نسخة الفيديو النصية
يتأرجح حجر كتلته 2.4 كيلوجرام في دائرة رأسية بسرعة زاوية ثابتة مقدارها 7.2 راديان لكل ثانية. ربط الحجر بحبل منتظم طوله 0.25 متر، كما هو موضح في الشكل. طول الحبل يساوي نصف قطر الدائرة أثناء حركة الحجر. ما الفرق بين مقدار القوة التي يؤثر بها الحبل على الحجر عند النقطة 𝐴؛ حيث يتجه الحبل رأسيًّا لأعلى، ومقدار القوة التي يؤثر بها الحبل على الحجر عند النقطة 𝐵؛ حيث يكون اتجاه الحبل أفقيًّا؟ قرب إجابتك لأقرب نيوتن.
حسنًا، المطلوب منا في الجزء الأول من السؤال هو إيجاد الفرق بين مقدار القوة التي يؤثر بها الحبل على الحجر عند النقطة 𝐴، أي هذه النقطة هنا؛ وبينه عند النقطة 𝐵، أي هذه النقطة هنا. نعلم أنه عند النقطة 𝐴، يتجه الحبل رأسيًّا لأعلى، بينما عند النقطة 𝐵، يكون اتجاه الحبل أفقيًّا. يخبرنا السؤال أن كتلة الحجر تساوي 2.4 كيلوجرام. إذا سمينا هذه الكتلة m، فهذا يعني أن m يساوي 2.4 كيلوجرام. وعلمنا أيضًا أن طول الحبل المربوط به الحجر يساوي 0.25 متر، وأن هذا الطول يساوي نصف قطر الدائرة أثناء حركة الحجر. إذن، هذا الطول هو نصف قطر الحركة الدائرية للحجر. وسنسمي نصف القطر 𝑟، حيث 𝑟 يساوي 0.25 متر.
وآخر معلومة لدينا هي أن الحجر يتأرجح في دائرة رأسية بسرعة زاوية ثابتة مقدارها 7.2 راديان لكل ثانية. سنسمي هذه السرعة الزاوية 𝜔، حيث 𝜔 يساوي 7.2 راديان لكل ثانية. وبما أن الحجر يخضع لحركة دائرية، فإننا نعلم أنه سيتأثر بقوة جاذبة مركزية. ويمكننا أن نتذكر أن القوة الجاذبة المركزية التي تؤثر على جسم أثناء حركته الدائرية، والتي سميناها هنا 𝐹𝐶، تساوي كتلة هذا الجسم، 𝑚، في نصف قطر الدائرة، 𝑟، في مربع السرعة الزاوية، 𝜔.
حسنًا، في هذه الحالة، نصف قطر الدائرة ثابت عند 0.25 متر. والسرعة الزاوية ثابتة عند 7.2 راديان لكل ثانية. وبالطبع كتلة الحجر ثابتة أيضًا عند 2.4 كيلوجرام. وبما أن جميع الكميات الثلاث في الطرف الأيمن من هذه المعادلة ثابتة، فهذا يعني أن قيمة 𝐹𝐶، وهي القوة الجاذبة المركزية التي تؤثر على الحجر، لا بد أن تظل ثابتة أيضًا. بعبارة أخرى، يجب أن يكون للقوة الجاذبة المركزية المقدار نفسه عند جميع النقاط على الدائرة. وهذا يعني تحديدًا أن قيمتها عند النقطة 𝐴 يجب أن تكون مساوية لقيمتها عند النقطة 𝐵.
تنتج هذه القوة الجاذبة المركزية التي تؤثر على الحجر من مصدرين مختلفين. تنتج من قوة الشد التي يؤثر بها الحبل على الحجر، ومن قوة الجاذبية. تؤثر القوة الناتجة عن الحبل دائمًا باتجاه مركز الدائرة؛ لأن الحبل يمتد من مركز الدائرة إلى نصف قطر مسار الحجر. وفي الوقت نفسه، نعلم أن قوة الجاذبية تؤثر على الأجسام فتسحبها لأسفل نحو الأرض. وبذلك، ستؤثر قوة الجاذبية رأسيًّا لأسفل دائمًا، بغض النظر عن موضع الحجر على الدائرة. لذا، دعونا نضف هاتين القوتين إلى الشكل عند النقطتين 𝐴، و𝐵.
