نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد خواص ضرب المصفوفات، ونقارن بينها وبين خواص ضرب الأعداد. سنبدأ بتذكر الطريقة التي نضرب بها مصفوفتين معًا ونحدد الخواص التي يعد توفرها ضروريًا لنتمكن من ذلك.
لا يمكننا ضرب مصفوفتين إلا إذا كان عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مساويًا لعدد الصفوف في المصفوفة الثانية، مثل مصفوفة رتبتها ثلاثة في اثنين ومصفوفة رتبتها اثنان في خمسة. فيوجد عمودان في المصفوفة الأولى وصفان في المصفوفة الثانية. وسيكون بالمصفوفة الناتجة عن ضربهما ثلاثة صفوف وخمسة أعمدة. هذا هو عدد صفوف المصفوفة الأولى وعدد أعمدة المصفوفة الثانية.
بوجه عام، يمكننا ضرب مصفوفة رتبتها ﻡ في ﻥ في مصفوفة رتبتها ﻥ في ﻝ، وهو ما سيعطينا مصفوفة رتبتها ﻡ في ﻝ. ويمكننا تمثيل ذلك كما هو موضح. للمصفوفة ﺃ عناصر من ﺃ واحد واحد إلى ﺃﻡﻥ، وللمصفوفة ﺏ عناصر من ﺏ واحد واحد إلى ﺏﻥﻝ. ضرب المصفوفة ﺃ في المصفوفة ﺏ يعطينا المصفوفة ﺟ، بالعناصر من ﺟ واحد واحد إلى ﺟﻡﻝ. يمكننا حساب كل عنصر من عناصر المصفوفة ﺟ باستخدام الصيغة التالية. الحد العام ﺟﺱﺹ يساوي المجموع من ﻉ يساوي واحدًا إلى ﻉ يساوي ﻥ إلى ﺃﺱﻉ مضروبًا في ﺏﻉﺹ، حيث ﺃﺱﻉ وﺏﻉﺹ هما الحدان العامان في المصفوفتين ﺃ وﺏ. وهذا يساوي مجموع ﺃ ﺱ واحد مضروبًا في ﺏ واحد ﺹ وهكذا وصولًا إلى ﺃﺱﻥ مضروبًا في ﺏﻥﺹ.
سنتناول الآن كيفية تطبيق ذلك من خلال مثال عملي.
إذا كانت المصفوفة ﺃ تساوي سالب أربعة، اثنين، اثنين، سالب أربعة، والمصفوفة ﺏ تساوي سالب ثلاثة، سالب ثلاثة، سالب واحد، واحدًا، فأوجد ﺃﺏ وﺏﺃ.
نتذكر هنا أنه لا يمكننا ضرب مصفوفتين إلا إذا كان عدد أعمدة المصفوفة الأولى مساويًا لعدد صفوف المصفوفة الثانية. وبما أن كلتا هاتين المصفوفتين لدينا رتبتهما اثنان في اثنين، فسينطبق ذلك على ﺃﺏ وﺏﺃ. هيا نبدأ بضرب المصفوفة ﺃ في المصفوفة ﺏ. عند ضرب مصفوفتين، نضرب عناصر كل صف بالمصفوفة الأولى في عناصر كل عمود بالمصفوفة الثانية.
العنصر الأول في المصفوفة ﺃﺏ سيساوي سالب أربعة مضروبًا في سالب ثلاثة زائد اثنين مضروبًا في سالب واحد. وهذا يساوي ١٠، لأن سالب أربعة مضروبًا في سالب ثلاثة يساوي ١٢، واثنين مضروبًا في سالب واحد يساوي سالب اثنين. أما العنصر الموجود أعلى اليسار في المصفوفة ﺃﺏ فسيساوي سالب أربعة مضروبًا في سالب ثلاثة زائد اثنين مضروبًا في واحد. وهذا يساوي ١٤.
سنكرر هذه العملية الآن بضرب الأعداد الموجودة في الصف الثاني من المصفوفة ﺃ في أعمدة المصفوفة ﺏ. اثنان مضروبًا في سالب ثلاثة زائد سالب أربعة مضروبًا في سالب واحد يساوي سالب اثنين. واثنان مضروبًا في سالب ثلاثة زائد سالب أربعة مضروبًا في واحد يساوي سالب ١٠. المصفوفة ﺃﺏ تساوي ١٠، ١٤، سالب اثنين، سالب ١٠.
