فيديو الدرس: إيجاد قيمة النسب المثلثية بمعلومية قيمة نسبة أخرى الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نوجد قيمة دالة مثلثية من قيمة معطاة لدالة مثلثية أخرى.

قبل أن نبدأ، دعونا نفكر في بعض المعلومات التي ينبغي أننا نعرفها بالفعل. يمكن تعريف الدوال المثلثية بدلالة نسب خاصة لأضلاع المثلثات القائمة الزاوية. لننظر إلى الزاوية الموجودة عند الرأس ﺃ. لدينا العلاقات الأساسية الثلاث: جيب، وجيب تمام، وظل لهذه الزاوية. علاقة جيب الزاوية هي طول الضلع المقابل على طول الوتر. وعلاقة جيب تمام الزاوية هي طول الضلع المجاور على طول الوتر. وعلاقة ظل الزاوية هي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور.

في المثلث الذي رسمناه هنا، إذا استخدمنا الزاوية 𝜃 عند الرأس ﺃ، فسيكون ﺃ شرطة هو طول الضلع المقابل. والوتر دائمًا هو طول الضلع المقابل للزاوية القائمة. وفي هذه الحالة، سيكون ﺟ شرطة. لإيجاد علاقة جيب تمام الزاوية في هذا المثلث، لدينا طول الضلع المجاور ﺏ شرطة وطول الوتر يظل ﺟ شرطة، مما يجعل علاقة ظل الزاوية ﺃ شرطة على ﺏ شرطة.

بالإضافة إلى هذه الدوال المثلثية الأساسية الثلاث، لدينا الدوال العكسية: قاطع التمام، والقاطع، وظل تمام الزاوية. قاطع التمام هو الدالة العكسية لجيب الزاوية، ويساوي طول الوتر على طول الضلع المقابل. إذن، سيكون لدينا هنا ﺟ شرطة على ﺃ شرطة. والقاطع هو الدالة العكسية لجيب تمام الزاوية، ويساوي طول الوتر على طول الضلع المجاور. في هذه الحالة، سيكون لدينا ﺟ شرطة على ﺏ شرطة. أما علاقة ظل تمام الزاوية، فهي علاقة الدالة العكسية للظل. وهي تساوي طول الضلع المجاور على طول الضلع المقابل. وتكون في هذه الحالة ﺏ شرطة على ﺃ شرطة.

نسترجع هنا علاقات الجيب وجيب التمام والظل. الجيب هو طول الضلع المقابل على طول الوتر. وجيب التمام هو طول الضلع المجاور على طول الوتر. والظل هو طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور.

عند التعامل مع حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية، يكون قياس كل الزوايا أقل من ٩٠ درجة. وعندما يكون قياس جميع الزوايا أقل من ٩٠ درجة، تكون جميع هذه النسب الست موجبة. لكن في بعض الأحيان، نتعامل مع زوايا أكبر من ٩٠ درجة. وعندما يحدث ذلك، تكون بعض هذه العلاقات سالبة. لنذكر أنفسنا بما يحدث مع هذه الزوايا الأكبر.

يمكننا التفكير في ذلك من خلال شبكة إحداثيات. في بعض الأحيان نستخدم الدرجات مع هذه الزوايا، وأحيانًا نستخدم الراديان. وعند قياس زاوية كهذه، نبدأ من الجانب الأيمن للمحور ﺱ ونقيس حتى نصل إلى الخط المستقيم الذي نريده. والزاوية التي رسمتها هنا ستقع بين ٩٠ درجة و١٨٠ درجة. إذا عرفنا أن قياس هذه الزاوية ١٣٥ درجة، فيمكننا استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد جيب الزاوية وجيب تمامها وظلها. ستعطينا الآلة الحاسبة القيمة موجب ٠٫٠٧ وهكذا مع توالي الأرقام بالنسبة إلى الجيب، وسالب ٠٫٧٠٧ وهكذا مع توالي الأرقام بالنسبة إلى جيب التمام، وسالب واحد بالنسبة إلى الظل.