أولًا، لننظر إلى النقطة 𝐴. لدينا قوة الشد الناتجة عن الحبل، ونعلم أنها تؤثر باتجاه مركز الدائرة، وهي في هذه الحالة تؤثر رأسيًّا لأسفل. دعونا نشر إلى هذه القوة الناتجة عن الحبل عند النقطة 𝐴 بالرمز 𝐹𝐴. ولدينا أيضًا قوة الجاذبية، ونعلم أنها تؤثر رأسيًّا لأسفل دائمًا. ومقدار هذه القوة يساوي 𝑚 في 𝑔، حيث 𝑚 هي كتلة الحجر، وتساوي 2.4 كيلوجرام، و𝑔 هي شدة مجال الجاذبية. قيمة 𝑔 على الأرض لأقرب رقمين معنويين تساوي 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة.
والآن، لننظر إلى القوى المؤثرة على الحجر عند النقطة 𝐵. أولًا، لدينا القوة الناتجة عن الحبل، ونعلم أنها تؤثر باتجاه مركز الدائرة. دعونا نشر إلى هذه القوة التي يؤثر بها الحبل عند النقطة 𝐵 بالرمز 𝐹𝐵. ولدينا أيضًا قوة الجاذبية، ونعلم أنها تؤثر رأسيًّا لأسفل دائمًا. ومقدار هذه القوة يساوي 𝑚 في 𝑔، وهو المقدار نفسه عند النقطة 𝐴.
وعند النظر إلى النقطة 𝐴، نلاحظ أن القوتين تؤثران باتجاه مركز الدائرة. وهذا يعني أن كلتا القوتين تساهم في تولد القوة الجاذبة المركزية 𝐹𝐶. إذن، عند النقطة 𝐴، يمكننا القول إن القوة الجاذبة المركزية، 𝐹𝐶، تساوي القوة الناتجة عن الحبل 𝐹𝐴 زائد قوة الجاذبية 𝑚 في 𝑔. من ناحية أخرى، إذا نظرنا إلى النقطة 𝐵، فسنلاحظ أن القوة الناتجة عن الحبل هي فقط التي تؤثر باتجاه مركز الدائرة. بينما تكون قوة الجاذبية عمودية بالكامل على هذا الاتجاه. هذا يعني أن قوة الجاذبية 𝑚 في 𝑔 لا تساهم في تولد القوة الجاذبة المركزية عند النقطة 𝐵. إذن، عند النقطة 𝐵، نجد أن القوة الجاذبة المركزية 𝐹𝐶 تساوي القوة الناتجة عن الحبل 𝐹𝐵.
تذكر أن السؤال يطلب منا إيجاد الفرق بين مقدار القوة التي يؤثر بها الحبل عند النقطة 𝐴 والنقطة 𝐵. أي إنه يطلب الفرق بين قيمتي 𝐹𝐴، و𝐹𝐵. هيا إذن نحسب هاتين القيمتين ونوجد الفرق بينهما. دعونا نبدأ بالقيمة 𝐹𝐴، حيث سنرتب هذه المعادلة لجعل 𝐹𝐴 في طرف بمفرده. ويمكننا فعل ذلك بطرح 𝑚 في 𝑔 من طرفي المعادلة. وبذلك، يصبح لدينا 𝐹𝐶 ناقص 𝑚 في 𝑔 يساوي 𝐹𝐴. يمكننا بعد ذلك استخدام معادلة القوة الجاذبة المركزية للتعويض عن 𝐹𝐶 بـ 𝑚 في 𝑟 في 𝜔 تربيع. ومن ثم، يصبح لدينا 𝑚 في 𝑟 في 𝜔 تربيع ناقص 𝑚 في 𝑔 يساوي 𝐹𝐴.
وبمعلومية قيم الكميات 𝑚، و𝑟، و𝜔، و𝑔، يمكننا التعويض بها في الطرف الأيسر من هذه المعادلة لحساب قيمة 𝐹𝐴. بعد التعويض بهذه القيم، سيصبح الحد الأول في الطرف الأيسر 2.4 كيلوجرام، وهي الكتلة 𝑚؛ في 0.25 متر، وهو نصف القطر 𝑟؛ في مربع 7.2 راديان لكل ثانية، وهي السرعة الزاوية 𝜔. أما الحد الثاني، الذي نطرحه من الحد الأول، فيصبح 2.4 كيلوجرام، وهي الكتلة 𝑚؛ في 9.8 أمتار لكل ثانية تربيع، وهي قيمة شدة مجال الجاذبية 𝑔. وهكذا، تصبح قيمة الحد الأول 31.104، وقيمة الحد الثاني 23.52.
