فيديو الدرس: معادلة الاستمرارية للموائع الفيزياء

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنناقش ما يعرف بمعادلة الاستمرارية في الموائع. تستخدم هذه المعادلة عادة لمعرفة كيفية سريان موائع محددة من وعاء إلى آخر حيث يختلف حجما الوعاءين.

لفهم معادلة الاستمرارية، دعونا أولًا نتخيل الحالة الآتية. لنتخيل أن لدينا وعاء أسطوانيًا. وداخل هذه الأسطوانة، يسري غاز من اليسار إلى اليمين. في هذا المثال، يصادف أننا ندرس غازًا. ولكن تذكر أن معادلة الاستمرارية التي سندرسها تنطبق على الموائع ككل، وليس الغازات فقط. وتذكر أن الموائع تسري. لذلك قد تكون الموائع سوائل أو غازات.

ولكن على أي حال سنفترض وجود غاز في الوعاء الأسطواني. الآن سنضع افتراضًا مهمًا هنا، وهو أن حركة كل جزيئات الغاز تتجه بشكل رئيسي نحو اليمين. إذ يسري الغاز بانسيابية من اليسار إلى اليمين. بمعنى آخر، سنتجاهل أي حركة للجزيئات ليست نحو اليمين، حيث إنها ستكون ضئيلة ولن تؤثر على سريان المائع. لنتخيل أيضًا أنه في كل ثانية تمر من الزمن، يتحرك كيلوجرام واحد من الغاز من اليسار إلى اليمين في الوعاء.

ولنتخيل، على سبيل المثال، أننا سنأخذ هذا الموضع على امتداد طول الوعاء في الاعتبار. يمكننا قياس كمية الغاز الذي يمر بهذا المقطع العرضي لكل وحدة زمن. وفي هذه الحالة نجد أن كيلوجرامًا واحدًا من الغاز يسري لكل ثانية خلال هذا المقطع العرضي. هذه كمية مهمة يجب تذكرها لاحقًا لأن ما وجدناه فعليًا هو معدل السريان الكتلي للغاز، والذي يبدو معقدًا للغاية. ولكنها مجرد طريقة منمقة للتعبير عن كمية كتلة الغاز التي تسري لكل ثانية من اليسار إلى اليمين.

ويمكننا بالفعل حساب معدل السريان الكتلي للغاز من خلال قسمة كتلة الغاز الذي يسري من اليسار إلى اليمين على الزمن المستغرق لسريان هذه الكمية بالتحديد من الكتلة. وفي هذا الموقف تحديدًا، الطريقة التي استخدمناها هي قياس كمية الغاز المار بهذه النقطة في الوعاء. وفي هذه الحالة، نفترض أن كيلوجرامًا واحدًا من الغاز يسري لكل ثانية.

هذه الفكرة عن معدل السريان الكتلي مهمة للغاية لأننا سنفترض الآن أن الوعاء يتغير كما يلي. لنتخيل أنه مع سريان الغاز من اليسار إلى اليمين، يضيق الوعاء نفسه. بمعنى آخر، يدفع الغاز إلى منطقة لها مساحة مقطع أقل، حيث إن مساحة المقطع هي مساحة الدائرة التي رسمناها هنا. ويمكننا ملاحظة أن مساحة المقطع كانت أكبر بكثير في الجزء السابق من الوعاء. يمكننا أن نقول إن هذه المساحة هي ‪𝐴‬‏ واحد. والآن في المنطقة الأصغر من الوعاء، يمكننا ملاحظة أن مساحة المقطع مختلفة. إذن سنطلق على مساحة المقطع هذه ‪𝐴‬‏ اثنين.

الآن يوجد أمر شائق. ما زال الغاز يسري من اليسار إلى اليمين في الوعاء على الرغم من حقيقية أنه يضيق فجأة. إذن كيف يستجيب الغاز لضيق الوعاء؟ نحن نتخيل حالة تكون فيها جزيئات الغاز ببساطة حرة الحركة من اليسار إلى اليمين ولا نؤثر بأي قوى خارجية على جزيئات الغاز. هذا يعني أن معدل السريان الكتلي في الجزء الثاني من الوعاء لا بد أن يساوي معدل السريان الكتلي في الجزء الأول.