ينطبق هذا النمط — قيمة موجبة للجيب، وقيمة سالبة لجيب التمام، وقيمة سالبة للظل — على جميع الزوايا التي تقع بين ٩٠ درجة و١٨٠ درجة. إذا رسمنا مثلثًا قائم الزاوية هنا، فسيكون طول الوتر يساوي واحدًا، وطول كل من الضلعين الآخرين سيساوي الجذر التربيعي لاثنين على اثنين. وذلك لأن هذه الزاوية لا بد أن يكون قياسها ٤٥ درجة.

يتضح من ذلك أنه ما زال بإمكاننا استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية. فلا يزال بإمكاننا استخدام أطوال الأضلاع لتكوين نسب لحساب الزوايا التي قياسها أكبر من ٩٠. لإجراء ذلك، علينا أن نحفظ العلاقات المثلثية الموجبة والسالبة على شبكة الإحداثيات. ومن أجل ذلك، نسترجع إشارات الدوال المثلثية.

في الربع الأول، تكون جميع العلاقات موجبة، وهو ما ناقشناه بالفعل. علاقات الجيب وجيب التمام والظل لزاوية يتراوح قياسها بين صفر و٩٠ درجة جميعها موجبة. وفي الربع الثاني، نعلم أن قيمة جيب الزاوية تكون موجبة فقط. فأي زوايا تقع بين ٩٠ درجة و١٨٠ درجة ستكون لها علاقة جيب موجبة، وعلاقتا جيب تمام وظل سالبتان.

في الربع الثالث، تكون علاقة ظل الزاوية موجبة. وهذا يعني أن علاقتي الجيب وجيب التمام في الربع الثالث سالبتان. وأخيرًا، في الربع الرابع تكون علاقة جيب التمام موجبة. إذن، علاقة جيب التمام ستكون موجبة، وعلاقتا الجيب والظل لأي زاوية في الربع الرابع ستكونان سالبتين.

وعليه، فإن الإلمام بالدوال المثلثية الست وإشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة هما الأداتان الأساسيتان اللتان سنستخدمهما في حل مسائل الأمثلة. لنلق نظرة على إحداها الآن.

أوجد قتا 𝜃 إذا كان ظا 𝜃 يساوي ٢٤ على سبعة، و جتا 𝜃 أصغر من صفر.

نعلم من السؤال أن لدينا جيب زاوية يساوي ٢٤ على سبعة. وعلينا إيجاد قاطع التمام لهذه الزاوية نفسها بشرط أن يكون جتا 𝜃 أقل من صفر. هذا يعني أن قيمة جتا سالبة، وقيمة ظا موجبة. هذه معلومة مهمة جدًا. لكن قبل أن نبدأ، علينا أن نذكر أنفسنا بعلاقات الجيب وجيب التمام والظل، ومقلوباتها قاطع التمام والقاطع وظل التمام. بالإضافة إلى ذلك، يجب علينا معرفة إشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة ليساعدنا ذلك في تحديد الربع الذي ستقع فيه الزاوية المعنية.

بما أننا نعلم أن دالة ظل الزاوية موجبة، يمكننا القول إنها ستقع إما في الربع الأول أو الثالث. لكن بما أن دالة جيب تمام الزاوية سالبة، فلا يمكن أن تقع هذه الزاوية في الربع الأول. في الربع الأول، العلاقات الثلاث جميعها موجبة. أما في الربع الثالث، تكون دالة الظل فقط موجبة ودالتا الجيب وجيب التمام سالبتين. إذن، يمكننا القول إن هذه الزاوية ستقع في الربع الثالث ويمكن رسمها على هذا النحو. بالنسبة إلى الزاوية 𝜃 لدينا، بما أننا نعلم أن ظا يساوي ٢٤ على سبعة، وظل الزاوية هو طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور، فإننا نعرف بذلك طولي ضلعين من الأضلاع الثلاثة.

نريد أن نرسم مثلثًا قائم الزاوية في الربع الثالث. وسنجعل هذه الزاوية هي الزاوية 𝜃. عندئذ، يمكننا أن نكتب هنا طول الضلع المقابل، وهو ٢٤، وطول الضلع المجاور، وهو سبعة. وكما هو واضح، فإننا لم نرسم هذا بالأبعاد الكاملة. لإيجاد قتا 𝜃، علينا إيجاد طول الوتر على طول الضلع المقابل. وفي هذه المرحلة، يجب أن تكون لدينا معطيات كافية لمعرفة ذلك، وسيكون علينا الحل باستخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد قيمته.

