فيديو السؤال: استخدام الاحتمالات في شكل فن لتحديد ما إذا كان حدثان مستقلين أم لا الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في فضاء العينة ﻑ، تمثل الاحتمالات الموضحة طرق وقوع الحدثين ﺃ وﺏ. هل الحدثان ﺃ وﺏ مستقلان؟

دعونا في البداية نسترجع الشرط الواجب تحققه ليكون الحدثان ﺃ وﺏ مستقلين. يكون الحدثان ﺃ وﺏ مستقلين إذا كان احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي احتمال ﺃ مضروبًا في احتمال ﺏ. والآن سنتناول ما يعنيه كل من هذين الحدين في هذه المعادلة.

سنتناول أولًا كيفية إيجاد احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. هذا هو احتمال وقوع الحدثين ﺃ وﺏ معًا. والآن، سنحدد المنطقة التي يمثلها هذا الاحتمال على شكل فن.

حسنًا، المنطقة التي تمثل ﺃ تقاطع ﺏ هي التي يتداخل فيها ﺃ وﺏ. إنها هذه المنطقة التي ظللناها هنا. هيا نتحقق من شكل فن المعطى في السؤال. نلاحظ هنا أن الاحتمال يساوي خمسة على ١٩ في هذه المنطقة. وعليه، فإن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي خمسة على ١٩.

سنتناول بعد ذلك كيفية إيجاد احتمال وقوع الحدث ﺃ. احتمال وقوع الحدث ﺃ يساوي مجموع كل الاحتمالات الموجودة في الدائرة التي تمثل ﺃ. وهذه الدائرة هي تلك المظللة هنا. علينا ألا ننسى أنها تشمل أيضًا هذه المنطقة التي تتداخل فيها مع ﺏ أيضًا.

إذن لإيجاد احتمال وقوع الحدث ﺃ، علينا جمع كل الاحتمالات في هذه المنطقة. بالنظر إلى شكل فن المعطى في السؤال، نلاحظ أن الاحتمالين هما: أربعة على ١٩، وخمسة على ١٩. وهذا يوضح أن احتمال وقوع الحدث ﺃ يساوي أربعة على ١٩ زائد خمسة على ١٩، وهو ما يساوي تسعة على ١٩.

والآن، سنتناول كيفية إيجاد احتمال وقوع الحدث ﺏ. احتمال وقوع الحدث ﺏ يساوي جميع الاحتمالات داخل المنطقة التي يمثلها ﺏ. هذه المنطقة هي تلك المظللة هنا. مرة أخرى، علينا ألا نغفل الجزء الذي يتداخل مع ﺃ هنا.

والآن لإيجاد احتمال وقوع الحدث ﺏ، علينا أن ننظر مجددًا إلى شكل فن المعطى في السؤال، ونجمع كل الاحتمالات في هذه المنطقة. وبذلك، نجد أن الاحتمالين هما: خمسة على ١٩، وخمسة على ١٩. وعليه، نستنتج أن احتمال وقوع الحدث ﺏ يساوي خمسة على ١٩ زائد خمسة على ١٩، وهو ما يساوي ١٠ على ١٩.

وبذلك، نكون قد أوجدنا احتمال ﺃ تقاطع ﺏ، واحتمال وقوع الحدث ﺃ، واحتمال وقوع الحدث ﺏ. كل ما علينا فعله الآن هو أخذ احتمال وقوع الحدث ﺃ وضربه في احتمال وقوع الحدث ﺏ والتحقق مما إذا كان الناتج يساوي احتمال ﺃ تقاطع ﺏ.

احتمال وقوع الحدث ﺃ مضروبًا في احتمال وقوع الحدث ﺏ يساوي تسعة على ١٩ في ١٠ على ١٩. وهذا يعطينا ٩٠ على ٣٦١. ويوضح السؤال أن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي خمسة على ١٩. وهذا لا يساوي ١٩٠ على ٣٦١. وعليه، نستنتج أن الحدثين ﺃ وﺏ غير مستقلين.