نسخة الفيديو النصية
إذا كانت الدالة ﺩ ﺱ تساوي ثلث ﺱ تكعيب زائد اثنين ﺱ تربيع ناقص ٣٦ﺱ ناقص ٢٤، فأوجد قيم ﺱ التي تجعل ﺩ شرطة ﺱ تساوي سالب أربعة.
لدينا هنا الدالة ﺩ ﺱ، وهي كثيرة حدود تكعيبية. ومطلوب منا تحديد قيم ﺱ التي تجعل ﺩ شرطة ﺱ تساوي سالب أربعة. أولًا، علينا أن نتذكر ما نعنيه بـ ﺩ شرطة ﺱ. بما أن ﺩ دالة في المتغير ﺱ، فهذا يعني مشتقة ﺩ بالنسبة إلى ﺱ. لذا، علينا اشتقاق الدالة ﺩ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا ملاحظة أن ﺩ ﺱ كثيرة حدود تكعيبية، ونحن نعرف كيف نشتق كثيرات الحدود التكعيبية. سنشتق حدًّا بحد باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق.
لعلنا نتذكر أن قاعدة القوة للاشتقاق تنص على أنه لأي ثابتين حقيقيين ﺃ وﻥ، تكون مشتقة ﺃ في ﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻥ في ﺃ في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. نضرب في أس ﺱ ثم نطرح واحدًا من الأس. نريد تطبيق هذا حدًّا بحد على الدالة ﺩ ﺱ. هيا نبدأ بالحد الأول، أس ﺱ هنا يساوي ثلاثة.
إذن، علينا الضرب في الأس ثلاثة، ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. وهذا يعطينا ثلاثة في ثلث مضروبًا في ﺱ أس ثلاثة ناقص واحد. وبالطبع، يمكننا تبسيط ذلك. ثلاثة في ثلث يساوي واحدًا، وثلاثة ناقص واحد في الأس يبسط إلى اثنين. من ثم، تبسط مشتقة الحد الأول إلى ﺱ تربيع. دعونا ننتقل الآن إلى الحد الثاني. نلاحظ أن أس ﺱ يساوي اثنين.
ومجددًا، نضرب في الأس اثنين، ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. وهذا يعطينا اثنين في اثنين ﺱ أس اثنين ناقص واحد. ويمكن تبسيط ذلك إلى أربعة في ﺱ أس واحد. وبالطبع، يبسط ﺱ أس واحد إلى ﺱ. وعليه، تبسط مشتقة الحد الثاني إلى أربعة ﺱ. نريد الآن اشتقاق الحد الثالث، سالب ٣٦ﺱ. ولكن، يمكننا ملاحظة أنه ليس مكتوبًا على الصورة ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ. لكن يمكننا كتابته على هذه الصورة.
علينا أن نتذكر أن ﺱ أس واحد يساوي ﺱ. ومن ثم، يمكننا كتابة ذلك على الصورة سالب ٣٦ في ﺱ أس واحد. والآن يمكننا الاشتقاق باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. نضرب في الأس واحد، ثم نطرح واحدًا من الأس. وهذا يعطينا سالب واحد في ٣٦ﺱ أس واحد ناقص واحد. ويمكننا تبسيط هذا التعبير بالكامل إلى سالب ٣٦ﺱ أس صفر. لكن تذكر أن أي عدد أس صفر يساوي واحدًا. إذن، يمكن تبسيط ذلك إلى سالب ٣٦.
وأخيرًا، نريد إيجاد مشتقة الثابت سالب ٢٤ بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا فعل ذلك بكتابته على صورة سالب ٢٤ في ﺱ أس صفر؛ لأن ﺱ أس صفر يساوي واحدًا. ومع ذلك، من الأسهل فعل ذلك بتذكر أن سالب ٢٤ ثابت، ولا يتغير بتغير ﺱ. لذا، فإن مشتقته بالنسبة إلى ﺱ تساوي صفرًا. وهكذا، نكون قد أثبتنا أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ ناقص ٣٦، لكننا لم ننته بعد. تذكر أن علينا إيجاد قيم ﺱ التي تجعل قيمة ﺩ شرطة ﺱ تساوي سالب أربعة. ومن ثم، علينا حل هذه المعادلة عندما يساوي المقدار سالب أربعة.
نريد حل ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ ناقص ٣٦ يساوي سالب أربعة. سنفعل ذلك بإضافة أربعة إلى طرفي المعادلة. وسنحصل على ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ ناقص ٣٢ يساوي صفرًا. وهناك بضع طرق أخرى لحل هذه المسألة. على سبيل المثال، يمكننا استخدام زر حل المعادلة التربيعية في الآلة الحاسبة أو القانون العام. يمكننا أيضًا تحليل ذلك بمجرد النظر، حيث نلاحظ أن ثمانية مضروبًا في سالب أربعة يساوي سالب ٣٢، وثمانية زائد سالب أربعة يساوي أربعة.
وبذلك نكون قد أوضحنا أنه لكي تكون قيمة ﺩ شرطة ﺱ تساوي سالب أربعة، يجب أن يكون ﺱ زائد ثمانية في ﺱ ناقص أربعة يساوي صفرًا. وإذا كان حاصل ضرب عاملين يساوي صفرًا، فلا بد أن أحد هذين العاملين يساوي صفرًا. ومن ثم، إما ﺱ زائد ثمانية يساوي صفرًا، وإما ﺱ ناقص أربعة يساوي صفرًا. ويمكننا حل هاتين المعادلتين: إما ﺱ يساوي سالب ثمانية وإما ﺱ يساوي أربعة. وبما أننا أوجدنا تعبيرًا لـ ﺩ شرطة ﺱ، يمكننا التحقق من هذين الناتجين. سنبدأ بالتعويض بـ ﺱ يساوي سالب ثمانية في تعبير ﺩ شرطة ﺱ.
ونحصل على ﺩ شرطة لسالب ثمانية تساوي سالب ثمانية الكل تربيع زائد أربعة في سالب ثمانية ناقص ٣٦. وإذا حسبنا قيمة هذا التعبير، فسنحصل على سالب أربعة. ويمكننا تكرار الأمر نفسه مع الناتج الآخر ﺱ يساوي أربعة. وهكذا يصبح لدينا ﺩ شرطة لأربعة يساوي أربعة تربيع زائد أربعة في أربعة ناقص ٣٦. وإذا حسبنا قيمة هذا التعبير، فسنحصل على سالب أربعة أيضًا كما توقعنا.
وبهذا، نكون قد أثبتنا أنه إذا كانت الدالة ﺩ ﺱ تساوي ثلث ﺱ تكعيب زائد اثنين ﺱ تربيع ناقص ٣٦ﺱ ناقص ٢٤، وقيمة ﺩ شرطة ﺱ تساوي سالب أربعة، فإن ذلك يكون عند ﺱ يساوي أربعة أو يساوي سالب ثمانية.
