فيديو السؤال: دراسة اتزان صفيحة مربعة تتدلى بحرية من أحد رءوسها يؤثر عليها ازدواج الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

صفيحة على شكل مربع طول ضلعه ٢٠ سنتيمترًا، ووزنها يساوي ١٥ نيوتن ويؤثر على نقطة تقاطع قطريها. الصفيحة معلقة بواسطة مسمار أفقي بجانب أحد رءوسها ﺃ؛ فأصبح مستواها رأسيًّا. يؤثر على الصفيحة ازدواج يجعلها في حالة اتزان، بحيث تميل القطعة المستقيمة ﺃﺟ على الرأسي بزاوية قياسها ٣٠ درجة. أوجد مقدار عزم الازدواج.

لنبدأ برسم شكل لهذه الحالة. لدينا صفيحة مربعة طول ضلعها ٢٠ سنتيمترًا ووزنها ١٥ نيوتن، يقع مركز ثقلها عند تقاطع قطريها، وهو المركز الهندسي للمربع. الصفيحة معلقة من أحد رءوسها، ﺃ؛ بحيث تميل القطعة المستقيمة ﺃﺟ، أي الخط الذي يمر عبر نقطة التعليق ﺃ ومركز الثقل، بزاوية قياسها ٣٠ درجة على الرأسي.

بما أن مركز ثقل الصفيحة لا يقع تحت النقطة المحورية مباشرة، فإن الوزن يؤثر على الصفيحة بعزم حول النقطة ﺃ. تظل الصفيحة في حالة اتزان بسبب وجود ازدواج؛ لذلك لا بد أنه يبذل عزمًا مساويًا لعزم الوزن ومضادًّا له في الاتجاه. لا يمكننا معرفة اتجاهات القوى ومواضعها، التي ينتج عنها هذا الازدواج. لذا لا يمكننا إضافتها إلى الشكل. لكننا لسنا بحاجة إلى ذلك.

لحساب مقدار عزم الازدواج، علينا فقط حساب مقدار العزم الناتج عن وزن الصفيحة حول النقطة ﺃ؛ نظرًا لأن الازدواج مساو له في المقدار ومضاد له في الاتجاه. لنتذكر أن العزم ﺝ لقوة تؤثر من نقطة ﻡ حول نقطة محورية ﺃ يساوي مقدار القوة ﻕ مضروبًا في المسافة العمودية ﻝ بين النقطة المحورية وخط عمل القوة.

في هذه الحالة، المسافة العمودية ﻝ بين خط عمل وزن الصفيحة والنقطة المحورية هي طول الضلع المقابل لهذا المثلث القائم الزاوية، والذي يصل بين مركز الصفيحة والخط الرأسي المار بالنقطة ﺃ؛ لأن خط عمل وزن الصفيحة يكون موازيًا للرأسي. طول وتر هذا المثلث يساوي نصف طول القطر، الذي يساوي طول الضلع، أي ٢٠ سنتيمترًا، مضروبًا في الجذر التربيعي لاثنين. إذن، طول الوتر يساوي ٢٠ جذر اثنين على اثنين، وهذا يبسط إلى ١٠ جذر اثنين سنتيمتر.

إذن، المسافة ﻝ تساوي ١٠ جذر اثنين في جا ٣٠ درجة. ‏جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا؛ ولذا ﻝ تساوي خمسة جذر اثنين. إذن، مقدار عزم الوزن يساوي مقدار الوزن، أي ١٥ نيوتن، مضروبًا في المسافة العمودية الواصلة بين خط عمل الوزن والنقطة المحورية، أي خمسة جذر اثنين. هذا يساوي ٧٥ جذر اثنين نيوتن سنتيمتر، ما يساوي الازدواج المؤثر على الصفيحة وفي اتجاه مضاد له. إذن، مقدار عزم الازدواج يساوي أيضًا ٧٥ جذر اثنين نيوتن سنتيمتر.