فيديو السؤال: التحليل بالتجميع الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

حلل أربعة ‪𝑥𝑎‬‏ زائد ‪𝑥𝑏‬‏ زائد أربعة ‪𝑦𝑎‬‏ زائد ‪𝑦𝑏‬‏ تحليلًا كاملًا.

هذا المقدار يحتوي على أربعة حدود. سنحل هذه المسألة باستخدام طريقة التحليل بالتجميع. سنبدأ بتقسيم المقدار إلى زوجين من الحدود، ثم التعامل مع كل زوج بنحو منفرد. لنبدأ بالنصف الأول من المقدار.

يحتوي كلا الحدين هنا على عامل مشترك هو ‪𝑥‬‏، ومن ثم، يمكن التحليل بإخراج ‪𝑥‬‏. ويمكننا بالتالي كتابة أول حدين في صورة ‪𝑥‬‏ مضروبًا في قوس. وداخل القوس، نحتاج إلى أربعة ‪𝑎‬‏ للحد الأول، ثم زائد ‪𝑏‬‏ للحد الثاني. ويمكنك التحقق من خلال فك القوس. وهذا بالفعل يعطينا أربعة ‪𝑥𝑎‬‏ زائد ‪𝑥𝑏‬‏. بذلك، نكون قد حللنا الزوج الأول من الحدود. لننتقل الآن إلى الزوج الثاني.

كلا الحدين موجب، ولديهما عامل مشترك هو ‪𝑦‬‏. إذن، يمكننا إخراج ‪𝑦‬‏ كعامل مشترك، وكتابة النصف الثاني من المقدار في صورة زائد ‪𝑦‬‏ مضروبًا في قوس. ونحتاج داخل القوس إلى أربعة ‪𝑎‬‏ للحد الأول، بحيث يعطينا أربعة ‪𝑦𝑎‬‏ عند ضربه في ‪𝑦‬‏، ونحتاج إلى زائد ‪𝑏‬‏ للحد الثاني، بحيث يعطينا زائد ‪𝑦𝑏‬‏ عند ضربه في ‪𝑦‬‏. وبذلك، نكون قد حللنا نصفي المقدار.

ما ستلاحظه هو أنه يوجد قوس مشترك يتضمن أربعة ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏‬‏. وهذه ليست مصادفة. إذ إن هذا ما كنا نأمل حدوثه عندما قررنا استخدام التحليل بالتجميع. ونظرًا لأن نصفي المقدار لهما قوس مشترك يتضمن أربعة ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏‬‏، فيمكننا أخذ هذا القوس كعامل مشترك. وبالتالي، يكون المقدار الكامل هو أربعة ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏‬‏ مضروبًا في قوس ثان. وحدا القوس الثاني هما الحدان المضروبان في أربعة ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏‬‏ في نصفي المقدار.

إذن، هما ‪𝑥‬‏ للنصف الأول وزائد ‪𝑦‬‏ للنصف الثاني. وهذا يعطي التحليل الكامل للمقدار الأصلي ذي الأربعة حدود. وهو يساوي أربعة ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑦‬‏. ربما تتساءل الآن عما كان سيحدث إذا كانت حدود المقدار الأصلي مكتوبة بترتيب مختلف. سنختار هنا تبديل مكان الحدين الأوسطين، ما يعطينا أربعة ‪𝑥𝑎‬‏ زائد أربعة ‪𝑦𝑎‬‏ زائد ‪𝑥𝑏‬‏ زائد ‪𝑦𝑏‬‏.

سنحاول الآن استخدام التحليل بالتجميع مع هذا المقدار. لذا، سنقسم المقدار إلى زوجين من الحدود، كما فعلنا من قبل. وبالنظر إلى الزوج الأول من الحدود، أربعة ‪𝑥𝑎‬‏ زائد أربعة ‪𝑦𝑎‬‏، سنرى أن لدينا عاملًا مشتركًا هو أربعة ‪𝑎‬‏. والعاملان المتبقيان اللذان يجب إدراجهما داخل القوس هما ‪𝑥‬‏ وزائد ‪𝑦‬‏. لننتقل الآن إلى النصف الثاني من المقدار. كلا الحدين موجب، ولديهما عامل مشترك هو ‪𝑏‬‏.

إذن، يمكننا كتابة النصف الثاني في صورة زائد ‪𝑏‬‏ مضروبًا في قوس. والعاملان المتبقيان اللذان سيدرجان داخل القوس هما ‪𝑥‬‏ وزائد ‪𝑦‬‏. والآن، لنلق نظرة على هذا المقدار. نرى أن النصفين - مرة أخرى - لهما قوس مشترك. لكن هذه المرة، القوس المشترك يتضمن ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑦‬‏. لذا، يمكننا إخراج هذا القوس كعامل مشترك، ما يعطينا ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑦‬‏ مضروبًا في قوس آخر علينا ملؤه الآن.

الحدان اللذان سيكونان داخل القوس الثاني هما الحدان المضروبان في ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑦‬‏ في كل مرة. إذن، هما أربعة ‪𝑎‬‏ للنصف الأول من المقدار وزائد ‪𝑏‬‏ للنصف الثاني منه. قارنوا هذا بالإجابة التي توصلنا إليها سابقًا. سنلاحظ أن لدينا نفس القوسين في كل مرة، لكن بترتيب مختلف.

وهذا يعني أن لدينا نفس الإجابة، لأن عملية الضرب بالطبع عملية تبادلية. فلا يهم أي ترتيب نتبع لضرب عددين أو مقدارين معًا. إذن، يمكننا كتابة القوسين بكلا الترتيبين. ما تعلمناه إذن هو أنه إذا كانت حدود المقدار الأصلي ترتيبها مختلف، فسنظل نحصل على نفس النتيجة في الصورة المحللة.

دعونا ننظر لعملية إعادة ترتيب أخيرة محتملة للحدود. سننقل الحد الأخير ‪𝑦𝑏‬‏ ليصبح الحد الثاني في المقدار. فأصبح لدينا الآن أربعة ‪𝑥𝑎‬‏ زائد ‪𝑦𝑏‬‏ زائد ‪𝑥𝑏‬‏ زائد أربعة ‪𝑦𝑎‬‏. لنفترض أننا حاولنا التحليل هنا بالتجميع كما فعلنا سابقًا. بالنظر إلى الحدين الأولين، أربعة ‪𝑥𝑎‬‏ وزائد ‪𝑦𝑏‬‏، نرى أنه لا يوجد عوامل مشتركة بينهما. وينطبق الأمر نفسه على الزوج الثاني من الحدود. فليس بينهما أيضًا عوامل مشتركة.

هل هذا يعني أنه لا يمكن تحليل المقدار؟ لا. فكما رأينا مرتين، يمكن تحليله إلى قوسين. بل يعني فقط أن ترتيب الحدود هذا تحديدًا لا يصلح مع التحليل بالتجميع. وإذا كنا بصدد حل مسألة كهذه ولا يبدو أنه يمكن التحليل بالتجميع، فيجب أن نحاول إعادة ترتيب الحدود. إذن، حل هذه المسألة هو أربعة ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑦‬‏.