علينا الآن تكرار هذه العملية للمصفوفة ﺏﺃ. سالب ثلاثة مضروبًا في سالب أربعة زائد سالب ثلاثة مضروبًا في اثنين يساوي ستة. تكرار ذلك مع الصفوف والأعمدة الأخرى سيعطينا القيم: ستة، وستة، وسالب ستة. إذن المصفوفة ﺏﺃ تساوي ستة، ستة، ستة، سالب ستة.
نلاحظ أن المصفوفة ﺃﺏ لا تساوي المصفوفة ﺏﺃ. وهذا يقودنا إلى قاعدة عامة تخص التعامل مع ضرب المصفوفات. بما أن ﺃﺏ لا تساوي ﺏﺃ، فإن ضرب المصفوفات ليس إبداليًا. وهذا يختلف عن ضرب الأعداد؛ إذ إن ضرب أي عددين إبدالي.
في السؤال التالي، سنتناول مثالًا محددًا حيث ﺃﺏ تساوي ﺏﺃ.
حدد هل العبارة الآتية صواب أم خطأ. إذا كان ﺃ وﺏ مصفوفتين رتبتهما اثنان في اثنين، فإن ﺃﺏ لا تساوي أبدًا ﺏﺃ.
لإثبات خطأ أي عبارة، كل ما علينا فعله هو إيجاد مثال واحد فقط لا تكون فيه هذه العبارة صحيحة. تخبرنا المسألة أن كلتا المصفوفتين رتبتهما اثنان في اثنين. سنفترض أن عناصر المصفوفة ﺃ هي ﻙ، ﻝ، ﻡ، ﻥ. على الرغم من أنه يمكننا افتراض أي قيم لعناصر المصفوفة ﺏ، فإننا في هذه الحالة سنفترض أن المصفوفة ﺏ هي مصفوفة الوحدة: واحد، صفر، صفر، واحد. نعلم أن مصفوفة الوحدة تحتوي على العدد واحد في قطرها الرئيسي وأصفار في كل المواضع الأخرى.
لحساب المصفوفة ﺃﺏ، علينا ضرب ﻙ، ﻝ، ﻡ، ﻥ في واحد، صفر، صفر، واحد. عند ضرب المصفوفات، نضرب عناصر كل صف في المصفوفة الأولى في عناصر كل عمود في المصفوفة الثانية. ﻙ في واحد يساوي ﻙ، وﻝ في صفر يساوي صفرًا. بالتالي، سيكون العنصر الأول في المصفوفة ﺃﺏ هو ﻙ. بتكرار ذلك للصفوف والأعمدة الأخرى، نحصل على العناصر ﻝ وﻡ وﻥ. المصفوفة ﺃﺏ تساوي ﻙ، ﻝ، ﻡ، ﻥ، أي إنها تساوي المصفوفة ﺃ.
سنكرر هذه الطريقة الآن عند ضرب المصفوفة ﺏ، وهي مصفوفة الوحدة، في المصفوفة ﺃ. مرة أخرى، سيعطينا ذلك العناصر ﻙ، ﻝ، ﻡ، ﻥ. وبذلك نكون قد وجدنا مثالًا تكون فيه المصفوفة ﺃﺏ مساوية للمصفوفة ﺏﺃ. وهذا يقودنا إلى قاعدة عامة. عند ضرب أي مصفوفة في مصفوفة الوحدة، نحصل على نتيجة مماثلة لنتيجة ضرب مصفوفة الوحدة في هذه المصفوفة. ففي كلتا الحالتين، تظل المصفوفة الأصلية كما هي. ﺃ𝐼 تساوي 𝐼ﺃ، وهي نفسها المصفوفة ﺃ.
يمكننا في الواقع التعمق أكثر في تناولنا لخاصية الإبدال في المصفوفات. سنفترض الآن أن المصفوفة ﺏ عناصرها ﻫ، ﻭ، ﺯ، ﺡ. وبضرب المصفوفتين ﺃﺏ وﺏﺃ، نحصل على المصفوفتين التاليتين اللتين رتبتهما اثنان في اثنين. قد يبدو للوهلة الأولى أنه لا يوجد شيء مشترك بين المصفوفة ﺃﺏ وﺏﺃ. لكننا نلاحظ أن العنصر الموجود أعلى اليمين يحتوي على ﻙﻫ أو ﻫﻙ، والعنصر الموجود أسفل اليسار يحتوي على ﻥﺡ أو ﺡﻥ. العناصر ﻙ وﻥ وﻫ وﺡ هي العناصر الموجودة على القطر الرئيسي للمصفوفتين ﺃ وﺏ، على التوالي. ويمكننا أن نلاحظ أيضًا أنه إذا كانت جميع حواصل الضرب الأخرى تساوي صفرًا، فستكون المصفوفتان متساويتين.
