فيديو السؤال: إيجاد طول وتر في دائرة باستخدام العلاقة المعطاة بين الأوتار الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

دائرة مركزها ﻡ، نصف قطرها ١١ سنتيمترًا. تقع النقطة ﺃ على بعد ثمانية سنتيمترات من النقطة ﻡ، وتقع على الوتر ﺏﺟ. إذا كان ﺃﺏ يساوي ثلاثة ﺃﺟ، فاحسب طول القطعة المستقيمة ﺏﺟ، لأقرب جزء من مائة.

دعونا نبدأ برسم شكل ليساعدنا في الحل. لدينا دائرة مركزها ﻡ، ونصف قطر هذه الدائرة يساوي ١١ سنتيمترًا. لدينا أيضًا الوتر ﺏﺟ، وتقع النقطة ﺃ في مكان ما على هذا الوتر؛ حيث طول ﺃﺏ يساوي ثلاثة في طول ﺃﺟ. لذا يمكن أن تقع النقطة ﺃ هنا. نحن لا نعلم طولي ﺃﺏ وﺃﺟ، لكننا نعلم النسبة بين طوليهما. إذا كان ﺃﺏ يساوي ثلاثة ﺃﺟ، فهذا يعني أنه إذا كان ﺃﺟ يساوي ﺱ سنتيمتر؛ حيث ﺱ لا يساوي صفرًا، فإن ﺃﺏ يساوي ثلاثة ﺱ سنتيمتر. نعلم أيضًا أن النقطة ﺃ تبعد عن النقطة ﻡ ثمانية سنتيمترات؛ ومن ثم يمكننا إضافة طول هذه القطعة المستقيمة إلى الشكل لدينا.

مطلوب منا حساب طول الوتر ﺏﺟ؛ لذا علينا إيجاد قيمة المجهول ﺱ. تتضمن المعطيات طولي قطعتين مستقيمتين ينتمي كل منهما إلى الوتر نفسه؛ لذا يمكننا استرجاع إحدى الحالات الخاصة لنظرية قوة النقطة. تنص هذه الحالة على افتراض أن ﺃ نقطة داخل الدائرة ﻡ، وأن القطعة المستقيمة ﺏﺟ وتر يمر بالنقطة ﺃ. وفي هذه الحالة، فإن سالب ﻕﻡ لـ ﺃ يساوي ﺃﺏ مضروبًا في ﺃﺟ. يشير الرمز ﻕﻡ لـ ﺃ إلى قوة النقطة ﺃ بالنسبة إلى الدائرة ﻡ، وهو يساوي ﺃﻡ تربيع ناقص نق تربيع. وهذا يمثل مربع المسافة بين النقطتين ﺃ وﻡ ناقص مربع نصف القطر.

نحن نعرف طول كل منهما. ‏ﺃﻡ يساوي ثمانية ونق يساوي ١١. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن ﻕﻡ لـ ﺃ يساوي ثمانية تربيع ناقص ١١ تربيع. هذا يساوي ٦٤ ناقص ١٢١، وهو ما يساوي سالب ٥٧. وبذلك يصبح لدينا سالب سالب ٥٧، أو ٥٧ ببساطة، يساوي ﺃﺏ مضروبًا في ﺃﺟ. تذكر أننا كتبنا مقدارين للتعبير عن طولي ﺃﺏ وﺃﺟ، ويتضمن كلا المقدارين المجهول ﺱ‏ ‏ﺃﺏ يساوي ثلاثة ﺱ سنتيمتر، وﺃﺟ يساوي ﺱ سنتيمتر. وبذلك تصبح لدينا المعادلة: ٥٧ يساوي ثلاثة ﺱ مضروبًا في ﺱ، وهو ما يبسط إلى:٥٧ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع.

يمكننا الآن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ. أولًا: نقسم طرفي المعادلة على ثلاثة، فنحصل على ١٩ يساوي ﺱ تربيع. بعد ذلك، نحسب الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة، مع أخذ القيمة الموجبة فقط؛ حيث يجب أن تكون قيمتا ﺃﺏ وﺃﺟ موجبتين لأنهما تمثلان طولين. ومن ثم، نجد أن ﺱ يساوي الجذر التربيعي لـ ١٩.

وأخيرًا: علينا حساب طول ﺏﺟ، وهو يساوي طول ﺃﺏ زائد طول ﺃﺟ، وهو ما يساوي ثلاثة ﺱ زائد ﺱ، أو ببساطة أربعة ﺱ. أوجدنا للتو أن ﺱ يساوي الجذر التربيعي لـ ١٩؛ لذا يمكننا التعويض بهذه القيمة عن ﺱ. وسنجد أن ﺏﺟ يساوي أربعة جذر ١٩. مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب جزء من مائة، ومن ثم علينا حساب هذه القيمة على صورة عدد عشري. هذا يساوي ١٧٫٤٣٥٥، وهكذا مع توالي الأرقام، وهو ما يساوي ١٧٫٤٤، لأقرب جزء من مائة.

إذن من خلال استرجاع إحدى الحالات الخاصة لنظرية قوة النقطة، وجدنا أن طول القطعة المستقيمة ﺏﺟ لأقرب جزء من مائة يساوي ١٧٫٤٤ سنتيمترًا.