السبب في هذا هو أنه في الجزء الأول من الوعاء، لدينا كمية محددة من الكتلة التي تسري من اليسار إلى اليمين لكل ثانية. وهذه الكتلة لا يمكن أن تختفي بشكل مفاجئ عند هذه النقطة التي يتغير عندها حجم الوعاء. لا بد أن تستمر هذه الكمية من الكتلة في السريان من اليسار إلى اليمين في الجزء الأضيق من الوعاء. لذلك إذا كان لدينا كيلوجرام واحد من الغاز يسري من اليسار إلى اليمين لكل ثانية في الجزء الأوسع من الوعاء، فإن لدينا أيضًا كيلوجرامًا واحدًا من الغاز يسري من اليسار إلى اليمين لكل ثانية في الجزء الأضيق من الوعاء.

إذا رمزنا إلى معدل السريان الكتلي بالرمز ‪𝑅‬‏؛ حيث يمكننا أن نقول إن معدل السريان الكتلي في المنطقة الأولى، الذي سنطلق عليه ‪𝑅‬‏ واحد، فلا بد أن يساوي معدل السريان الكتلي في المنطقة الثانية ‪𝑅‬‏ اثنين. عند هذه النقطة، توصلنا إلى نتيجة جيدة للحقيقة التي مفادها أن كمية محددة من الغاز الذي يسري من اليسار إلى اليمين في الجزء الأول من الوعاء لا يمكن أن تتغير مع تغير شكل الوعاء. ولذلك لا بد أن يكون معدلا السريان الكتلي في كلتا المنطقتين متساويين لأن جزيئات الغاز لا يمكنها الظهور أو الاختفاء عشوائيًا عند تحركها عبر الحد الفاصل بين المنطقتين الأولى والثانية.

الآن بدلًا من افتراض قيمة محددة لمعدل السريان الكتلي للغاز، أي بدلًا من أن نقول إن كيلوجرامًا واحدًا من الغاز يسري من اليسار إلى اليمين لكل ثانية. لنفترض أنه في المنطقة الأولى تتحرك كتلة ‪𝑚‬‏ واحد من الغاز من اليسار إلى اليمين في فترة زمنية ‪𝑡‬‏. الآن يمكننا تخيل أنه في بداية الفترة الزمنية ‪𝑡‬‏ إذا أخذنا في الاعتبار جزيئات الغاز التي بدأت هنا، ففي نهاية الفترة الزمنية ‪𝑡‬‏ سينتهي المطاف بجزيئات الغاز هذه على مسافة أبعد داخل الأسطوانة. بمعنى آخر ينتهي بها المطاف في مكان مثل هذا. وبذلك يمكننا أن نقول إنه خلال الفترة الزمنية ‪𝑡‬‏ تحركت الجزيئات هذه المسافة. دعونا نطلق على هذه المسافة ‪𝑑‬‏ واحد.

عند هذه النقطة يمكن التفكير في حقيقة أنه إذا كانت جزيئات الغاز تتحرك هذه المسافة هنا، ‪𝑑‬‏ واحد خلال فترة زمنية ‪𝑡‬‏، فلا بد أنها تتحرك بسرعة ‪𝑣‬‏ واحد التي تساوي ‪𝑑‬‏ واحد على ‪𝑡‬‏. وذلك لأن سرعة الجسم ‪–‬‏ كما نتذكر ‪–‬‏ تساوي المسافة المقطوعة على الزمن المستغرق لقطع هذه المسافة. من المهم ملاحظة أن ‪𝑣‬‏ واحد هي السرعة التي تتحرك بها كتلة من الغاز من اليسار إلى اليمين لأن الجزيئات المنفردة قد يكون لها سرعات أقل أو أكبر نسبيًا. ولكنها في المتوسط تتحرك بسرعة ‪𝑣‬‏ واحد.

وأحد الأمور الشائقة الأخرى التي يجب ملاحظتها هي أن الغاز الذي بدأ هنا في بداية الفترة الزمنية وانتهى هنا قد شغل هذا الحجم فعليًا. هذا حجم أسطواني لأن الوعاء عبارة عن أسطوانة لها مساحة مقطع ‪𝐴‬‏ واحد، مثل مساحة المقطع هنا، وطول ‪𝑑‬‏ واحد. عند هذه النقطة يمكننا تذكر أن حجم الأسطوانة الذي يشار إليه بالحرف ‪𝑉‬‏ يساوي ‪𝐴‬‏، أي مساحة مقطع الأسطوانة، في ‪𝑑‬‏، أي طول الأسطوانة.

