نسخة الفيديو النصية
استخدم نظرية ذات الحدين لإيجاد مفكوك واحد زائد ﺱ أس أربعة.
تخبرنا نظرية ذات الحدين أن مفكوك ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ للأعداد الطبيعية ﻥ يساوي ﺃ أس ﻥ زائد ﻥ توافيق واحد في ﺃ أس ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺏ زائد ﻥ توافيق اثنين مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص اثنين في ﺏ تربيع وصولًا إلى ﺏ أس ﻥ. أما للتعبيرات التي تكون على الصورة واحد زائد ﺱ أس ﻥ، حيث القيمة المطلقة لـ ﺱ أقل من واحد، وﻥ هو أي عدد حقيقي. أي إن ذلك يشمل بالأساس الأعداد السالبة والأعداد العشرية. في هذه الحالة تكون قيمة المفكوك هي واحد زائد ﻥﺱ زائد ﻥ مضروبًا في ﻥ ناقص واحد على واحد في اثنين ﺱ تربيع وهكذا.
الآن، علينا إيجاد مفكوك واحد زائد ﺱ أس أربعة. وهذا يشبه بالفعل التعبير الثاني. لكن في الواقع بما أن أربعة هو عدد طبيعي، يمكننا استخدام كلا التعبيرين. سنستخدم الصيغة الأولى. سنجعل ﺃ يساوي واحدًا وﺏ يساوي ﺱ. وسنرفع الكل إلى أس أربعة. لذا نجعل ﻥ يساوي أربعة. إذن، الحد الأول في المفكوك لا بد أن يساوي واحدًا أس أربعة. والحد الثاني هو أربعة توافيق واحد في واحد تكعيب في ﺱ. والحد الثالث هو أربعة توافيق اثنين في واحد تربيع في ﺱ تربيع. والحد الرابع هو أربعة توافيق ثلاثة في واحد في ﺱ تكعيب. والحد الخامس والأخير هو ﺱ أس أربعة.
هيا نحاول إيجاد قيمة أربعة توافيق واحد، وأربعة توافيق اثنين، وأربعة توافيق ثلاثة. لفعل ذلك، نتذكر أن ﻥ توافيق ﺭ تمثل بالصيغة: مضروب ﻥ على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ. هذا يعني أن أربعة توافيق واحد لا بد أن يساوي مضروب أربعة على مضروب واحد في مضروب أربعة ناقص واحد. هيا نبسط المقام إلى مضروب واحد في مضروب ثلاثة. ثم نتذكر أن مضروب أربعة يساوي أربعة في ثلاثة في اثنين في واحد؛ أي ما يساوي أربعة في مضروب ثلاثة. عندئذ، يمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة أربعة في مضروب ثلاثة على واحد في مضروب ثلاثة، ثم نقسم كلًّا من البسط والمقام على مضروب ثلاثة. وبذلك، نرى أن أربعة توافيق واحد يساوي أربعة.
دعونا نكرر ذلك مع أربعة توافيق اثنين. هذه المرة، يكون ذلك مساويًا لمضروب أربعة على مضروب اثنين في مضروب أربعة ناقص اثنين. بعد ذلك، نبسط المقام إلى مضروب اثنين في مضروب اثنين. ثم، نكتب البسط على الصورة أربعة في ثلاثة في مضروب اثنين. نلاحظ أنه يمكننا قسمة كل من البسط والمقام على مضروب اثنين. ومضروب اثنين يساوي اثنين. إذن، يمكن تبسيط ذلك إلى اثنين في ثلاثة، وهو ما يساوي بالطبع ستة. إذن، أربعة توافيق اثنين يساوي ستة.
سنكرر هذه العملية مرة أخرى مع أربعة توافيق ثلاثة. وهو ما يساوي مضروب أربعة على مضروب ثلاثة في مضروب واحد. وإذا انتبهنا جيدًا، فسنلاحظ أن هذا هو نفسه أربعة توافيق واحد. وعليه، يجب أن يساوي أربعة أيضًا. خلال عملية إيجاد المفكوك، نجد أن واحدًا تكعيب، وواحدًا تربيع، وواحدًا؛ يساوي واحدًا ببساطة. بذلك نجد أن مفكوك ذات الحدين لواحد زائد ﺱ أس أربعة يساوي واحدًا زائد أربعة ﺱ زائد ستة ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ تكعيب زائد ﺱ أس أربعة.