فيديو: العمليات البيانية على المتجهات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نجري عمليات على المتجهات بيانيًا باستخدام قاعدتي المثلث ومتوازي الأضلاع.

١٥:٣٣

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نجري عمليات على المتجهات بيانيًا باستخدام قاعدتي المثلث ومتوازي الأضلاع. لنبدأ بتذكر ما نعرفه عن المتجهات. الكمية المتجهة لها قياس نسميه المقدار، ولها اتجاه. ونمثل كلًا منهما إما بالأعمدة وإما بهذه الأقواس الزاوية، حيث إن المتجه اثنين، خمسة يمثل حركة بمقدار وحدتين إلى اليمين وخمس وحدات لأعلى. والمتجه سالب واحد، سالب أربعة يمثل حركة بمقدار وحدة واحدة لليسار وأربع وحدات لأسفل.

في كثير من الأحيان، نستخدم الترميز ‪𝑖‬‏ و‪𝑗‬‏، حيث ‪𝑖‬‏ متجه الوحدة في الاتجاه الأفقي و‪𝑗‬‏ متجه الوحدة في الاتجاه الرأسي. إننا نمثل المتجه باستخدام قطعة مستقيمة عليها سهم. ونقول إن المتجه الواصل من ‪𝐀‬‏ إلى ‪𝐁‬‏ هو المتجه ‪𝐀𝐁‬‏، مع وضع سهم أعلى ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏ كما هو موضح.

ويمكن جمع المتجهات وطرحها وضربها في كمية قياسية. وهي قيمة لها مقدار فقط. ويمكننا استخدامها لحل مسائل هندسية. لننظر إلى مثالين لنذكر أنفسنا بكيفية تفسير المتجهات الممثلة على شبكة إحداثيات.

يوضح الشكل الآتي متجهًا. ما إحداثيات نقطة نهاية المتجه؟ ما إحداثيات نقطة بداية المتجه؟ ما مركبتا المتجه؟

نقول إن للمتجه نقطة بداية، وهي حيث يبدأ، ونقطة نهاية، وهي حيث ينتهي. إذن لإيجاد إحداثيي نقطة نهاية المتجه في الشكل، أي المتجه ‪𝑣‬‏، علينا إيجاد النقطة التي تنتهي عندها القطعة المستقيمة التي تمثل هذا المتجه. تذكر أن السهم يمثل اتجاه المتجه. إذن في هذه الحالة، ننتقل من اليسار إلى اليمين. هذا يعني أن المتجه ينتهي هنا. وبذلك، يمكننا القول إن إحداثيي نقطة نهايته هما اثنان، واحد.

بعد ذلك، نحاول إيجاد إحداثيي نقطة بدايته. وتذكر أننا قلنا إنها بداية القطعة المستقيمة. أي هنا. وإحداثيا هذه النقطة هما سالب واحد، ثلاثة. إذن، هذان هما إحداثيا نقطة بداية المتجه.

ويطلب منا الجزء الثالث والأخير من السؤال إيجاد مركبتي المتجه. إننا نقسم المتجهات الثنائية الأبعاد إلى مركبات تمثل الحركتين الأفقية والرأسية كلًا على حدة. ولنرى ما يعنيه ذلك، سنضيف مثلثًا قائم الزاوية عند المتجه ‪𝑣‬‏. وهذا سيقسمه إلى مركبتيه الأفقية والرأسية. وسيكون المثلث القائم الزاوية الذي نضيفه كما هو موضح.

لنلق نظرة على الحركة في الاتجاه الأفقي. نبدأ من ‪𝑥‬‏ يساوي سالب واحد، ونتحرك وحدة، وحدتين، ثلاث وحدات إلى اليمين. بعد ذلك، ننظر إلى الحركة الرأسية. نبدأ بالإحداثي ‪𝑦‬‏ الذي يساوي ثلاثة، ونتحرك وحدة، وحدتين إلى الأسفل. يمكننا إذن كتابة المتجه ‪𝑣‬‏ كما هو موضح. يمكننا استخدام عمود أو هذين القوسين الزاويين. وسيكون المتجه ثلاثة، سالب اثنين.

في المثال الثاني، سنتناول ما نعنيه بالمتجهات المكافئة وكيف يمكن أن تساعدنا الخواص الهندسية للشكل السداسي في تحديدها.

