نسخة الفيديو النصية
في متتابعة هندسية وعند قيمة معينة لـ ﻥ، ﺡﻥ يساوي ستة، ﺡﻥ زائد واحد يساوي ثلاثة، ﺡ اثنين ﻥ ناقص واحد يساوي ثلاثة أثمان. أوجد الحدود الثلاثة الأولى للمتتابعة وقيمة ﻥ.
أخبرنا السؤال أن لدينا متتابعة هندسية، وهي متتابعة ذات نسبة ثابتة بين حدودها المتتالية. دعونا نسترجع سريعًا ترميز المتتابعات الهندسية، ولنبدأ بحقيقة أنه يمكننا كتابة كل حد بدلالة دليله. على سبيل المثال، يمكن كتابة الحد الأول على الصورة ﺃ أو ﺡ واحد، والحد الثاني على الصورة ﺡ اثنين، والحد الثالث على الصورة ﺡ ثلاثة. وفي المتتابعة الهندسية؛ بما أننا نضرب أي حد في ﺭ لإيجاد الحد الذي يليه، فيمكننا أيضًا تحديد أنه يمكن كتابة الحدود على الصورة ﺃ ثم ﺃﺭ ثم ﺃﺭ تربيع، وهكذا. وهذا يقودنا إلى صيغة الحد النوني في المتتابعة الهندسية وهي: ﺡﻥ يساوي ﺃ في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد؛ حيث ﻥ الدليل، وﺃ الحد الأول، وﺭ النسبة الثابتة بين الحدود.
حسنًا، دعونا نلق نظرة على ما علمناه من السؤال عن حدود هذه المتتابعة. أول معلومة لدينا هي أنه عند قيمة معينة لـ ﻥ، فإن ﺡﻥ يساوي ستة. إذن، هناك حد في موضع ما في هذه المتتابعة قيمته ستة. معطى لنا بعد ذلك حد آخر؛ وهو ﺡﻥ زائد واحد يساوي ثلاثة، ومن ثم نعلم أن هناك حدًّا في موضع ما في هذه المتتابعة قيمته ثلاثة. لكن ﺡﻥ زائد واحد هو الحد الذي يلي ﺡﻥ مباشرة. وبذلك، نعرف أن ثلاثة لا بد أن يأتي مباشرة بعد الحد الذي قيمته ستة. بعد ذلك، لدينا في السؤال حد ثالث. ﺡ اثنين ﻥ ناقص واحد يساوي ثلاثة أثمان. نحن لا نعرف بالضبط موضع هذا الحد بالنسبة إلى الحدين الآخرين المعطيين؛ لذا دعونا نكتبه فقط في مكان ما آخر في المتتابعة.
والآن، دعونا نر إذا ما يمكننا كتابة هذه الحدود الثلاثة بطريقة تربط بين ﺃ وﺭ. يمكننا كتابة الحد الأول من الحدود المعطاة وهو ﺡﻥ على الصورة ﺃ في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد. ويمكن كتابة الحد التالي ﺡﻥ زائد واحد على الصورة ﺃ في ﺭ أس ﻥ. تذكر أن هذه الصورة تأتي من حقيقة أن أس الأساس ﺭ يجب أن يكون أقل من الدليل بمقدار واحد. ويمكن كتابة الحد الأخير المعطى ﺡ اثنين ﻥ ناقص واحد على الصورة ﺃ في ﺭ أس اثنين ﻥ ناقص اثنين.
والآن، لدينا الكثير من القيم المجهولة في هذا السؤال. لكن يمكننا إيجاد قيمة ﺭ إذا كان لدينا في المتتابعة حدان متتاليان. في المتتابعة الهندسية، بما أننا نأخذ أي حد ونضربه في النسبة الثابتة للحصول على الحد التالي، فيمكننا أن نسأل أنفسنا: ما العدد الذي علينا ضربه في ستة للحصول على ثلاثة؟ حسنًا، يجب أن يكون نصفًا. وبذلك، نعرف أن أول معلومة لدينا هي أن ﺭ يساوي نصفًا. بما أننا نعلم أن ﺭ يساوي نصفًا، يمكننا إعادة كتابة ﺃ في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد على الصورة ﺃ في نصف أس ﻥ ناقص واحد، ونعلم أن هذا لا بد أن يساوي ستة.
وهكذا، إذا استخدمنا مرة أخرى حقيقة أن ﺭ يساوي نصفًا، فإنه يمكننا كتابة معادلة ثانية، وهي أن ﺃ في نصف أس ﻥ يساوي ثلاثة. يمكننا أيضًا كتابة معادلة ثالثة، وهي ﺃ في نصف أس اثنين ﻥ ناقص اثنين يساوي ثلاثة أثمان. والآن، لا يمكننا استخدام أي معادلة منفردة من هذه المعادلات في الحل؛ لأن لدينا قيمتين مجهولتين؛ هما ﺃ وﻥ. لكن يمكننا حل معادلتين من هذه المعادلات آنيًّا. لذا، دعونا نر إذا ما كان بإمكاننا أخذ أي من المعادلات وكتابتها بدلالة ﺃ.