والآن، سنعطي هذين الحدين وحدة النيوتن. فبما أن هذا المقدار يساوي القوة 𝐹𝐴، فإننا نعلم أن هذين الحدين يجب أن يكونا بوحدة القوة. وبما أن كل الكميات المذكورة سابقًا معبر عنهما بدلالة وحداتها الأساسية، فإننا نعلم أن القوة يجب أن يعبر عنها أيضًا بدلالة وحدتها الأساسية، وهي النيوتن. وتجدر الإشارة هنا إلى أن أول قيمة في الطرف الأيسر تساوي قيمة 𝑚 في 𝑟 في 𝜔 تربيع، وهي قيمة القوة الجاذبة المركزية 𝐹𝐶. ولقد ذكرنا من قبل أن 𝐹𝐶 له القيمة نفسها عند جميع النقاط على الدائرة. ويمكننا الآن ذكر رقم لهذا المقدار. وهو بالتحديد 31.104 نيوتن. وأخيرًا، عند حساب ناتج الطرح، نجد أن 𝐹𝐴، أي قيمة القوة التي يؤثر بها الحبل على الحجر، تساوي 7.584 نيوتن.
والآن، دعونا نحسب قيمة 𝐹𝐵. في الواقع، هذه الخطوة سهلة للغاية؛ لأننا نعرف أن 𝐹𝐵 يساوي 𝐹𝐶. وقد وجدنا بالفعل أن 𝐹𝐶، أي القوة الجاذبة المركزية، يساوي 31.104 نيوتن. ومن ثم، نعلم أن 𝐹𝐵 يساوي 31.104 نيوتن.
وآخر ما علينا فعله هو إيجاد الفرق بين هاتين القيمتين، 𝐹𝐴 و𝐹𝐵. إذا طرحنا 𝐹𝐴 من 𝐹𝐵، أي 31.104 نيوتن ناقص 7.584 نيوتن، فهذا يساوي 23.52 نيوتن. هذه القيمة هي الفرق بين مقدار القوة التي يؤثر بها الحبل على الحجر عند النقطة 𝐴 وبينه عند النقطة 𝐵. وفي الواقع، يطلب منا السؤال تقريب هذا الناتج لأقرب نيوتن. إذن، بتقريب الناتج لأقرب نيوتن، نحصل على 24 نيوتن.
لكن تبين أن ثمة طريقة أسرع للحصول على هذه الإجابة. لنعد إلى المعادلتين اللتين صغناهما للقوى المؤثرة على الحجر عند النقطة 𝐴 والنقطة 𝐵. عند النقطة 𝐴، علمنا أن القوة الجاذبة المركزية 𝐹𝐶 تساوي 𝐹𝐴 زائد 𝑚 في 𝑔؛ وعند النقطة 𝐵، علمنا أن القوة الجاذبة المركزية تساوي 𝐹𝐵. لكننا ذكرنا بالفعل أننا نعرف أن القوة الجاذبة المركزية 𝐹𝐶 لها المقدار نفسه عند جميع النقاط على الدائرة.
إذن، بالنظر إلى هاتين المعادلتين، يمكننا ملاحظة أن كلتيهما لا بد أن تكون لهما القيمة نفسها في الطرف الأيسر؛ لأن قيمة 𝐹𝐶 عند النقطتين 𝐴، و𝐵 متساوية. وإذا كانت المعادلتان متساويتين في الطرف الأيسر، فلا بد أن تكونا متساويتين أيضًا في الطرف الأيمن. وبمساواة هذين الطرفين الأيمنين، نحصل على المعادلة 𝐹𝐵 يساوي 𝐹𝐴 زائد 𝑚 في 𝑔.
وبذلك، يمكننا الآن أن نستنتج على الفور أن الفرق بين القوة التي يؤثر بها الحبل عند النقطة 𝐵 وبينه عند النقطة 𝐴 تساوي 𝑚 في 𝑔. ويمكننا جعل ذلك أكثر وضوحًا بإعادة ترتيب المعادلة، وطرح 𝐹𝐴 من الطرفين. ومن ثم يصبح لدينا 𝐹𝐵 ناقص 𝐹𝐴 يساوي 𝑚 في 𝑔. وبالتعويض بالقيميتين 𝑚 يساوي 2.4 كيلوجرام و𝑔 تساوي 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة، نجد أن 𝐹𝐵 ناقص 𝐹𝐴 يساوي 23.52 نيوتن. ومرة أخرى، بتقريب هذا المقدار لأقرب نيوتن نحصل على الناتج نفسه، وهو 24 نيوتن.
وهذه الطريقة الثانية أسرع بكثير. حتى إنه لم يكن علينا معرفة قيمة 𝐹𝐶. لكننا ببساطة استخدمنا حقيقة أنها قيمة ثابتة لإيجاد الفرق بين 𝐹𝐴 و𝐹𝐵.
والآن، لنلق نظرة على الجزء الثاني من السؤال.
ما الفرق بين مقدار القوة التي يؤثر بها الحبل على الحجر عند النقطة 𝐴، حيث يتجه الحبل رأسيًّا لأعلى؛ ومقدار القوة التي يؤثر بها الحبل على الحجر عند النقطة 𝐶، حيث يتجه الحبل رأسيًّا لأسفل؟ قرب إجابتك لأقرب نيوتن.