وبذلك يمكننا القول إن الحجم الذي يشغله الغاز الذي نأخذه في الاعتبار، بالأخص الغاز الذي له كتلة ‪𝑚‬‏ واحد ويتحرك من اليسار إلى اليمين مسافة ‪𝑑‬‏ واحد خلال فترة زمنية ‪𝑡‬‏، يشار إليه بالحرف ‪𝑉‬‏ واحد. ويساوي ‪𝐴‬‏ واحد، أي مساحة مقطع الأسطوانة، في ‪𝑑‬‏ واحد، وهي المسافة التي يقطعها الغاز من اليسار إلى اليمين.

ويجب أن نكون حريصين على التفريق بين الحرف الصغير ‪𝑣‬‏، الذي يشير إلى سرعة الغاز عند تحركه من اليسار إلى اليمين، والحرف الكبير ‪𝑉‬‏، الذي يشير إلى الحجم الذي يشغله الغاز. الآن عند هذه النقطة قد نتساءل ما فائدة كتابة كل هذه المعادلات؟ حسنًا، تذكر أننا نحاول ربط سلوك الغاز بمعدل سريانه الكتلي. ونأخذ في الاعتبار كتلة الغاز الذي يتحرك من اليسار إلى اليمين خلال فترة زمنية ‪𝑡‬‏.

نحن نعلم أن الكمية المحددة من الغاز التي نتحدث عنها لها كتلة ‪𝑚‬‏ واحد وتشغل حجمًا ‪𝑉‬‏ واحد، ما يعني أنه عند هذه النقطة يمكننا تذكر الكمية التي تعرف بالكثافة، ويرمز لها بالرمز ‪𝜌‬‏. كثافة الجسم تساوي كتلته على الحجم الذي يشغله. وبذلك يمكننا كتابة كتلة الغاز، وهي في هذه الحالة ‪𝑚‬‏ واحد، بدلالة كثافة الغاز والحجم الذي يشغله. وذلك لأنه يمكننا أيضًا القول إنه في المنطقة الأولى من الأسطوانة يكون للغاز كثافة ‪𝜌‬‏ واحد.

وبأخذ هذه المعادلة وإعادة ترتيبها بضرب طرفي المعادلة في الحجم ‪𝑉‬‏، نجد أن كتلة الغاز، ‪𝑚‬‏ واحد، تساوي كثافة الغاز، ‪𝜌‬‏ واحد، في الحجم الذي يشغله، ‪𝑉‬‏ واحد. وبذلك نقترب من كتابة معدل السريان الكتلي في المنطقة الأولى من الوعاء بدلالة خواص محددة للغاز والوعاء. وهذه الخواص هي على وجه التحديد كثافة الغاز وحجم الوعاء الذي يشغله هذا الغاز. والذي سنعبر عنه الآن بدلالة مساحة مقطع الأسطوانة والمسافة التي يقطعها الغاز. بعبارة أخرى يمكننا القول إن الحجم ‪𝑉‬‏ واحد يساوي ‪𝐴‬‏ واحد ‪𝑑‬‏ واحد.

والآن في النهاية يمكننا التعويض في معادلة معدل السريان الكتلي، حيث يكون على الطرف الأيسر ‪𝑅‬‏ واحد، ونحن نعلم أنه يساوي ‪𝑚‬‏ واحد على ‪𝑡‬‏، أي يساوي بالفعل ‪𝜌‬‏ واحد ‪𝐴‬‏ واحد ‪𝑑‬‏ واحد على ‪𝑡‬‏. وبذلك نكون قد عبرنا عن معدل السريان الكتلي في الجزء الأول من الوعاء بدلالة كثافة الغاز، ومساحة مقطع الأسطوانة، والمسافة التي يقطعها الغاز خلال فترة زمنية ‪𝑡‬‏.

ولكن عند هذه النقطة يمكننا أيضًا النظر إلى هذا الجزء من الكسر هنا، ‪𝑑‬‏ واحد على ‪𝑡‬‏. ونتذكر أن ‪𝑑‬‏ واحد على ‪𝑡‬‏ يساوي بالفعل ‪𝑣‬‏ واحد، وهي السرعة التي يتحرك بها الغاز من اليسار إلى اليمين. وبذلك نجد أن معدل السريان الكتلي في الجزء الأول من الوعاء يساوي كثافة الغاز في مساحة مقطع الأسطوانة في السرعة التي يتحرك بها الغاز من اليسار إلى اليمين. وجميعها الآن كميات معروفة في الطرف الأيمن.