الشكل ‪𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹‬‏ شكل سداسي منتظم مركزه ‪𝑚‬‏. أكمل الآتي. المتجه ‪𝐀𝐁‬‏ يكافئ ماذا؟ هل يكافئ (أ) المتجه ‪𝐌𝐄‬‏، أو (ب) المتجه ‪𝐅𝐌‬‏، أو (ج) المتجه ‪𝐁𝐌‬‏، أو (د) المتجه ‪𝐃𝐂‬‏، أو (هـ) المتجه ‪𝐃𝐌‬‏؟

نقول إن المتجهين متساويان أو متكافئان إذا كان لهما المقدار والاتجاه نفسيهما. وهذا بغض النظر عن مكان وقوعهما. على سبيل المثال، لنفترض أن المتجه ‪𝑎‬‏ يساوي واحدًا، ثلاثة، و‪𝑏‬‏ يساوي واحدًا، ثلاثة. كلاهما يمثل حركة بمقدار وحدة واحدة لليمين وثلاث وحدات لأعلى. إنهما متجهان متكافئان. ونقول إن المتجه ‪𝑎‬‏ يساوي المتجه ‪𝑏‬‏.

نريد الآن إيجاد متجه يكافئ المتجه ‪𝐀𝐁‬‏. إننا لا نعرف فعليًا مقدار المتجه ‪𝐀𝐁‬‏ واتجاهه. ولكن يمكننا استنتاج المتجهات المكافئة له من الشكل باستخدام شيء من الاستدلال الهندسي. يتحرك المتجه ‪𝐀𝐁‬‏ من ‪𝐀‬‏ إلى ‪𝐁‬‏، كما هو موضح. ونعلم أنه في الشكل السداسي الأضلاع، تكون الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية في الطول. ونعلم أيضًا أنه يمكننا تقسيم الشكل السداسي الأضلاع المنتظم إلى ستة مثلثات متساوية الأضلاع حول المركز. وبذلك، نعرف أن هذين الضلعين يوازيان هذين الضلعين.

بما أن المثلثات متساوية الأضلاع، فهذا يعني أن هذه الأضلاع متساوية في الطول أيضًا. وهذا يعني أن المتجه ‪𝐀𝐁‬‏ له عدة متجهات مكافئة. لنتحرك من اليسار إلى اليمين، وسنرى أنه مكافئ للمتجه ‪𝐅𝐌‬‏. وبالمثل، يكون مكافئًا أو مساويًا للمتجه ‪𝐌𝐂‬‏. كما أن له متجهًا آخر مكافئًا. المتجه ‪𝐄𝐃‬‏ مساو له في المقدار والاتجاه. ومن بين تلك المتجهات في قائمة الخيارات، نجد أن الإجابة الصحيحة هي (ب). إنه المتجه ‪𝐅𝐌‬‏.

لاحظ أنه لو كان المتجه ‪𝐌𝐅‬‏ ضمن الخيارات، لكان من الخاطئ استنتاج أن ‪𝐀𝐁‬‏ و‪𝐌𝐅‬‏ متساويان. لكن يمكننا القول إن المتجه ‪𝐀𝐁‬‏ يساوي سالب المتجه ‪𝐌𝐅‬‏، لأن تغيير الإشارة يغير اتجاه الحركة.

وهناك في الواقع الكثير من المتجهات المتكافئة الأخرى في هذا الشكل السداسي المنتظم. المتجه ‪𝐀𝐅‬‏ على سبيل المثال. إنه يساوي المتجه ‪𝐁𝐌‬‏ من حيث الاتجاه والمقدار للأسباب نفسها. كما أنه مكافئ للمتجه ‪𝐌𝐄‬‏. وكل من هذه المتجهات مكافئ أيضًا للمتجه ‪𝐂𝐃‬‏.

في هذا المثال، سنتعرف على كيفية حساب قيمة الكمية القياسية المستخدمة لمضاعفة متجه.

باستخدام المعلومات الموضحة في الشكل الآتي، إذا كان المتجه ‪𝐁𝐂‬‏ يساوي ‪𝐊‬‏ مضروبًا في المتجه ‪𝐄𝐃‬‏، فأوجد قيمة ‪𝐊‬‏.

في هذا الشكل، لدينا مثلثان متشابهان. وهذا يعني أن أحدهما صورة مكبرة للآخر. تم تكبير المثلث ‪𝐴𝐷𝐸‬‏ ليصبح المثلث ‪𝐴𝐵𝐶‬‏. نعرف ذلك لأن الزاوية ‪𝐴‬‏ هنا زاوية مشتركة. ونرى أن الزاويتين ‪𝐴𝐸𝐷‬‏ و‪𝐴𝐶𝐵‬‏ متساويتان في القياس وكذلك الزاويتان ‪𝐴𝐷𝐸‬‏ و‪𝐴𝐵𝐶‬‏. وهذا لأن الزاويتين المتناظرتين متساويتان في القياس، ونعلم أن الضلعين ‪𝐸𝐷‬‏ و‪𝐶𝐵‬‏ متوازيان.

