فيديو السؤال: تحديد نوع شكل رباعي باستخدام المتجهات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أكمل الآتي. إذا كان ﺃﺏﺟﺩ شكلًا رباعيًّا، وكان المتجه من ﺃ إلى ﺩ يساوي المتجه من ﺏ إلى ﺟ، وكانا متوازيين، فإنه يمكن دائمًا تصنيف الشكل الرباعي على أنه (فراغ). هل الخيار الصحيح (أ) شبه منحرف، أم (ب) متوازي أضلاع، أم (ج) شكل طائرة ورقية، أم (د) شبه منحرف متساوي الساقين، أم (هـ) مستطيل؟

في هذا السؤال، لدينا شكل رباعي ﺃﺏﺟﺩ، ونعلم من المعطيات أن المتجه من ﺃ إلى ﺩ يساوي المتجه من ﺏ إلى ﺟ. وهذا يعني أن لهما نفس المعيار والاتجاه، لذا يمكننا استنتاج أنهما متوازيان. وعلينا استخدام هذه المعلومة لتحديد نوع الشكل الرباعي ﺃﺏﺟﺩ. ولتحديد ذلك، علينا الانتباه إلى أن لدينا معطى واحد فقط: وهو أن المتجه من ﺃ إلى ﺩ يساوي المتجه من ﺏ إلى ﺟ. ورغم أن هذا يعني أن لهما نفس المعيار والاتجاه، فإنه يوجد الكثير من الطرق المختلفة التي يمكننا استخدامها لرسم هذين المتجهين.

على سبيل المثال، يمكننا رسم أحد المتجهين أعلى الآخر مباشرة، كما هو موضح. لنلاحظ بعد ذلك أن هذا الشكل يمثل مربعًا. لكن ليس بالضرورة أن يكون الشكل كذلك. على سبيل المثال، كان بإمكاننا رسم المتجهين بحيث يفصل بينهما مسافة أكبر. في هذه الحالة، سيكون لدينا مستطيل. لكن هذا ليس التغيير الوحيد المتاح لدينا. فبإمكاننا أيضًا أن نرسم المتجهين بحيث لا يكون أحدهما أعلى الآخر. أي يمكننا رسمهما غير متحازيين في المستوى. وبرسم الضلعين المتبقيين من الشكل الرباعي ﺃﺏﺟﺩ نحصل على شكل يشبه متوازي الأضلاع.

لكن، لا يمكننا الإجابة عن هذا السؤال بمجرد النظر إلى الشكل. بل علينا إثبات أن هذا الشكل متوازي أضلاع. ولنفعل ذلك، علينا إثبات أن كل ضلعين متقابلين متوازيين. نعرف بالفعل أن الضلع من ﺃ إلى ﺩ يوازي الضلع من ﺏ إلى ﺟ. إذن، علينا إثبات أن ذلك ينطبق على الضلعين الآخرين.

يمكننا فعل ذلك باستخدام المتجهات. يمكننا إيجاد تعبير عن المتجه من ﺃ إلى ﺏ باتباع رءوس متوازي الأضلاع لدينا. نجد أن المتجه من ﺃ إلى ﺏ يساوي المتجه من ﺃ إلى ﺩ زائد المتجه من ﺩ إلى ﺟ زائد المتجه من ﺟ إلى ﺏ. هذا مجرد تطبيق لقاعدة المثلث لجمع المتجهات.

لكن الآن يمكننا ملاحظة شيء مثير للاهتمام. لدينا ﺃﺩ زائد المتجه ﺟﺏ، ونعلم من معطيات السؤال أن المتجه ﺃﺩ يساوي المتجه ﺏﺟ. ومعيار المتجه من ﺟ إلى ﺏ يساوي بالضبط معيار المتجه من ﺏ إلى ﺟ. كل ما هنالك أننا نغير اتجاهه، بحيث يكون المتجه من ﺟ إلى ﺏ مساويًا لسالب المتجه من ﺏ إلى ﺟ. وعليه، يمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة المتجه من ﺃ إلى ﺩ زائد المتجه من ﺩ إلى ﺟ ناقص المتجه من ﺏ إلى ﺟ.

والآن يمكننا استخدام حقيقة أن المتجه من ﺏ إلى ﺟ يساوي المتجه من ﺃ إلى ﺩ. يمكننا التعويض بذلك في التعبير الذي لدينا. وهكذا، نجد أن المتجه من ﺃ إلى ﺩ ناقص المتجه من ﺃ إلى ﺩ يحذفان لنحصل على المتجه الصفري. ومن ثم يبسط هذا ليصبح لدينا المتجه من ﺃ إلى ﺏ يساوي المتجه من ﺩ إلى ﺟ. وإذا كان المتجهان متساويين، فهذا يعني أنهما متساويان في المعيار والاتجاه. وبناء عليه لا يمكننا التوضيح أكثر من ذلك. فكما ذكرنا من قبل، كان من الممكن أن يكون لدينا مستطيل أو مربع أو متوازي أضلاع عام. إذن، تمكنا من إثبات أنه إذا كان ﺃﺏﺟﺩ شكلًا رباعيًّا، والمتجه من ﺃ إلى ﺩ يساوي المتجه من ﺏ إلى ﺟ، فإن الشكل الرباعي ﺃﺏﺟﺩ هو متوازي أضلاع.