وهنا تصبح الأمور مثيرة للاهتمام. تذكر أننا توصلنا سابقًا لاستنتاج أن معدل السريان الكتلي في الجزء الثاني من الوعاء لا بد أن يساوي معدل السريان الكتلي في الجزء الأول من الوعاء. لذلك لنقل إن معدل السريان الكتلي في الجزء الثاني من الوعاء، ‪𝑅‬‏ اثنين، يساوي حاصل ضرب ثلاث قيم. وهي كثافة الغاز في الجزء الثاني في الوعاء مضروبة في مساحة مقطع الجزء الثاني من الوعاء مضروبة في السرعة التي يتحرك بها الغاز من اليسار إلى اليمين في الجزء الثاني من الوعاء. ثم نستخدم المعادلة ‪𝑅‬‏ واحد يساوي ‪𝑅‬‏ اثنين ونعوض في الطرف الأيمن لكلتا المعادلتين. فنحصل على هذه المعادلة هنا. وتعرف بمعادلة الاستمرارية للموائع.

وهي معادلة مفيدة ومهمة للغاية فيما يتعلق بدارسة مائع يسري بانسيابية. لا نحتاج إلى حفظ طريقة اشتقاق المعادلة عن ظهر قلب. ولكن من المهم معرفة كيفية اشتقاقها حتى نفهم المعنى الأعمق لهذه الرموز. من المثير للاهتمام أن هذه المعادلة تنطبق بصورة عامة، ويمكننا أن نتعرف منها على سلوك المائع عند سريانه. في هذا الشكل بالأخص، نتناول غازًا يسري من اليسار إلى اليمين خلال وعاء له مساحة مقطع أصغر في المنطقة الثانية مقارنة بالأولى.

إذن يمكننا أن نقول إن مساحة مقطع المنطقة الأولى من الوعاء، ‪𝐴‬‏ واحد، أكبر من مساحة مقطع المنطقة الثانية، ‪𝐴‬‏ اثنين. لكن لنقل إن ‪𝜌‬‏ واحد ‪𝐴‬‏ واحد ‪𝑣‬‏ واحد يجب أن يساوي ‪𝜌‬‏ اثنين ‪𝐴‬‏ اثنين ‪𝑣‬‏ اثنين، وكانت ‪𝐴‬‏ واحد أكبر من ‪𝐴‬‏ اثنين. في هذه الحالة يجب تعويض ذلك بزيادة قيمة ‪𝜌‬‏ اثنين، أي كثافة الغاز؛ أو زيادة قيمة ‪𝑣‬‏ اثنين، أي السرعة التي يتحرك بها الغاز؛ أو كلتيهما. بعبارة أخرى نجد أن ‪𝜌‬‏ واحد أقل من ‪𝜌‬‏ اثنين أو ‪𝑣‬‏ واحد أقل من ‪𝑣‬‏ اثنين أو يحدث مزيج من الحالتين المذكورتين.

إذا فكرنا في الأمر، فسنجد أنه بديهي أيضًا. لدينا وعاء أكبر على الجانب الأيسر. ولدينا غاز يتحرك بسرعة معينة من اليسار إلى اليمين خلال هذا الوعاء. وعند دخوله وعاء أضيق، فلا بد أن يسري الغاز بسرعة أكبر حتى تنتقل الكتلة نفسها من اليسار إلى اليمين خلال الزمن نفسه. أو تضغط جميع الجزيئات إلى حجم أصغر، حتى تزداد الكثافة، أو يحدث مزيج من كليهما. الآن في هذا الموقف بالتحديد حيث إننا نتناول غازًا، سيحدث في الغالب مزيج من كليهما. في الجزء الأضيق من الوعاء، ستزداد الكثافة والسرعة التي يتحرك بها الغاز.

على الرغم من ذلك، هناك نوع من المواد التي تتصرف بطريقة تؤدي إلى حدوث تغير واحد فقط من هذين التغيرين. في الواقع أحد أمثلة هذه المواد هو الماء. يعرف الماء بكونه مائعًا غير قابل للانضغاط. وبالأساس يعني هذا أنه لا يمكن ضغطه. إذا نظرنا من المستوى الجزيئي حتى ننظر إلى جزيئات الماء المنفردة هنا، فإنه، كما يتبين لنا، لا يمكن ضغط جزيئات الماء معًا في حجم أصغر.