باستخدام المعادلة الثانية، يمكننا قسمة الطرفين على نصف أس ﻥ. يمكننا كتابة مقام هذا الكسر بطريقة أفضل بأن ندرك أننا إذا قسمنا على عدد أس ﻥ، فإن هذا يكافئ الضرب في هذا العدد أس سالب ﻥ. والآن، لدينا قيمة ﺃ بدلالة ﻥ. دعونا نعوض بهذه القيمة في المعادلة الثالثة. هذا يعطينا ثلاثة في نصف أس سالب ﻥ في نصف أس اثنين ﻥ ناقص اثنين يساوي ثلاثة أثمان. لتبسيط ذلك، نتذكر إحدى قواعد الأسس التي تنص على أن ﺃ أس ﺱ مضروبًا في ﺃ أس ﺹ يساوي ﺃ أس ﺱ زائد ﺹ. ومن ثم، عندما نجمع الأسين سالب ﻥ واثنين ﻥ ناقص اثنين، نحصل على الأس ﻥ ناقص اثنين. يمكننا بعد ذلك قسمة الطرفين على ثلاثة. ثلاثة أثمان مقسومًا على ثلاثة يساوي ثلاثة على ٢٤. يمكننا تبسيط ذلك أكثر: ومن ثم نحصل على نصف أس ﻥ ناقص اثنين يساوي ثمنًا.
عند هذه المرحلة، هناك عدد من الطرق المختلفة التي يمكننا استخدامها للحل وإيجاد قيمة ﻥ. لكن ربما تكون أسهل طريقة هي التفكير في الأس كله باعتباره قيمة مجهولة. ومن ثم، نتساءل ما القوة التي نرفع نصفًا إليها لنحصل على ثمن. في الواقع، نصف تكعيب سيعطينا ثمنًا؛ لأن نصفًا في نصف يساوي ربعًا، وربع في نصف يساوي ثمنًا. وبذلك، يمكننا القول إن هذا الأس لا بد أن يساوي ثلاثة. وعليه، ﻥ ناقص اثنين يساوي ثلاثة. إذن، ﻥ لا بد أن يساوي خمسة.
بعد أن حسبنا قيمة ﻥ، دعونا نفرغ بعض المساحة ونر كيف ساعدنا ذلك في إيجاد حدود المتتابعة. إذا كان ﻥ يساوي خمسة، فهذا يعني أنه يمكننا القول إن هذا هو الحد الخامس، الذي يساوي ستة. يمكننا بعد ذلك التعويض بـ ﻥ يساوي خمسة في هذه المعادلة، أي ﺃ في نصف أس ﻥ ناقص واحد يساوي ستة. يمكننا بعد ذلك تبسيط الأس. عندما نحسب نصفًا أس أربعة، نحصل على واحد على ١٦. يمكننا بعد ذلك قسمة الطرفين على واحد على ١٦، وهو ما يكافئ الضرب في ١٦. ستة في ١٦ يساوي ٩٦. إذن، عرفنا الآن أن قيمة ﺃ تساوي ٩٦.
لقد أوجدنا قيم جميع المجاهيل في هذا السؤال. لكن حقيقة أن ﺃ يساوي ٩٦ تعطينا أيضًا الحد الأول في المتتابعة. فالحد الأول في هذه المتتابعة لا بد أن يكون ٩٦. طلب منا السؤال إيجاد الحدود الثلاثة الأولى، إذن علينا إيجاد الحدين الثاني والثالث. الحد الثاني في المتتابعة سيساوي الحد الأول مضروبًا في النسبة المشتركة ﺭ. وبما أن ٩٦ مضروبًا في نصف يساوي ٤٨، فإن الحد الثاني هو ٤٨. يمكننا إيجاد قيمة الحد الثالث في هذه المتتابعة بطريقتين مختلفتين. الطريقة الأولى هي إدراك أنه لا بد أن يساوي ٩٦ مضروبًا في نصف تربيع. أو بدلًا من ذلك، ندرك أيضًا أنه لإيجاد الحد الثالث، نضرب الحد الثاني في النسبة المشتركة التي تساوي نصفًا. كلتا الحالتين تعطينا القيمة ٢٤.
يمكننا الآن إعطاء الإجابة كاملة. طلب منا السؤال إيجاد الحدود الثلاثة الأولى للمتتابعة؛ وهي: ٩٦، ٤٨، ٢٤. ثم، طلب منا إيجاد قيمة ﻥ، ومن ثم ﻥ يساوي خمسة.
