نسخة الفيديو النصية
أوجد ميل المماس للمنحنى خمسة ﺱ على اثنين ﺹ ناقص اثنين ﺹ على ﺱ يساوي سالب أربعة عند النقطة اثنين، خمسة.
ينبغي أن نتذكر أنه لإيجاد ميل المماس لمنحنى، علينا إيجاد قيمة مشتقة دالة هذا المنحنى عند نقطة محددة. نحن معتادون على إيجاد قيمة مشتقات الدوال في ﺱ المعرفة صراحة. لكن في هذه الحالة، سنتناول دالة معرفة ضمنيًّا. ومن ثم، سنستخدم الاشتقاق الضمني لإيجاد قيمة المشتقة.
هذه مجرد حالة خاصة من قاعدة السلسلة. وتنص على أن مشتقة دالة ما في ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة هذه الدالة بالنسبة إلى ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ. لنلق إذن نظرة على معادلة المنحنى التي لدينا. إنها خمسة ﺱ على اثنين ﺹ ناقص اثنين ﺹ على ﺱ يساوي سالب أربعة. سنبدأ باشتقاق كلا طرفي هذه المعادلة بالنسبة إلى ﺱ.
نتذكر أن مشتقة مجموع دالتين أو أكثر أو الفرق بينهما تساوي مجموع مشتقتيهما أو الفرق بينهما. إذن، سنشتق خمسة ﺱ على اثنين ﺹ، واثنين ﺹ على ﺱ، وسالب أربعة. مشتقة الثابت تساوي صفرًا. إذن، يصبح الطرف الأيسر هنا صفرًا. لكن كيف نشتق خمسة ﺱ على اثنين ﺹ واثنين ﺹ على ﺱ؟
حسنًا، سوف نستخدم قاعدة القسمة. وهي تنص على أن مشتقة خارج قسمة الدالتين القابلتين للاشتقاق ﻉ وﻕ تساوي ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ ناقص ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ الكل على ﻕ تربيع. لنبدأ بتناول مشتقة خمسة ﺱ على اثنين ﺹ. سنجعل ﻉ يساوي خمسة ﺱ، وهو البسط، وﻕ يساوي اثنين ﺹ، وهو المقام. إذن، ﺩﻉ على ﺩﺱ، وهو المشتقة الأولى لخمسة ﺱ، يساوي خمسة. ولكن ماذا عن ﺩﻕ على ﺩﺱ؟
وفقًا للصيغة السابقة، التي تعد مجرد حالة خاصة من قاعدة السلسلة، سنضرب مشتقة الدالة بالنسبة إلى ﺹ، وهي اثنان، في ﺩﺹ على ﺩﺱ. إذن، ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي اثنين ﺩﺹ على ﺩﺱ. ومن ثم، فإن مشتقة خمسة ﺱ على اثنين ﺹ تساوي ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ، أي اثنين ﺹ في خمسة، ناقص ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ، أي خمسة ﺱ في اثنين ﺩﺹ على ﺩﺱ، الكل على ﻕ تربيع، أي اثنين ﺹ تربيع. إذا بسطنا ذلك قليلًا، فسنحصل على ١٠ﺹ ناقص ١٠ﺱ ﺩﺹ على ﺩﺱ الكل على أربعة ﺹ تربيع. بعد ذلك، يمكننا ملاحظة أنه يمكن قسمة البسط والمقام على العامل المشترك اثنين. وبهذا نكون قد أوجدنا مشتقة الجزء الأول من التعبير الموجود في الطرف الأيمن. وهي تساوي خمسة ﺹ ناقص خمسة ﺱ ﺩﺹ على ﺩﺱ الكل على ﺹ تربيع.
سنكرر هذه العملية الآن مع مشتقة اثنين ﺹ على ﺱ. هذه المرة، سنجعل ﻉ يساوي اثنين ﺹ وﻕ يساوي ﺱ. نعلم بالطبع أن مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي واحدًا. وقد أوجدنا بالفعل مشتقة اثنين ﺹ. لكن للتذكير، إنها مشتقة اثنين ﺹ بالنسبة إلى ﺹ التي تساوي اثنين في ﺩﺹ على ﺩﺱ.
