فيديو السؤال: إيجاد العناصر الناقصة في مصفوفتين متساويتين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت المصفوفة ﺃ زائد ﺏ، ﺃ ناقص ﺏ، ﺃ زائد ﺏ زائد ﺟ، ﺃ ناقص سبعة ﺏ ناقص ﺩ تساوي المصفوفة سالب ثلاثة، سالب ١٧، سالب خمسة، سالب ٦٤، فأوجد قيم ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ .

حسنًا، أول ما نعرفه هو أن المصفوفتين متساويتان. لذا، يجب أن تحتويا على نفس عدد الصفوف والأعمدة. ويجب أن يتساوى كل عنصرين متناظرين. وحيث إننا نعرف ذلك، يمكننا تكوين بعض المعادلات.

المعادلة الأولى هي: ﺃ زائد ﺏ يساوي سالب ثلاثة. وذلك لأنهما العنصران المتناظران في كلتا المصفوفتين. ثم لدينا: ﺃ ناقص ﺏ يساوي سالب ١٧. بعد ذلك، لدينا: ﺃ زائد ﺏ زائد ﺟ يساوي سالب خمسة. وأخيرًا، لدينا: ﺃ ناقص سبعة ﺏ ناقص ﺩ يساوي سالب ٦٤. وما فعلناه هو أننا قد أعطينا كل معادلة رقمًا: «واحدًا»، و«اثنين» و«ثلاثة» و«أربعة»؛ لأن هذا سيساعدنا في شرح ما سنفعله بعد ذلك.

إذن، أول ما سنفعله هو إعادة ترتيب المعادلة رقم واحد لتكوين «معادلة رقم واحد» جديدة. هذا يعطينا: ﺃ يساوي سالب ثلاثة ناقص ﺏ. وما فعلناه هو أننا قد طرحنا ﺏ من كلا طرفي المعادلة. وقد فعلنا ذلك لأننا نريد أن نجعل ﺃ المتغير التابع. كان بإمكاننا فعل ذلك وجعل ﺏ المتغير التابع واستخدامه كذلك. لكننا اخترنا أن نجعل ﺃ المتغير التابع.

ما سنفعله الآن هو استخدام طريقة التعويض لأننا سنعوض بـ ﺃ يساوي سالب ثلاثة ناقص ﺏ — إذن هذه هي «المعادلة رقم واحد» الآن — في «المعادلة رقم اثنين». وعندما نفعل ذلك، نحصل على: سالب ثلاثة ناقص ﺏ ناقص ﺏ يساوي سالب ١٧. وذلك لأننا عوضنا بسالب ثلاثة ناقص ﺏ عن ﺃ. إذن هذا سيعطينا: سالب ثلاثة ناقص اثنين ﺏ يساوي سالب ١٧.

بعد ذلك، يمكننا أن نضيف ثلاثة إلى كلا طرفي المعادلة. فنحصل على: سالب اثنين ﺏ يساوي سالب ١٤. وعليه، إذا قسمنا كلا طرفي المعادلة على سالب اثنين لنحصل على ﺏ، فسنحصل على: ﺏ يساوي سبعة. وذلك لأننا إذا قسمنا سالب ١٤ على سالب اثنين، فسنحصل على سبعة؛ لأن أي قيمة سالبة مقسومة على قيمة سالبة تعطينا قيمة موجبة.

والآن ما نريده هو استخدام ذلك لإيجاد قيمة ﺃ. والطريقة التي سنفعل بها ذلك هي التعويض بـ ﺏ يساوي سبعة في «المعادلة رقم واحد». وسنعوض بقيمته في «المعادلة رقم واحد» بعد أن أعدنا ترتيبها لجعل ﺃ المتغير التابع. وبعد التعويض فيها، سنحصل على: ﺃ يساوي سالب ثلاثة ناقص سبعة، وهو ما يعطينا أن قيمة ﺃ تساوي سالب ١٠. وبذلك نكون قد أوجدنا قيمتي ﺃ وﺏ. وما علينا فعله الآن هو إيجاد قيمة كل من ﺟ وﺩ.

بعد ذلك، ما سنفعله هو إيجاد قيمة ﺟ. ولإيجاد قيمة ﺟ؛ سيكون علينا التعويض بـ ﺃ يساوي سالب ١٠، والتعويض بـ ﺏ يساوي سبعة في ﺃ زائد ﺏ زائد ﺟ يساوي سالب خمسة. وعندما نفعل ذلك، سنحصل على: سالب ١٠ زائد سبعة زائد ﺟ يساوي سالب خمسة. وبالتبسيط، نحصل على: سالب ثلاثة زائد ﺟ يساوي سالب خمسة. والآن إذا أضفنا ثلاثة إلى كلا طرفي المعادلة، فسيتبقى لدينا ﺟ بمفرده في الطرف الأيمن. وعندما نفعل ذلك، نحصل على: ﺟ يساوي سالب اثنين. عظيم، لقد أوجدنا قيمة ﺟ الآن.

