نسخة الفيديو النصية
حل جذر اثنين جا 𝜃 زائد جذر ثلاثة جتا 𝜃 يساوي اثنين؛ حيث 𝜃 أكبر من صفر وأصغر من أو يساوي اثنين 𝜋. أوجد إجابتك بالراديان، لأقرب منزلتين عشريتين.
في هذا السؤال، لدينا معادلة توافقية يمكننا حلها بتذكر إحدى صيغ مجموع زاويتين في حساب المثلثات أولًا. تنص هذه الصيغة على أن جا ﺃ زائد ﺏ يساوي جا ﺃ جتا ﺏ زائد جتا ﺃ جا ﺏ. سنبدأ بكتابة أي معادلة توافقية على الصورة ﺃ جا 𝜃 زائد ﺏ جتا 𝜃 في صورة ﻝ مضروبًا في جا 𝜃 زائد 𝛼. في هذا السؤال، نحتاج إلى إعادة كتابة جذر اثنين جا 𝜃 زائد جذر ثلاثة جتا 𝜃 على الصورة ﻝ مضروبًا في جا 𝜃 زائد 𝛼؛ حيث يمكن إيجاد قيمتي ﻝ و𝛼 باستخدام الثابتين ﺃ وﺏ.
لعلنا نتذكر أن ﻝ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع، وأن 𝛼 يساوي الدالة العكسية لـ ظا ﺏ على ﺃ. بدلًا من ذلك، يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيسر من المعادلة باستخدام صيغة مجموع زاويتين. بعد توزيع القوسين أو فكهما، يصبح لدينا ﻝ جا 𝜃 جتا 𝛼 زائد ﻝ جتا 𝜃 جا 𝛼. يمكننا بعد ذلك مقارنة معاملي جا 𝜃 وجتا 𝜃 في كلا طرفي المعادلة، وهذا يعطينا جذر اثنين يساوي ﻝ جتا 𝛼 وجذر ثلاثة يساوي ﻝ جا 𝛼.
لدينا الآن معادلتان آنيتان يمكننا استخدامهما لإيجاد قيمتي 𝛼 وﻝ. بقسمة المعادلة رقم اثنين على المعادلة رقم واحد، نحصل على جذر ثلاثة على جذر اثنين يساوي ﻝ جا 𝛼 على ﻝ جتا 𝛼. وبما أن جا 𝛼 على جتا 𝛼 يساوي ظا 𝛼، إذن يصبح لدينا ظا 𝛼 يساوي جذر ثلاثة على جذر اثنين. يمكننا بعد ذلك إيجاد الدالة العكسية للظل لطرفي هذه المعادلة؛ حيث 𝛼 يساوي الدالة العكسية لـ ظا لجذر ثلاثة على جذر اثنين. ومن ثم، يمكننا ملاحظة أن 𝛼 يساوي الدالة العكسية لـ ظا ﺏ على ﺃ. بكتابة هذا على الآلة الحاسبة، والتأكد من ضبطها على وضع الراديان، سنحصل على 𝛼 يساوي ٠٫٨٨٦، وهكذا مع توالي الأرقام.
يمكننا بعد ذلك التعويض بهذه القيمة الدقيقة لـ 𝛼 في المعادلة رقم واحد أو رقم اثنين لحساب قيمة ﻝ. في المعادلة رقم اثنين، لدينا ﻝ يساوي جذر ثلاثة على جا 𝛼، وهو ما يساوي جذر خمسة. كان بإمكاننا أيضًا إيجاد قيمة ﻝ هذه بناء على معرفتنا بمتطابقة فيثاغورس المثلثية، والتي نعلم منها حقيقة أن ﻝ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. الجذر التربيعي لجذر اثنين تربيع زائد جذر ثلاثة تربيع يساوي جذر خمسة. دعونا نفرغ بعض المساحة لنجد أن لدينا الآن المعادلة جذر خمسة مضروبًا في جا 𝜃 زائد ٠٫٨٨٦ — وهكذا مع توالي الأرقام — يساوي اثنين. علينا حل هذه المعادلة لإيجاد قيم 𝜃 الأكبر من صفر والأصغر من أو تساوي اثنين 𝜋.
لنبدأ بقسمة طرفي هذه المعادلة على جذر خمسة. هذا يعطينا جا 𝜃 زائد ٠٫٨٨٦ — وهكذا مع توالي الأرقام — يساوي اثنين على جذر خمسة. بعد ذلك، سنوجد الدالة العكسية للجيب لكلا الطرفين. 𝜃 زائد ٠٫٨٨٦ يساوي الدالة العكسية لـ جا لاثنين على جذر خمسة. بعد التأكد من ضبط الآلة الحاسبة على وضع الراديان مرة أخرى، نجد أن الطرف الأيسر يساوي ١٫١٠٧ وهكذا مع توالي الأرقام. يمكننا الآن الحصول على أحد حلول هذه المعادلة بطرح ٠٫٨٨٦ — وهكذا مع توالي الأرقام — من الطرفين. هذا يعطينا ٠٫٢٢١، وهكذا مع توالي الأرقام. وبتقريب هذا الناتج لأقرب منزلتين عشريتين كما هو مطلوب في السؤال، نحصل على 𝜃 يساوي ٠٫٢٢.
قد نعتقد أننا انتهينا عند هذه المرحلة. لكننا نريد إيجاد جميع قيم 𝜃 التي تقع بين صفر واثنين 𝜋. إحدى طرق التحقق من وجود أي حلول أخرى هي استخدام مخطط إشارات الدوال المثلثية. تقاس الزوايا الموجبة الواقعة بين صفر واثنين 𝜋 عكس اتجاه دوران عقارب الساعة كما هو موضح. بما أن جيب الزاوية لدينا موجب، فإننا نعلم من ذلك أنه ستوجد حلول في الربعين الأول والثاني. وبناء على تماثل دالة الجيب، سنحصل على حل ثان؛ حيث 𝜃 زائد ٠٫٨٨٦ — وهكذا مع توالي الأرقام — يساوي 𝜋 ناقص ١٫١٠٧، وهكذا مع توالي الأرقام. يمكننا بعد ذلك طرح ٠٫٨٨٦ من الطرفين، وهو ما يعطينا 𝜃 يساوي ١٫١٤٨، وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب مرة أخرى لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن 𝜃 تساوي ١٫١٥.
إذن، حلا المعادلة جذر اثنين جا 𝜃 زائد جذر ثلاثة جتا 𝜃 يساوي اثنين؛ حيث 𝜃 أكبر من صفر وأصغر من أو يساوي اثنين 𝜋 راديان، لأقرب منزلتين عشريتين، هما 𝜃 يساوي ٠٫٢٢ و١٫١٥.
