نسخة الفيديو النصية
أي من الدوائر الآتية تمثل المعادلة ﺱ ناقص ثلاثة تربيع زائد ﺹ زائد واحد تربيع يساوي أربعة؟
للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نتذكر الصورة القياسية لمعادلة الدائرة بمعلومية المركز وطول نصف القطر. إذا كان للدائرة مركز عند النقطة التي إحداثياتها ﻫ، ﻙ، ونصف قطرها نق من الوحدات، فإن معادلتها على الصورة القياسية بمعلومية المركز وطول نصف القطر هي ﺱ ناقص ﻫ الكل تربيع زائد ﺹ ناقص ﻙ الكل تربيع يساوي نق تربيع.
يمكننا أن نلاحظ أن صورة هذه المعادلة تطابق صورة المعادلة المعطاة في السؤال. إذن، علينا المقارنة بين المعادلتين لتحديد قيم ﻫ وﻙ ونق. سنتمكن بعد ذلك من إيجاد مركز الدائرة ونصف قطرها. وبذلك، سنتمكن من تحديد شكلها عند رسمها.
بمقارنة القوسين الأولين، نجد أن ﺱ ناقص ﻫ في الصورة القياسية، وﺱ ناقص ثلاثة في المعادلة المحددة. وهكذا، نجد أن قيمة ﻫ، وهو الإحداثي ﺱ لمركز الدائرة، تساوي ثلاثة.
وبمقارنة القوسين الآخرين، لدينا ﺹ ناقص ﻙ في الصورة العامة، وﺹ زائد واحد في المعادلة. ومن ثم، نجد أن سالب ﻙ يساوي واحدًا. لإيجاد قيمة ﻙ، علينا ضرب كلا طرفي هذه المعادلة أو قسمتهما على سالب واحد، وهو ما يعطينا ﻙ يساوي سالب واحد. إذن، الإحداثي ﺹ للمركز هو سالب واحد.
وأخيرًا، بمقارنة الطرف الأيسر للمعادلتين، نجد أن نق تربيع يساوي أربعة. لإيجاد قيمة نق، علينا أخذ الجذر التربيعي لكل طرف من طرفي هذه المعادلة. وبما أن أربعة عدد مربع، فعلينا أن ندرك أن جذره التربيعي هو العدد الصحيح اثنان فقط. عادة عندما نحل معادلة عن طريق أخذ الجذر التربيعي، فإننا نأخذ موجب أو سالب الجذر التربيعي. ولكن بما أن نق طول، هو نصف قطر الدائرة، فلا بد أن يكون له قيمة موجبة. إذن، سنأخذ الجذر التربيعي الموجب لأربعة فقط.
بمقارنة معادلة الدائرة المعطاة مع الصورة القياسية لمعادلة الدائرة بمعلومية المركز وطول نصف القطر، وجدنا أن للدائرة مركزًا عند النقطة: ثلاثة، سالب واحد؛ ونصف قطرها وحدتان. يمكننا الآن النظر إلى التمثيل البياني المعطى لتحديد التمثيل الصحيح لهذه الدائرة. ها هي النقطة ثلاثة، سالب واحد. ويمكننا أن نلاحظ أن لدينا دائرتين مركزهما هذه النقطة، وهما الدائرتان ﺟ ود. علينا تحديد أي من هاتين الدائرتين لديها طول نصف القطر الصحيح.
يمكننا فعل ذلك برسم خط مستقيم من هذا المركز إلى أي نقطة على محيط كل دائرة. للتبسيط، فمن المنطقي استخدام نصف قطر أفقي أو رأسي، مثل هذا الذي رسمناه هنا. طول هذا الخط المستقيم يساوي الفرق بين الإحداثيين ﺱ لنقطتي الطرفين، وهما ثلاثة وواحد. وعليه، فإن طول هذا الخط المستقيم، وهو نصف قطر الدائرة ﺟ، يساوي وحدتين. ولغرض المقارنة فقط، يمكننا ملاحظة أن نصف قطر الدائرة الأكبر، وهي الدائرة الزرقاء، يساوي أربع وحدات؛ لأن نصف قطرها هو الفرق بين قيمتي ﺱ، وهما سبعة وثلاثة.
إذن، فالدائرة التي مركزها عند النقطة ثلاثة، سالب واحد، ونصف قطرها وحدتان، هي الدائرة التي تمثل المعادلة ﺱ ناقص ثلاثة الكل تربيع زائد ﺹ زائد واحد الكل تربيع يساوي أربعة، هي الدائرة ﺟ.
لاحظ أن الدائرة د تمثل فهمًا خطأ شائعًا. فهي تحتوي على المركز الصحيح، ولكن نصف القطر غير صحيح. في الحقيقة، طول نصف القطر المرسوم هو القيمة التي سنحصل عليها إذا نسينا أخذ الجذر التربيعي. نعرف أن نصف القطر تربيع يساوي أربعة، لكن طول نصف القطر نفسه يساوي اثنين. ويعد هذا فهمًا خطأ أو خطأ شائعًا نقع فيه. إذن، الإجابة الصحيحة، عندما نتذكر أخذ الجذر التربيعي للقيمة الموجودة على الجانب الأيسر لمعادلة لدائرة المعطاة على الصورة القياسية بمعلومية المركز وطول نصف القطر، هي الدائرة ﺟ.