لنر ما سيحدث إذا كان كل من ﻝ وﻡ وﻭ وﺯ جميعها تساوي صفرًا. المصفوفتان ﺃﺏ وﺏﺃ كلتاهما تساوي ﻙﻫ، صفرًا، صفرًا، ﻥﺡ. هذا مثال لمصفوفة قطرية؛ إذ إن جميع العناصر عدا تلك الموجودة على القطر الرئيسي تساوي صفرًا. وبهذا نستنتج قاعدة عامة أخرى لضرب المصفوفات. إذا كان كل من ﺃ وﺏ مصفوفتين قطريتين، فستتحقق بين المصفوفتين خاصية الإبدال في الضرب. بعبارة أخرى، ﺃﺏ ستساوي ﺏﺃ.
في السؤال التالي، سنوضح كيف يمكننا توزيع ضرب المصفوفات على الجمع.
إذا كانت ﺃ وﺏ وﺟ ثلاث مصفوفات، فأي من التالي يساوي ﺃ مضروبة في ﺏ زائد ﺟ؟ هل هو الخيار (أ) ﺃﺏ زائد ﺟ، أم (ب) ﺃﺏ زائد ﺃﺟ، أم (ج) ﺏﺃ زائد ﺟﺃ، أم (د) ﺏﺃ زائد ﺟ، أم (هـ) ﺏ زائد ﺃﺟ؟
للإجابة عن هذا السؤال، علينا استخدام خاصية التوزيع للمصفوفات. يمكننا توزيع المصفوفات بطريقة مشابهة لتوزيع الأعداد الحقيقية. ضرب المصفوفة ﺃ في المصفوفة ﺏ زائد ﺟ يساوي المصفوفة ﺃﺏ زائد المصفوفة ﺃﺟ. لكن علينا ملاحظة أنه إذا جاءت الأقواس أولًا، أي عند ضرب ﺏ زائد ﺟ في ﺃ، فإن الإجابة ستكون ﺏﺃ زائد ﺟﺃ. إذا كانت المصفوفة ﺃ موزعة من الطرف الأيمن، فعلينا التأكد من أن حاصل الضرب في المجموع الناتج يحتوي على ﺃ في اليمين. وبالطريقة نفسها، إذا وزعنا المصفوفة ﺃ من الطرف الأيسر، يجب أن يحتوي كل حاصل ضرب في المجموع الناتج على ﺃ في اليسار. وعليه يمكننا أن نلاحظ أن الإجابة الصحيحة هي الخيار (ب). ﺃ مضروبًا في ﺏ زائد ﺟ يساوي ﺃﺏ زائد ﺃﺟ.
من المهم أن نتذكر أنه عند إجراء جمع المصفوفات وضربها، تكون أبعاد كل مصفوفة عاملًا رئيسيًا. فلجمع المصفوفة ﺏ وﺟ، يجب أن تكون لهما الأبعاد نفسها. ولضرب المصفوفات، يجب أن يكون عدد الأعمدة في المصفوفة ﺃ مساويًا لعدد الصفوف في المصفوفة ﺏ وﺟ.
سيتضمن السؤال الأخير معنا تطبيقًا لخاصية التوزيع.
افترض أن المصفوفة ﺃ تساوي واحدًا، سالب ثلاثة، سالب أربعة، اثنين، والمصفوفة ﺏ تساوي اثنين، صفرًا، واحدًا، سالب واحد، والمصفوفة ﺟ تساوي صفرًا، واحدًا، سالب ثلاثة، صفرًا. يوجد أربعة أجزاء في هذا السؤال. أوجد المصفوفة ﺃﺏ. أوجد المصفوفة ﺃﺟ. أوجد ﺃ مضروبًا في اثنين ﺏ زائد سبعة ﺟ. اكتب ﺃ مضروبًا في اثنين ﺏ زائد سبعة ﺟ بدلالة ﺃﺏ وﺃﺟ.
لكي نضرب المصفوفة ﺃ في المصفوفة ﺏ، علينا أن نضرب جميع عناصر صفوف المصفوفة ﺃ في أعمدة المصفوفة ﺏ. واحد مضروبًا في اثنين زائد سالب ثلاثة مضروبًا في واحد يساوي سالب واحد. بتكرار ذلك مع الصفوف والأعمدة الأخرى، سنحصل على العناصر: ثلاثة، وسالب ستة، وسالب اثنين. المصفوفة ﺃﺏ تساوي سالب واحد، ثلاثة، سالب ستة، سالب اثنين.