إذا افترضنا أن طول الوتر يساوي ﺟ شرطة، فإننا نعلم أن ﺃ شرطة تربيع زائد ﺏ شرطة تربيع يساوي ﺟ شرطة تربيع، وهو ما يساوي ٤٩ زائد ٥٧٦. ‏‏ﺟ شرطة تربيع يساوي ٦٢٥. بحساب الجذر التربيعي لكلا الطرفين، نجد أن ﺟ شرطة يساوي ٢٥. الآن وقد عرفنا طول الوتر، يمكننا إذن كتابة ٢٥، على طول الضلع المقابل، وهو ٢٤. لكن هذه ليست الإجابة النهائية. علينا أن نفكر جيدًا فيما إذا كان هذا الحل موجبًا أم سالبًا.

بما أن الزاوية تقع في الربع الثالث، فستكون قيمتا الجيب وجيب التمام سالبتين. وبما أن قيمة دالة قاطع التمام هي قيمة مقلوب دالة الجيب، فستكون لها إشارة دالة الجيب نفسها. إذن، لا بد أن تكون قيمة قتا لهذه الزاوية سالبة. وبناء على ذلك، فإن قتا 𝜃 يساوي سالب ٢٥ على ٢٤.

لنلق نظرة على مثال آخر.

إذا كان قتا 𝜃 يساوي سالب سبعة على ستة، وظا 𝜃 أكبر من صفر، فأوجد قيمة جتا 𝜃.

لنفكر في المعطيات التي لدينا. نعلم أن قتا لهذه الزاوية يساوي سالب سبعة على ستة، كما نعلم أن قيمة ظا موجبة. نريد تذكر الدوال المثلثية الست. بما أن لدينا قيمة قتا 𝜃، فإن لدينا إذن طول الوتر على طول الضلع المقابل. وبما أننا نبحث عن قيمة جتا لهذه الزاوية، فإننا نبحث عن طول الضلع المجاور على طول الوتر. لكن ثمة معلومة أخرى علينا مراعاتها. وهي موقع هذه الزاوية على شبكة الإحداثيات.

نعرف أن قيمة ظل الزاوية موجبة. وقيمة ظا لأي زاوية لا تكون موجبة إلا في الربعين الأول والثالث. لكننا نعلم أيضًا أن قيمة قاطع تمام الزاوية سالبة. وإذا كانت دالة قاطع التمام سالبة، فستكون دالة الجيب سالبة. في الربع الأول، العلاقات الثلاث جميعها موجبة. وفي الربع الثالث، تكون علاقة الظل موجبة، بينما يكون كل من علاقتي الجيب وجيب التمام سالبًا. وهذا يعني أننا نعرف بذلك أن هذه العلاقة، وهي علاقة جيب التمام، لا بد أن تكون سالبة.

حتى الآن، نعرف أن طول الوتر يساوي سبعة، وطول الضلع المقابل يساوي ستة. لكي نحل هذه المسألة، علينا معرفة طول الضلع المجاور. إذا فكرنا في ذلك من خلال مثلث قائم الزاوية، فلا بد أن تكون قياسات أطوال الأضلاع موجبة؛ لأن المسافة تقاس دائمًا بقيم موجبة. وهذا يعني أننا سنحتاج إلى استخدام القيمة المطلقة لطول الوتر. فبدلًا من سالب سبعة، سيكون موجب سبعة. وطول الضلع المقابل سيكون ستة.