بما أن زوايا المثلثين متساوية في القياس، فلا بد أنهما متشابهان. وهذا يعني أنه يمكننا حساب معامل قياس التكبير. ويمكن إيجاد ذلك عن طريق قسمة طول أحد أضلاع المثلث المكبر على طول الضلع المقابل له في المثلث الأصلي. نكتب ذلك أحيانًا على صورة طول الضلع الجديد مقسومًا على طول الضلع القديم.

إذا افترضنا أن المثلث المكبر هو ‪𝐴𝐵𝐶‬‏، والمثلث الأصلي هو ‪𝐴𝐷𝐸‬‏، فسنرى أنه يمكننا إيجاد معامل القياس عبر قسمة طول الضلع ‪𝐴𝐵‬‏ على طول الضلع ‪𝐴𝐷‬‏. طول الضلع ‪𝐴𝐵‬‏ يساوي مجموع البعدين المعطيين. أي إنه يساوي ‪7.8‬‏ زائد ‪5.2‬‏، وهو ما يساوي ‪13‬‏ سنتيمترًا. وبالتالي، فإن معامل قياس التكبير هنا يساوي ‪13‬‏ مقسومًا على ‪5.2‬‏، أي خمسة على اثنين.

معامل القياس هو ببساطة مضاعف. نعلم أنه لتكبير المثلث ‪𝐴𝐷𝐸‬‏ ليصبح المثلث ‪𝐴𝐵𝐶‬‏، نضرب أطوال أضلاعه في معامل القياس خمسة على اثنين. والآن، لنحاول إيجاد العلاقة بين المتجهين ‪𝐁𝐂‬‏ و‪𝐄𝐃‬‏. نعلم أن البعد ‪𝐶𝐵‬‏ لا بد أن يساوي خمسة على اثنين مضروبًا في البعد ‪𝐸𝐷‬‏. لكن بما أن هذين الخطين متوازيان أيضًا، فإننا نعرف أن لهما الاتجاه نفسه. وهذا يعني أنه يمكننا القول إن المتجه ‪𝐂𝐁‬‏ يجب أن يكون خمسة على اثنين مضروبًا في المتجه ‪𝐄𝐃‬‏.

المشكلة هنا هي أننا نريد إيجاد المتجه ‪𝐁𝐂‬‏ بدلالة المتجه ‪𝐄𝐃‬‏. وحاليًا، لدينا المتجه ‪𝐂𝐁‬‏ بدلالة ‪𝐄𝐃‬‏. وهكذا فإننا نتحرك في الاتجاه المعاكس. ونتذكر أنه لحل ذلك مع المتجهات، نغير الإشارة بحيث يكون المتجه ‪𝐁𝐂‬‏ مساويًا لسالب المتجه ‪𝐂𝐁‬‏. لقد وجدنا قبل قليل أن المتجه ‪𝐂𝐁‬‏ يساوي خمسة على اثنين في المتجه ‪𝐄𝐃‬‏. إذن هذا يعني أن المتجه ‪𝐁𝐂‬‏ يساوي سالب خمسة على اثنين في المتجه ‪𝐄𝐃‬‏. بمقارنة هذا بالصورة الأصلية في السؤال، نجد أن ‪𝐊‬‏ يساوي سالب خمسة على اثنين.

في المثال التالي، سنتناول كيفية إيجاد محصلة متجهين وما نعنيه بقاعدة المثلث لجمع المتجهات.

يمثل المتجه الأزرق العدد المركب ‪𝑧‬‏ واحد. يمثل المتجه الأخضر العدد المركب ‪𝑧‬‏ اثنين. ما الذي يمثله المتجه الأحمر؟

لا داعي لأن تقلق كثيرًا من أن اسمي المحورين ليسا كما تعودت. سنتعامل مع هذا الشكل باعتباره مستوى ‪𝑥𝑦‬‏. لدينا متجهان، وهما ‪𝑧‬‏ واحد و‪𝑧‬‏ اثنان. ثم، إذا نظرنا إلى الخط الأحمر، فسنجد أنه ينتقل من نقطة بداية المتجه ‪𝑧‬‏ واحد إلى نقطة نهاية المتجه ‪𝑧‬‏ اثنين.

