نسخة الفيديو النصية
حدد منحنى الدالة ﺩ ﺱ تساوي نصف جا ﺱ.
إن الدالة المراد تحديد منحناها هي تحويل لمنحنى دالة الجيب. سنبدأ بتذكر شكل منحنى دالة الجيب نفسها، بعد ذلك سنتناول كيفية تحويله.
علينا أن نتذكر الشكل العام لدالة الجيب؛ فهي تكون على صورة منحنى أملس يتذبذب بين القيمة الصغرى والقيمة العظمى له. وهاتان القيمتان الصغرى والعظمى هما سالب واحد وموجب واحد، على الترتيب. الدالة دورية وطول دورتها ٣٦٠ درجة أو اثنان 𝜋 راديان. لذا يتكرر النمط نفسه بعد كل فترة لها هذا الطول. يمر منحنى دالة الجيب بنقطة الأصل. ومن ثم، جا صفر درجة أو جا صفر راديان يساوي صفرًا. توجد جذور دالة الجيب عند كل مضاعف صحيح لـ 𝜋. وهي 𝜋، واثنان 𝜋، وثلاثة 𝜋، وأربعة 𝜋 راديان، وهكذا.
لقد حددنا الآن كيف يبدو منحنى دالة الجيب. لكن الدالة التي علينا تحديد منحناها هي ﺩ ﺱ تساوي نصف جا ﺱ. إذن، دالة الجيب مضروبة في نصف. نتذكر أن ضرب دالة بأكملها في ثابت يناظر تمددًا رأسيًّا للدالة بمعامل القياس هذا. ومن ثم تمددت دالة الجيب هنا رأسيًّا بمعامل قياس يساوي نصفًا. هذا يعني أن القيمة العظمى لـ ﺩ ﺱ ستكون موجب نصف بدلًا من واحد، والقيمة الصغرى ستكون سالب نصف. لم يطرأ أي تغيير على المتغير، وعليه لا يوجد تحويل أفقي؛ لذلك لا يوجد تغيير في دورية المنحنى. من ثم، يمكننا رسم منحنى الدالة ﺩ ﺱ على نفس المحورين مثل دالة الجيب لدينا.
نعلم الآن أننا نبحث عن منحنى قيمته العظمى تساوي نصفًا وقيمته الصغرى تساوي سالب نصف. لنتناول الآن الخيارين أ وب، عند تدقيق النظر في المقياس الرأسي، يمكننا استبعاد هذين المنحنيين؛ لأن كلًّا منهما يتذبذب بين قيمة صغرى تساوي سالب اثنين وقيمة عظمى تساوي موجب اثنين. يمكننا أيضًا استبعاد المنحنى هـ لأنه يمتد إلى ما لا نهاية في الاتجاه الرأسي. في الواقع، المنحنى هـ هو منحنى دالة الظل.
يتبقى لدينا الآن المنحنيان ج ود، وكلاهما له قيمة صغرى تساوي سالب نصف أو سالب ٠٫٥ وقيمة عظمى تساوي ٠٫٥. وكل واحد منهما له أيضًا الدورة الصحيحة وهي اثنان 𝜋 راديان. كي نتمكن من التمييز بين المنحنيين، علينا إذن النظر إلى الجذور. بالنظر إلى المنحنى ج، نلاحظ أنه يمر بنقطة الأصل بالفعل، وله جذور عند كل مضاعف صحيح لـ 𝜋 راديان. أما المنحنى د، فلا يمر بنقطة الأصل، بل وتقع جذوره عند 𝜋 على اثنين، وثلاثة 𝜋 على اثنين، وسالب 𝜋 على اثنين، وسالب ثلاثة 𝜋 على اثنين، وهكذا. وعليه، يمكننا استبعاد المنحنى د لأن جذوره غير صحيحة.
إذن، منحنى الدالة ﺩ ﺱ تساوي نصف جا ﺱ، الذي هو تمدد رأسي لمنحنى جا ﺱ بمعامل قياس يساوي نصفًا، هو المنحنى بالخيار ج.