نعلم أنه يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس للحل لإيجاد طول الضلع الثالث الناقص، وهو طول الضلع المجاور. إذن، نقول إن ستة تربيع زائد ﺏ شرطة تربيع يساوي سبعة تربيع. ‏‏٣٦ زائد ﺏ شرطة تربيع يساوي ٤٩. وبطرح ٣٦ من كلا الطرفين، نجد أن ﺏ شرطة تربيع يساوي ١٣. بعدئذ، بحساب الجذر التربيعي لكلا الطرفين نجد أن طول الضلع الناقص يساوي الجذر التربيعي لـ ١٣. علاقة جيب التمام هي طول الضلع المجاور، أي الجذر التربيعي لـ ١٣، على طول الوتر، الذي نعرف بالفعل أنه يساوي سبعة. ولأن هذه الزاوية تقع في الربع الثالث، لا بد أن تكون علاقة جيب التمام هذه سالبة. وهذا يجعل الإجابة النهائية لدينا سالب الجذر التربيعي لـ ١٣ على سبعة.

في هذا المثال، سيكون لدينا نطاق الزاوية التي نستخدمها بالقياس الدائري.

إذا كان ظتا 𝜃 يساوي سالب ثلاثة أنصاف؛ حيث 𝜋 على اثنين أصغر من 𝜃 أصغر من 𝜋، فأوجد قيمة قا تربيع 𝜃 بدون استخدام الآلة الحاسبة.

قبل أن نبدأ، سيكون من الأفضل تحديد المكان الذي يجب أن تقع فيه هذه الزاوية. فهي تقع بين 𝜋 على اثنين و𝜋. إذن، نرسم شبكة إحداثيات ونستخدم قياسات الراديان في تسميتها. إذا كانت 𝜃 تقع بين 𝜋 على اثنين و𝜋، فإن 𝜃 ستقع في مكان ما في الربع الثاني. إذا رسمنا مستقيمًا والزاوية 𝜃، فيمكننا إذن رسم مثلث قائم الزاوية.

بعد ذلك، علينا أن نتذكر العلاقات المثلثية. وبما أننا نعلم أن ظتا هذه الزاوية يساوي سالب ثلاثة على اثنين، فإننا نعلم بذلك أن العدد ثلاثة يمثل طول الضلع المجاور، وأن العدد اثنين يمثل طول الضلع المقابل. يمكننا استخدام هذه المعطيات لتسمية هذا الرسم. هدفنا هو إيجاد قا تربيع 𝜃. ولذلك، سنضرب قا 𝜃 في قا 𝜃.

علاقة القاطع هي طول الوتر على طول الضلع المجاور. ولكن لحل هذه المسألة، علينا معرفة طول الوتر. يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لمعرفة ذلك. اثنان تربيع زائد ثلاثة تربيع يساوي طول الوتر تربيع. هذا سيكون أربعة زائد تسعة، أي ١٣، يساوي طول الوتر تربيع، وهو ما يعني أن طول الوتر يساوي الجذر التربيعي لـ ١٣.

لكن علينا أن ننتبه هنا. فعلينا أن نفكر فيما إذا كان القاطع سيكون موجبًا أم سالبًا؛ لأن الزاوية تقع في هذا الربع الثاني. ولكي نعرف ذلك، علينا استرجاع إشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة. نعلم بالفعل أن ما يعنينا هو الربع الثاني. أي إن علاقة الجيب موجبة، لكن علاقتي جيب التمام والظل سالبتان.

القاطع هو الدالة العكسية لجيب تمام الزاوية. وهذا يعني أنه إذا كانت قيمة جيب التمام سالبة، فستكون قيمة القاطع سالبة. بما أن القاطع هو طول الوتر على طول الضلع المجاور، إذن لدينا الجذر التربيعي لـ ١٣ على ثلاثة، لكننا نعلم أن هذه القيمة لا بد أن تكون سالبة. وهذا يجعل قا 𝜃 يساوي سالب الجذر التربيعي لـ ١٣ على ثلاثة. وقا تربيع سيساوي سالب الجذر التربيعي لـ ١٣ على ثلاثة في سالب الجذر التربيعي لـ ١٣ على ثلاثة. تصبح الإشارتان السالبتان إشارة موجبة. والجذر التربيعي لـ ١٣ مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ١٣ يساوي ١٣. وثلاثة في ثلاثة يساوي تسعة. وبناء على ذلك، فإن قا تربيع 𝜃 يساوي ١٣ على تسعة.

في المثال الأخير، سيكون لدينا مرة أخرى نطاق للقيم التي يمكن أن تمثل 𝜃. بالإضافة إلى ذلك، ستكون لدينا قيمة جيب الزاوية، وعلينا إيجاد قيمة قتا اثنين في 𝜃 هذه.