وعند النظر إلى المتجهات، أفضل التفكير فيها كما لو كانت خريطة للمترو أو قطار الأنفاق. نريد أحيانًا الانتقال من محطة إلى أخرى ولكن لا يمكننا الوصول إلى هناك مباشرة. وبدلًا من ذلك، ننتقل إلى محطة وسيطة، ونغير القطار، ثم ننتقل إلى الوجهة النهائية. بالمثل وجهتنا النهائية هنا. ولكن سنصل إليها بطريقة مختلفة. في هذه الحالة، نريد الانتقال من النقطة صفر، صفر إلى النقطة سبعة، واحد. وبدلًا من الانتقال مباشرة، تحركنا من صفر، صفر إلى اثنين، ثلاثة على طول المتجه ‪𝑧‬‏ واحد. ثم تحركنا من اثنين، ثلاثة إلى سبعة، واحد على طول المتجه ‪𝑧‬‏ اثنين.

متجهيًا نقول إن الرحلة هي ‪𝑧‬‏ واحد زائد ‪𝑧‬‏ اثنين. والآن، يمكننا التحقق من ذلك بالنظر إلى مركبتي كل متجه. ‏‏‪𝑧‬‏ واحد هو المتجه اثنان، ثلاثة. للانتقال من نقطة بداية المتجه الثاني إلى نقطة نهايته، نتحرك بمقدار خمسة إلى اليمين وبمقدار اثنين إلى أسفل. إذن، مركبتاه هما خمسة، سالب اثنين.

قلنا إننا نعتقد أن المتجه الأحمر هو مجموع هذين المتجهين. اثنان، ثلاثة زائد خمسة، سالب اثنين. حسنًا، يمكننا إيجاد مجموع هذين المتجهين من خلال جمع مركبتيهما. نجمع اثنين وخمسة لنحصل على سبعة. ثم نجمع ثلاثة وسالب اثنين لنحصل على واحد. إذن، ‪𝑧‬‏ واحد زائد ‪𝑧‬‏ اثنين يساوي سبعة، واحد. وإذا قارنا ذلك بالمتجه الأحمر، نجد أنه سبعة، واحد أيضًا. يمثل المتجه الأحمر ‪𝑧‬‏ واحد زائد ‪𝑧‬‏ اثنين.

وها قد أصبح للمتجه الأحمر اسمًا رياضيًا. إنه يسمى محصلة المتجهين ‪𝑧‬‏ واحد و‪𝑧‬‏ اثنين. ونظرًا للشكل الذي يصنعه، نعرف قاعدة المثلث الخاصة بجمع المتجهات على النحو التالي. نقول إنه إذا كان هناك متجهان ممثلان بضلعين في مثلث، فسيمثل الضلع الثالث في ذلك المثلث مقدار محصلتهما واتجاهها. وهذا موضح في هذا الشكل العام. المتجه ‪𝐀𝐂‬‏ هو محصلة المتجهين ‪𝐀𝐁‬‏ و‪𝐁𝐂‬‏. ونقول إن ‪𝐀𝐂‬‏ يساوي ‪𝐀𝐁‬‏ زائد ‪𝐁𝐂‬‏.

في المثال الأخير، سنتناول كيفية إيجاد محصلة متجهين باستخدام طريقة متوازي الأضلاع.

يوضح الشكل المتجهين، ‪𝑣‬‏ و‪𝑢‬‏، حيث مقدار ‪𝑣‬‏ يساوي خمسة ومقدار ‪𝑢‬‏ يساوي سبعة. استخدم طريقة متوازي الأضلاع لإيجاد مقدار محصلة هذين المتجهين. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

سميت طريقة متوازي الأضلاع بهذا الاسم بسبب الشكل الذي تصنعه، كما هو موضح في الشكل. وتنص على أنه إذا كان هناك متجهان يؤثران آنيًا على نقطة ما، فيمكن تمثيل كل من مقداريهما واتجاهيهما بضلعي متوازي أضلاع متجاورين مرسومين من نقطة واحدة. ومن ثم يمثل متجه المحصلة من حيث المقدار والاتجاه بقطر متوازي الأضلاع المار بتلك النقطة.