في الجزء الثاني من السؤال، مطلوب منا إيجاد الفرق بين مقدار القوة التي يؤثر بها الحبل على الحجر عند النقطة 𝐴 وبينه عند النقطة 𝐶. نحن نعلم بالفعل أنه عند النقطة 𝐴، يتجه الحبل رأسيًّا لأعلى. وكلتا القوتين، أي القوة الناتجة عن الحبل 𝐹𝐴 وقوة الجاذبية 𝑚 في 𝑔، تؤثران في اتجاه مركز الدائرة. لكن عند النقطة 𝐶، يتجه الحبل رأسيًّا لأسفل.
نعلم أن القوة الناتجة عن الحبل تؤثر دائمًا على امتداد الحبل باتجاه مركز الدائرة. ومن ثم، يمكننا أن نرسم عند النقطة 𝐶 هذه القوة التي تؤثر رأسيًّا لأعلى باتجاه مركز الدائرة. والآن، لن نستخدم الطريقة نفسها التي استخدمناها لتسمية هذه القوة عند النقطتين 𝐴 و𝐵؛ لأن 𝐹𝐶 تشير بالفعل إلى القوة الجاذبة المركزية. بدلًا من ذلك، سنشير إلى هذه القوة الناتجة عن الحبل عند النقطة 𝐶 بالرمز 𝐹𝑅. والقوة الأخرى التي علينا التفكير فيها هي القوة المؤثرة على الحجر بفعل الجاذبية. نعلم أن هذه القوة تؤثر رأسيًّا لأسفل دائمًا، ومقدارها 𝑚 في 𝑔؛ حيث 𝑚 هي كتلة الحجر، و𝑔 هي شدة مجال الجاذبية.
لدينا بالفعل معادلة للقوتين المؤثرتين على الحجر عند النقطة 𝐴. لذا، دعونا نكتب معادلة مكافئة للقوة عند النقطة 𝐶. وبما أن القوة الجاذبة المركزية 𝐹𝐶 هي القوة المحصلة باتجاه مركز الدائرة، فعند النقطة 𝐶، نجد أن القوة الجاذبة المركزية 𝐹𝐶 تساوي القوة الناتجة عن الحبل 𝐹𝑅 ناقص قوة الجاذبية 𝑚 في 𝑔. ذلك لأن القوة الناتجة عن الحبل تؤثر إلى الداخل باتجاه مركز الدائرة، في حين أن قوة الجاذبية تؤثر في الاتجاه المعاكس إلى الخارج بعيدًا عن المركز.
والآن بعد أن توصلنا إلى هاتين المعادلتين عند النقطة 𝐴 والنقطة 𝐶، يمكننا استخدام حقيقة أن 𝐹𝐶 لها المقدار نفسه عند جميع النقاط على الدائرة. إذن، هاتان المعادلتان لهما الطرف الأيسر نفسه. مما يعني أن الطرفين الأيمنين لهاتين المعادلتين يجب أن يكونا متساويين أيضًا. إذن، يمكننا كتابة 𝐹𝐴 زائد 𝑚 في 𝑔 يساوي 𝑅𝐹 ناقص 𝑚 في 𝑔. بإضافة 𝑚 في 𝑔 إلى طرفي هذه المعادلة، نحصل على 𝐹𝐴 زائد اثنين في 𝑚 في 𝑔 يساوي 𝐹𝑅. وبطرح 𝐹𝐴 من الطرفين، نحصل على اثنين في 𝑚 في 𝑔 يساوي 𝐹𝑅 ناقص 𝐹𝐴. بعبارة أخرى، الفرق بين القوة التي يؤثر بها الحبل على الحجر عند النقطة 𝐶 والنقطة 𝐴 يساوي اثنين في 𝑚 في 𝑔.
وبالتعويض بقيمتي كتلة الحجر وشدة مجال الجاذبية، نجد أن هذا الفرق يساوي اثنين في الكتلة التي تساوي 2.4 كيلوجرام، في قيمة 𝑔 التي تساوي 9.8 أمتار لكل ثانية تربيع. وبحساب هذا المقدار، نحصل على 47.04 نيوتن. وهذا العدد يمثل الفرق بين مقدار القوة التي يؤثر بها الحبل عند النقطة 𝐴 وبينه عند النقطة 𝐶. لكن كما هو الحال في الجزء الأول من السؤال، مطلوب منا تقريب هذه الإجابة لأقرب نيوتن. وبتقريب القيمة 47.04 نيوتن لأقرب نيوتن، نحصل على 47 نيوتن.
