نسخة الفيديو النصية
أوجد المشتقة العكسية ﺕ للدالة ﺩﺱ تساوي خمسة ﺱ أس أربعة زائد أربعة ﺱ تكعيب، حيث ﺕ لواحد يساوي سالب اثنين.
المشتقة العكسية العامة للدالة ﺩﺱ هي الدالة ﺕﺱ زائد ﺙ؛ بحيث تكون المشتقة الأولى لـ ﺕﺱ، أي ﺕ شرطة ﺱ، تساوي ﺩﺱ، وﺙ هو أي ثابت حقيقي. المشتقة العكسية ليست وحيدة، وهناك العديد من الدوال التي تختلف باختلاف الثابت، وتعطي المشتقة نفسها. في هذا السؤال، لدينا بعض المعطيات. قيمة المشتقة العكسية ﺕ عند ﺱ يساوي واحدًا هي سالب اثنين. وبذلك سنتمكن من إيجاد قيمة ﺙ التي تعطي مشتقة عكسية وحيدة تحقق هذا الشرط الحدي. الدالة ﺩﺱ في هذا السؤال هي دالة كثيرة الحدود. وهي مجموع حدين ثابتين كل منهما مضروب في قوة لـ ﺱ.
تكون المشتقة العكسية خطية، لذا فإن المشتقة العكسية لمجموع ما هي مجموع المشتقات العكسية. ومن ثم، يمكننا إيجاد المشتقة العكسية لكل حد على حدة، وجمعها معًا. الاشتقاق العكسي هو العملية العكسية للاشتقاق. وبتذكر قاعدة القوة للاشتقاق، فإننا نعلم أن المشتقة الأولى لـ ﺱ أس ﺃ زائد واحد على ﺃ زائد واحد تساوي ﺱ أس ﺃ، بشرط أن يكون ﺃ لا يساوي سالب واحد. ومن ثم، بالعمل بطريقة عكسية، نجد أن المشتقة العكسية العامة لـ ﺱ أس ﺃ تساوي ﺱ أس ﺃ زائد واحد على ﺃ زائد واحد زائد ثابت الاشتقاق العكسي ﺙ. مرة أخرى، ﺃ يجب ألا يساوي سالب واحد لكي تكون هذه الصيغة صحيحة.
وعليه، تكون المشتقة العكسية لثابت ما مضروبًا في ﺩﺱ تساوي هذا الثابت مضروبًا في المشتقة العكسية. بتطبيق هذه الصيغ على الحد الأول في ﺩﺱ، نجد أن المشتقة العكسية لخمسة ﺱ أس أربعة تساوي خمسة ﺱ أس خمسة على خمسة زائد الثابت ﺙ واحد. وبتطبيق الصيغ نفسها على الحد الثاني، نحصل على المشتقة العكسية أربعة ﺱ أس أربعة على أربعة زائد الثابت ﺙ اثنين. يمكننا تبسيط ذلك إلى ﺱ أس خمسة زائد ﺱ أس أربعة. ويمكن دمج ثابتي الاشتقاق العكسي، ﺙ واحد وﺙ اثنين، في ثابت واحد فقط وهو ﺙ.
هذه هي المشتقة العكسية الأكثر عمومًا ﺕ للدالة ﺩﺱ. لكن تذكر أن لدينا شرطًا حديًّا. يمكننا استخدام هذا الشرط لإيجاد الثابت ﺙ، الذي يعطينا المشتقة العكسية الوحيدة التي تحقق ﺕ لواحد يساوي سالب اثنين. بالتعويض بـ ﺱ يساوي واحد وﺕﺱ يساوي سالب اثنين، نحصل على المعادلة سالب اثنين يساوي واحدًا أس خمسة زائد واحد أس أربعة زائد ﺙ. واحد أس خمسة، وواحد أس أربعة كلاهما يساوي واحدًا. إذن بطرح اثنين من الطرفين، نجد أن قيمة ﺙ تساوي سالب أربعة.
بالتعويض بقيمة ﺙ هذه في الدالة ﺕﺱ، نحصل على الإجابة. المشتقة العكسية الوحيدة ﺕ للدالة ﺩﺱ تساوي خمسة ﺱ أس أربعة زائد أربعة ﺱ تكعيب التي تحقق ﺕ لواحد يساوي سالب اثنين هي ﺕﺱ يساوي ﺱ أس خمسة زائد ﺱ أس أربعة ناقص أربعة.