لنعوض بكل ما لدينا في صيغة قاعدة القسمة. نحصل إذن على اثنين ﺱ ﺩﺹ على ﺩﺱ ناقص اثنين ﺹ على ﺱ تربيع. وبذلك نجد أنه عند اشتقاق كلا طرفي المعادلة بالنسبة إلى ﺱ، نحصل على خمسة ﺹ ناقص خمسة ﺱ ﺩﺹ على ﺩﺱ على ﺹ تربيع ناقص اثنين ﺱ ﺩﺹ على ﺩﺱ ناقص اثنين ﺹ على ﺱ تربيع يساوي صفرًا. لكن كيف سيفيدنا ذلك؟
تذكر أننا نحاول إيجاد ميل المماس؛ لذا علينا إيجاد قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ عند النقطة اثنين، خمسة. المشكلة هي أنه ليس لدينا حتى الآن تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ. لذا، دعونا نر ما إذا كان يمكننا إيجاد طريقة للتبسيط قليلًا. بالنسبة إلى هذين الكسرين، سنقسم كل حد في البسط على المقام. فنقسم خمسة ﺹ على ﺹ تربيع؛ ما يعطينا خمسة على ﺹ. ونقسم سالب خمسة ﺱ ﺩﺹ على ﺩﺱ على ﺹ تربيع؛ ما يعطينا سالب خمسة ﺱ على ﺹ تربيع ﺩﺹ على ﺩﺱ.
وبالمثل، نقسم سالب اثنين ﺱ ﺩﺹ على ﺩﺱ على ﺱ تربيع، فنحصل على سالب اثنين على ﺱ ﺩﺹ على ﺩﺱ، ونقسم كذلك سالب سالب اثنين ﺹ على ﺱ تربيع لنحصل على موجب اثنين ﺹ على ﺱ تربيع. نلاحظ الآن أنه يمكننا أخذ ﺩﺹ على ﺩﺱ عاملًا مشتركًا. ومن ثم نحصل من هذين الحدين على ﺩﺹ على ﺩﺱ في سالب خمسة ﺱ على ﺹ تربيع ناقص اثنين على ﺱ. في الوقت نفسه، دعونا نطرح خمسة على ﺹ واثنين ﺹ على ﺱ تربيع من كلا الطرفين. وبهذا يصبح لدينا هذا التعبير.
نلاحظ الآن أنه بإمكاننا قسمة الطرفين على سالب خمسة ﺱ على ﺹ تربيع ناقص اثنين على ﺱ. ونلاحظ أيضًا أن كل حد يتضمن العامل سالب واحد. لذا سنقسم الطرفين على سالب واحد في الوقت نفسه. وبذلك نحصل على تعبير معقد بعض الشيء للمشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. وهو خمسة على ﺹ زائد اثنين ﺹ على ﺱ تربيع الكل على خمسة ﺱ على ﺹ تربيع زائد اثنين على ﺱ.
قد نرغب عادة في تبسيط ذلك قليلًا، ولكن تذكر أننا نحاول إيجاد ميل المماس عند نقطة معطاة. وهي في الواقع النقطة حيث ﺱ يساوي اثنين وﺹ يساوي خمسة. إذن، لنعوض بـ ﺱ يساوي اثنين وﺹ يساوي خمسة في تعبير المشتقة.
وعليه يصبح البسط خمسة على خمسة زائد اثنين في خمسة على اثنين تربيع، وهو ما يبسط إلى واحد زائد خمسة على اثنين. بعد ذلك، لدينا المقام يساوي خمسة في اثنين على خمسة تربيع زائد اثنين على اثنين، وهو ما يساوي خمسين زائد واحد. واحد زائد خمسة على اثنين يساوي سبعة على اثنين. وخمسان زائد واحد يساوي سبعة أخماس. إذن، لدينا سبعة على اثنين مقسومًا على سبعة أخماس.
ولعلنا نتذكر هنا أنه عند القسمة على كسر، نضرب في مقلوب هذا الكسر. إذن، لدينا سبعة على اثنين في خمسة أسباع. ثم نحذف العدد سبعة من البسط والمقام؛ ما يعطينا خمسة على اثنين. وبذلك نكون قد انتهينا. فقد أوجدنا ميل المماس للمنحنى عند النقطة اثنين، خمسة. وهو خمسة على اثنين، أو خمسة أنصاف.