وأخيرًا، علينا إيجاد قيمة ﺩ. حسنًا، لإيجاد قيمة ﺩ؛ علينا التعويض بـ ﺃ يساوي سالب ١٠، وﺏ يساوي سبعة. لكن هذه المرة، سنعوض بذلك في «المعادلة رقم أربعة». وعندما نفعل ذلك، سنحصل على: سالب ١٠ ناقص، سبعة مضروبًا في سبعة، ناقص ﺩ يساوي سالب ٦٤. بعد ذلك، سنحصل على سالب ١٠ ناقص ٤٩ ناقص ﺩ يساوي سالب ٦٤.

والآن ما سنفعله هو ترتيب ذلك. إذن، سيكون لدينا: سالب ٥٩ ناقص ﺩ يساوي سالب ٦٤. حينئذ، يمكننا إضافة ٥٩ إلى كلا طرفي المعادلة. وبهذا، نحصل على: سالب ﺩ يساوي سالب خمسة. وأخيرًا، نريد إيجاد قيمة ﺩ. لذا، سنقسم كلا طرفي المعادلة على سالب واحد، وهو ما يعطينا أن قيمة ﺩ تساوي خمسة.

إذن، بمعلومية أن المصفوفتين متساويتان، يمكننا القول إن قيم ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ هي: سالب ١٠، وسبعة، وسالب اثنين، وخمسة، على الترتيب. وبهذا نكون قد انتهينا من المسألة وأوجدنا الإجابة.

آخر ما نريد فعله هو توضيح طريقة الحذف سريعًا؛ حيث إننا قد ذكرنا أننا استخدمنا طريقة التعويض لإيجاد قيمتي ﺃ وﺏ. لكن، كان بإمكاننا استخدام طريقة الحذف لبدء الحل. سأشرح سريعًا كيفية فعل ذلك.

لاستخدام طريقة الحذف إذن، كل ما علينا فعله هو اختيار أحد المتغيرين الذي له المعامل نفسه في كل معادلة. إذن، في هاتين المعادلتين، كان بإمكاننا اختيار ﺃ أو ﺏ. لقد اخترت ﺏ. ننظر بعد ذلك إلى الإشارتين اللتين تناظران المتغير. في هذه الحالة، يمكننا أن نرى أن لدينا إشارة موجبة وأخرى سالبة. إذن، لدينا بالفعل إشاراتان مختلفتان.

تجدر الإشارة عند هذه النقطة إلى أنه لو اخترنا أن يكون ﺃ هو المتغير في المعادلتين، لكان لهذا المتغير في الحقيقة الإشارة نفسها. وهناك خطأ شائع هو أن الطلاب يرون إشارة مختلفة في وسط المعادلة، ويفترضون أن هذا المتغير له إشارة مختلفة. لكنها ليست كذلك. إنها إشارة المعامل. إذن، كلتا قيمتي ﺃ موجبة.

حسنًا، حسبما قلنا في المثال الذي نحله، لدينا إشارتان مختلفتان. ولدينا تذكير صغير يساعدنا في تذكر ما علينا فعله. وهو أنه إذا كانت لدينا إشارات متماثلة، فإننا سنطرح. لكن إذا كانت لدينا إشارات مختلفة، فإننا سنجمع. سنجمع إذن «المعادلة رقم واحد» و«المعادلة رقم اثنين». وعندما نفعل ذلك، نحصل على اثنين ﺃ. وذلك لأن ﺃ زائد ﺃ يساوي اثنين ﺃ. ثم نحصل على صفر؛ لأن موجب ﺏ زائد سالب ﺏ يساوي صفرًا. ثم لدينا سالب ٢٠، وذلك لأن سالب ثلاثة زائد سالب ١٧ يساوي سالب ٢٠. علينا بعد ذلك قسمة طرفي المعادلة على اثنين لإيجاد ﺃ. فنحصل على: ﺃ يساوي سالب ١٠. إذن، هذا هو نفس ما قد حصلنا عليه عند استخدام الطريقة الأخرى؛ أي طريقة التعويض. وما نفعله بعد ذلك هو الاستمرار في استخدام نفس الطريقة السابقة لإيجاد ﺏ وﺟ وﺩ.