إذن يوضح الشكل أن محصلة المتجهين ‪𝑣‬‏ و‪𝑢 ‬‏— أي مجموعهما — هي قطر متوازي الأضلاع المرسوم باللون الوردي. ولكن كيف يساعدنا ذلك؟ حسنًا، لدينا بعض المعلومات عن مقدار المتجهين ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏. تذكر أن المقدار هو قياس المتجه أو طوله. إذن يمكننا أن نكتب سبع وحدات عند المتجه ‪𝑢‬‏ وخمس وحدات عند المتجه ‪𝑣‬‏. كما يمكننا إضافة قياسات بعض الزوايا المجهولة. إننا نعرف أن مجموع قياسي الزاويتين الداخليتين على جهة واحدة من القاطع يساوي ‪180‬‏ درجة. ونعرف أن هذين الضلعين متوازيان. إنه متوازي أضلاع‪‎‬‏. إذن، قياس هذه الزاوية يساوي ‪180‬‏ ناقص ‪125‬‏، أي ‪55‬‏ درجة.

في الواقع، يمكننا كتابة طولي ضلعي متوازي الأضلاع الآخرين. إننا نعلم أن الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية في الطول. لذا يمكننا القول إن طولي هذين الضلعين هما خمسة وسبعة. والآن، سنقسم متوازي الأضلاع إلى مثلثين. إننا نحاول إيجاد مقدار ‪𝑣‬‏ زائد ‪𝑢‬‏، أي طول هذا القطر.

لنفترض أن طول هذا الضلع يساوي ‪𝑥‬‏ وحدة. نلاحظ الآن أن لدينا مثلثًا غير قائم الزاوية، نعرف طول اثنين من أضلاعه وقياس الزاوية المحصورة بينهما. هذا يعني أنه يمكننا استخدام قاعدة جيب التمام لإيجاد الطول المجهول ‪𝑥‬‏. تنص قاعدة جيب التمام على أن ‪𝑎‬‏ تربيع يساوي ‪𝑏‬‏ تربيع زائد ‪𝑐‬‏ تربيع ناقص اثنين ‪𝑏𝑐 cos 𝐴‬‏. وبما أن قياس الزاوية التي لدينا يساوي ‪55‬‏ درجة، فسنسمي هذا الرأس ‪𝐴‬‏. إذن، سيكون الضلع المقابل له ‪𝑎‬‏.(بحرف صغير). ويمكننا تسمية الضلعين الآخرين بأي ترتيب كان. لنسم الضلع الذي طوله خمسة، ‪𝑏‬‏؛ والذي طوله سبعة، ‪𝑐‬‏.

يمكننا الآن التعويض بجميع القيم التي نعرفها عن المثلث في هذه الصيغة. ونحصل على ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي خمسة تربيع زائد سبعة تربيع ناقص اثنين في خمسة في سبعة في ‪cos 55‬‏ درجة. بحساب قيمة هذا المقدار الذي في الطرف الأيمن نحصل على ‪33.84‬‏ وهكذا مع توالي الأرقام. والآن، سنحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏ بأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين. هذا يعطينا ‪5.818‬‏ وهكذا مع توالي الأرقام، وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على ‪5.82‬‏. إذن، توصلنا إلى أن طول ‪𝑥‬‏ يساوي ‪5.82‬‏ وحدة، ما يعني أن مقدار محصلة ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏ يساوي ‪5.82‬‏.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تعلمناها في هذا الدرس. في هذا الفيديو، تعلمنا أن المتجهات يمكن وصفها بمعلومية نقطة بدايتها، أي نقطتها الابتدائية؛ ونقطة نهايتها، أي نقطتها النهائية؛ وباستخدام مركباتها الخاصة. وتمثل هذه المركبات المكونين الأفقي والرأسي للحركة. ورأينا أنه يمكننا استخدام الخواص الهندسية للأشكال لحل مسائل متعلقة بمحصلة متجهين وإيجاد مضاعفات قياسية.

تعلمنا قاعدة المثلث. وتنص على أنه إذا كان هناك متجهان ممثلان بضلعين في مثلث، فسيمثل الضلع الثالث في ذلك المثلث مقدار متجه المحصلة واتجاهه. إذا كان المتجهان هما ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏، فستكون المحصلة ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏‬‏. وبالطبع نضع سهمًا هنا كما هو موضح.

وأخيرًا تعلمنا طريقة متوازي الأضلاع. وتنص على أنه إذا كان هناك متجهان يؤثران آنيًا على نقطة ما، فإنهما يمثلان من حيث المقدار والاتجاه بضلعي متوازي أضلاع متجاورين مرسومين من نقطة واحدة. فسيمثل متجه المحصلة من حيث المقدار والاتجاه بقطر متوازي الأضلاع المار بتلك النقطة، كما هو موضح.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.