﺱ بعد إجراء تمدد أفقي وتمدد رأسي، فإننا نبدل إشارة دﺱ. وهذا يعطينا سالب ﺩ واحد ﺩ اثنين على ﺱ. وبالمثل، إذا عكسنا الدالة حول المحور ﺹ، فسنغير إشارة ﺱ، وهو ما يعطينا ﺩ واحد ﺩ اثنين على سالب ﺱ. وبإعادة ترتيب ذلك، نحصل على النتيجة نفسها الناتجة عن الانعكاس حول المحور ﺱ. وعلاوة على ذلك، كما فعلنا في المثال السابق، يظل هذا البسط عددًا ثابتًا، ويمكننا تسميته ﻙ.

إذن بعد إجراء التمدد الأفقي والتمدد الرأسي والانعكاس حول أحد المحورين أو كليهما، نحصل على ﻙ على ﺱ. وعليه، يمثل هذا الثابت القياسي ﻙ جميع تحولات التمدد الأفقية والرأسية وجميع الانعكاسات. وهذا يبسط عملية التحويل الهندسي للدالة بشكل كبير؛ حيث يمكننا حساب جميع عمليات التمدد والانعكاس بالضرب في الثابت ﻙ.

والآن، يتبقى لدينا الانتقال. يمكننا إجراء انتقال أفقي بمقدار ﺃ من الوحدات بتحويل ﺱ إلى ﺱ ناقص ﺃ. ثم ننقل التمثيل البياني رأسيًّا بمقدار ﺏ من الوحدات بإضافة ﺏ إلى قيم ﺹ. وعليه، فإن القطع الزائد الذي له خط تقارب رأسي عند ﺱ يساوي ﺃ وخط تقارب أفقي عند ﺹ يساوي ﺏ، هو التمثيل البياني للدالة الكسرية دﺱ تساوي ﻙ على ﺱ ناقص ﺃ زائد ﺏ؛ حيث ﻙ لا يساوي صفرًا.

في المثال التالي، سنستخدم ذلك لتحديد نطاق قيم بارامتر مجهول في التمثيل البياني المعطى لدالة كسرية.

يعبر التمثيل البياني الآتي عن ﺹ يساوي ﻙ على ﺱ ناقص ثلاثة ناقص اثنين. نلاحظ أن خطي تقارب المنحنى يتقاطعان عند النقطة ثلاثة، سالب اثنين، وأن النقطتين ٠٫٥، سالب ١٫٥ وسالب ١٫٥، سالب واحد تقعان أسفل المنحنى وأعلاه على الترتيب. أوجد الفترة التي تقع فيها ﻙ.

تذكر أولًا أن القطع الزائد، الذي له خط تقارب أفقي عند ﺱ يساوي ﺃ وخط تقارب رأسي عند ﺹ يساوي ﺏ، هو التمثيل البياني للدالة دﺱ تساوي ﻙ على ﺱ ناقص ﺃ زائد ﺏ؛ حيث ﻙ لا يساوي صفرًا. في هذه الحالة، يكون خط التقارب الرأسي عند ﺱ يساوي ثلاثة. إذن، ﺃ يساوي ثلاثة. وخط التقارب الأفقي عند ﺹ يساوي سالب اثنين. إذن، ﺏ يساوي سالب اثنين. وهذا يطابق المعادلة المعطاة للدالة دﺱ يساوي ﻙ على ﺱ ناقص ثلاثة ناقص اثنين.

لا يمكننا تحديد قيمة ﻙ بالضبط إذا لم يكن لدينا أي من النقاط على التمثيل البياني، وهذا هو الوضع بالفعل. بدلًا من ذلك، لدينا نقطة واحدة أعلى منحنى الدالة وأخرى أسفله، ويمكن استخدامهما لتحديد الفترة التي يجب أن يقع فيها ﻙ. انظر إلى النقطة التي تقع أعلى المنحنى؛ ١٫٥، سالب واحد. بما أن هذه النقطة تقع أعلى المنحنى، فإن قيمة ﺹ لها أكبر من دﺱ عند هذه النقطة. بعبارة أخرى، ﺩ لـ ١٫٥ أقل من قيمة ﺹ لهذه النقطة؛ أي أقل من سالب واحد. وعليه، فإن ﻙ على ١٫٥ ناقص ثلاثة ناقص اثنين أقل من سالب واحد. بنقل اثنين إلى الطرف الآخر ثم تبسيط المتباينة، نحصل على سالب ﻙ على ١٫٥ أصغر من واحد. بإعادة الترتيب لإيجاد قيم ﻙ، تكون قيمة ﻙ أكبر من سالب ١٫٥. إذن، لدينا الآن الحد السفلي لـ ﻙ، ويساوي سالب ١٫٥.

والآن، دعونا ننظر إلى النقطة الأخرى أسفل المنحنى؛ وهي ٠٫٥، سالب ١٫٥. بما أن هذه النقطة تقع أسفل المنحنى، فإن قيمة ﺹ لها أقل من قيمة ﺹ لـ دﺱ عند هذه النقطة. بعبارة أخرى، ﺩ لـ ٠٫٥ أكبر من سالب ١٫٥، ما يعني أن ﻙ على ٠٫٥ ناقص ثلاثة ناقص اثنين أكبر من سالب ١٫٥. بنقل اثنين إلى الطرف الأيسر ثم تبسيط المتباينة، يصبح لدينا سالب ﻙ على ٢٫٥ أكبر من ٠٫٥. عند الحل لإيجاد قيم ﻙ، نجد أن الحد العلوي هو ﻙ. إذن ﻙ أصغر من سالب ١٫٢٥. هذا يعطينا الإجابة النهائية؛ أي الفترة التي يقع فيها ﻙ. ‏ﻙ أكبر من سالب ١٫٥ وأصغر من سالب ١٫٢٥.

دعونا الآن نختتم هذا الفيديو بتلخيص بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها. على عكس التمثيل البياني لكثيرة الحدود غير الثابتة، قد يكون للتمثيل البياني لدالة كسرية خطوط تقارب رأسية وأفقية؛ أي الخطوط المستقيمة التي قد يقترب منها المنحنى ولكن لا يمسها أبدًا. التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ عبارة عن قطع زائد له خط تقارب أفقي ﺹ يساوي صفرًا، وخط تقارب رأسي ﺱ يساوي صفرًا. وأخيرًا، القطع الزائد الذي له خط تقارب رأسي ﺱ يساوي ﺃ وخط تقارب أفقي ﺹ يساوي ﺏ، هو التمثيل البياني المحول هندسيًّا للدالة الكسرية دﺱ تساوي ﻙ على ﺱ ناقص ﺃ زائد ﺏ؛ حيث ﻙ لا يساوي صفرًا.