بعبارة أخرى لنفترض أن لدينا ‪100‬‏ جزيء من الماء هنا، وتحتل هذه الجزيئات حجمًا محددًا. لا يمكننا التأثير بأي قوة على هذا الحجم هنا لجعل جزيئات الماء هذه تشغل حجمًا أصغر. لا يمكننا ضغط جزيئات الماء هذه لتقترب بعضها من بعض أكثر من ذلك. وهذا هو سبب أن الماء غير قابل للانضغاط. ونتيجة لذلك دائمًا ما سيشغل عدد محدد من الجزيئات حجمًا محددًا. وهذا الحجم لا يمكن ضغطه بحيث تشغل هذه الجزيئات حجمًا أصغر. ولأن هذا العدد المحدد من الجزيئات له كتلة محددة، فإن ما نقوله بالأساس هو أنه بالنسبة لكتلة محددة من جزيئات الماء لا بد أن يكون الحجم الذي تشغله هذه الكتلة ثابتًا. بعبارة أخرى فإن الكتلة لكل وحدة حجم تكون ثابتة للماء وبذلك تكون كثافة الماء ثابتة.

يعني هذا أنه مع سريان الماء من اليسار إلى اليمين، من الجزء الأوسع من الأسطوانة إلى الجزء الأضيق من الأسطوانة، لا تتغير الكثافة. إذن ما لدينا هنا في هذه الحالة بالأخص هو أنه عند التحرك من اليسار إلى اليمين تكون مساحة مقطع الجزء الأول من الأسطوانة أكبر من مساحة مقطع الجزء الثاني من الأسطوانة. ولكن لأن لدينا ماء يسري خلال هذا الوعاء، فإن الكثافة في كلا جانبي الوعاء لا بد أن تكون واحدة. وذلك لأنه مائع غير قابل للانضغاط. لذا فالطريقة الوحيدة لضمان أن ‪𝜌‬‏ واحد ‪𝐴‬‏ واحد ‪𝑣‬‏ واحد يساوي ‪𝜌‬‏ اثنين ‪𝐴‬‏ اثنين ‪𝑣‬‏ اثنين هي حدوث زيادة مناظرة في ‪𝑣‬‏ اثنين، أي السرعة التي يتحرك بها الماء في هذا الجزء من الوعاء.

وبما أن الماء لا يمكن ضغطه، فلا بد أن تشغل كتلة الماء نفسها الحجم نفسه. لكن مساحة المقطع تقل. إذن لا بد أن يزيد الطول الذي يشغله الماء في الأسطوانة. ومن ثم يسري الماء بشكل أسرع إلى اليمين. بعبارة أخرى نجد أن ‪𝑣‬‏ واحد، أي السرعة التي يتحرك بها الماء في الجزء الأول من الوعاء، أقل من ‪𝑣‬‏ اثنين، أي السرعة التي يتحرك بها الماء في الجزء الثاني من الوعاء. وهذا ما يحدث عند تطبيق معادلة الاستمرارية على مائع غير قابل للانضغاط مثل الماء. عند هذه النقطة، رأينا اشتقاق معادلة الاستمرارية وكيف يمكن تطبيقها على بعض الموائع المختلفة.

لنلخص الآن ما تحدثنا عنه في هذا الدرس. أولًا، تعلمنا أن معادلة الاستمرارية توضح العلاقة بين معدلات السريان الكتلي لمائع يسري بانسيابية عند نقاط مختلفة في مسار سريانه. على وجه التحديد، رأينا أنه عند مقارنة سريان المائع عند موضعين مختلفين في مسار سريانه، موضع واحد وموضع اثنين، تنص معادلة الاستمرارية على أن كثافة المائع في مساحة مقطع الوعاء الذي يسري خلاله في السرعة التي يسري بها المائع في الموضع واحد لا بد أن تساوي كثافة المائع في مساحة المقطع في السرعة التي يسري بها المائع في الموضع اثنين.

ونرى أنها تستخدم في الحالة التي يكون فيها الموضعان واحد واثنان عبارة عن منطقتين واحد واثنين. وتختلف مساحة مقطع الوعاء في المنطقة اثنين مقارنة بالمنطقة واحد. وهذا يقودنا إلى النقطة النهائية، وهي أن المعادلة تستخدم عادة لوصف التأثيرات الناتجة عن التغير في مساحة مقطع الوعاء الذي يسري خلاله المائع. ولكن لا تقتصر المعادلة على هذا الغرض. إذ يمكن استخدام معادلة الاستمرارية لوصف التغيرات في خواص سريان المائع عند تغير أي من هذه الكميات. وهذا ملخص معادلة الاستمرارية للموائع.