إذا كان جا 𝜃 يساوي سالب ثلث؛ حيث تقع 𝜃 بين 𝜋 وثلاثة 𝜋 على اثنين، فأوجد قيمة قتا اثنين 𝜃 بدون استخدام آلة حاسبة. تلميح: افترض أن قتا اثنين 𝜃 يساوي واحدًا على اثنين في جا 𝜃 في جتا 𝜃.

من الأفضل دائمًا أن نبدأ بما لدينا من معطيات. ‏‏جا 𝜃 يساوي سالب ثلث، و𝜃 تقع بين 𝜋 وثلاثة 𝜋 على اثنين. إذا فكرنا في الربع الذي يقع بين 𝜋 وثلاثة 𝜋 على اثنين، فسنجد أننا نتعامل مع زاوية تقع في الربع الثالث. لكننا لا نعلم قياس الزاوية، ولذا يمكننا فقط رسم زاوية 𝜃.

لكن قبل المتابعة، من الجيد أيضًا أن نفكر فيما نحاول إيجاد قيمته. إذا أردنا إيجاد قيمة قتا اثنين 𝜃، فسنحتاج إلى معرفة معلومتين. علينا أن نعرف قيمتي جا 𝜃 وجتا 𝜃. لكننا نعرف بالفعل قيمة جا 𝜃، وهي سالب ثلث. وهذا يعني أن الأمر الوحيد الذي نحتاج إلى معرفته لحل هذه المسألة هو قيمة جتا 𝜃.

إذا كانت لدينا قيمة جا 𝜃، فكيف يمكننا إيجاد قيمة جتا 𝜃؟ حسنًا، سنفكر أولًا في هذه العلاقات. جيب الزاوية يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، وجيب تمام الزاوية يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. بما أن لدينا جا 𝜃 يساوي سالب ثلث، فيمكننا القول إن طول الضلع المقابل يساوي واحدًا، وطول الوتر يساوي ثلاثة. يمكننا رسم هذا المثلث القائم الزاوية على شبكة الإحداثيات؛ حيث طول الضلع المقابل يساوي واحدًا، وطول الوتر يساوي ثلاثة.

عندما ننظر إلى هذا الرسم، نجد أنه قد يكون غير مقبول بعض الشيء. هكذا يكون أنسب نسبيًا. علينا إيجاد طول ذلك الضلع الناقص. إذن، سنستخدم نظرية فيثاغورس. عندئذ، نحصل على ﺏ شرطة يساوي الجذر التربيعي لثمانية. ويمكن تبسيط ذلك إلى ﺏ شرطة يساوي اثنين في الجذر التربيعي لاثنين. والآن بما أننا نعرف أن طول الضلع المجاور يساوي اثنين في الجذر التربيعي لاثنين، فيمكننا كتابة جتا 𝜃 على صورة سالب اثنين في الجذر التربيعي لاثنين على ثلاثة.

نعلم أن قيمة جيب التمام ستكون سالبة؛ لأن الزاوية تقع في الربع الثالث. وفي الربع الثالث تكون قيمة جيب الزاوية سالبة، وقيمة جيب تمام الزاوية سالبة، وقيمة ظل الزاوية موجبة. إذن نعوض بهذه القيمة عن جتا 𝜃. يمكننا إعادة كتابة ذلك على هذا النحو: واحد مقسوم على اثنين في سالب ثلث في سالب اثنين في الجذر التربيعي لاثنين على ثلاثة.

نريد ضرب البسوط الثلاثة معًا، ليكون لدينا موجب أربعة في الجذر التربيعي لاثنين. والمقامان، ثلاثة في ثلاثة يساوي تسعة. لقسمة واحد على هذه القيمة، نضرب في مقلوبها. والخطوة الأخيرة لدينا هي إنطاق المقام، وفيها نحصل على تسعة في الجذر التربيعي لاثنين على ثمانية.

تتمثل النقاط الرئيسية التي تناولناها هنا في معرفة الدوال المثلثية الست، ومعرفة إشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة لتحديد موقعها على شبكة الإحداثيات.