ولإيجاد المصفوفة ﺃﺟ، نضرب واحدًا وسالب ثلاثة وسالب أربعة واثنين في صفر، وواحد، وسالب ثلاثة، وصفر. وهذا سيعطينا العناصر: تسعة، وواحدًا، وسالب ستة، وسالب أربعة. هذه هي المصفوفة ﺃﺟ.
في الجزء الثالث من السؤال، سنبدأ بضرب المصفوفة ﺏ في العدد الثابت اثنين، والمصفوفة ﺟ في العدد الثابت سبعة. عند ضرب مصفوفة في عدد ثابت، نضرب كل العناصر في هذا العدد الثابت. هذا يعني أن اثنين ﺏ تساوي أربعة، صفرًا، اثنين، سالب اثنين. وبالطريقة نفسها، سبعة ﺟ يساوي صفرًا، سبعة، سالب ٢١، صفرًا.
بعد ذلك، علينا جمع هاتين المصفوفتين. نفعل ذلك بجمع العناصر الموجودة في المواضع المناظرة بعضها مع بعض في كل مصفوفة. أربعة زائد صفر يساوي أربعة. وبتكرار ذلك مع العناصر الأخرى، سنحصل على المصفوفة أربعة، سبعة، سالب ١٩، سالب اثنين.
وأخيرًا، علينا ضرب هذه المصفوفة في المصفوفة ﺃ. الترتيب هنا مهم. علينا ضرب المصفوفة ﺃ في المصفوفة أربعة، سبعة، سالب ١٩، سالب اثنين. هذا سيعطينا العناصر ٦١، و١٣، وسالب ٥٤، وسالب ٣٢. ﺃ مضروبًا في اثنين ﺏ زائد سبعة ﺟ يساوي ٦١، ١٣، سالب ٥٤، سالب ٣٢.
في الجزء الأخير من هذا السؤال، يمكننا استخدام خاصية توزيع ضرب المصفوفات. يمكننا ضرب المصفوفة ﺃ في اثنين ﺏ ثم جمع المصفوفة ﺃ مضروبة في سبعة ﺟ. وهذا يعطينا واحدًا، سالب ثلاثة، سالب أربعة، اثنين مضروبة في أربعة، صفر، اثنين، سالب اثنين زائد واحد، سالب ثلاثة، سالب أربعة، اثنين مضروبة في صفر، سبعة، سالب ٢١، صفر. ناتج حاصل الضرب الأول يساوي سالب اثنين، ستة، سالب ١٢، سالب أربعة. ناتج حاصل الضرب الثاني يساوي ٦٣، سبعة، سالب ٤٢، سالب ٢٨.
قد نميل هنا إلى جمع هاتين المصفوفتين ببساطة. لكن المطلوب منا هو إيجاد الإجابة بدلالة ﺃﺏ وﺃﺟ. نلاحظ أن المصفوفة الأولى سالب اثنين، ستة، سالب ١٢، سالب أربعة تساوي اثنين في المصفوفة ﺃﺏ. ونلاحظ أيضًا أن المصفوفة الثانية ٦٣، سبعة، سالب ٤٢، سالب ٢٨ تساوي سبعة في المصفوفة ﺃﺟ. هذا يعني أن المصفوفة ﺃ مضروبة في اثنين ﺏ زائد سبعة ﺟ تساوي اثنين مضروبًا في المصفوفة ﺃﺏ زائد سبعة مضروبًا في المصفوفة ﺃﺟ.
سنلخص الآن النقاط الأساسية المستخلصة من هذا الفيديو. رأينا في المثال الأول أن ضرب المصفوفات ليس إبداليًا بوجه عام. فالمصفوفة ﺃﺏ لا تساوي المصفوفة ﺏﺃ. لكن يوجد بعض الاستثناءات لذلك. بضرب مصفوفة في مصفوفة الوحدة، نحصل على المصفوفة الأصلية. ويمكن إجراء ذلك بأي ترتيب. ﺃ مضروبًا في 𝐼 يساوي 𝐼 مضروبًا في ﺃ، وهو ما يساوي المصفوفة ﺃ.
رأينا أيضًا أنه إذا كان كل من ﺃ وﺏ مصفوفة قطرية بنفس الأبعاد، فستكون ﺃﺏ مساوية لـ ﺏﺃ. فالمصفوفتان القطريتان اللتان لهما الرتبة نفسها تتحقق بينهما خاصية الإبدال في الضرب. رأينا أيضًا أن عملية ضرب المصفوفات هي عملية توزيع على جمع المصفوفات. هذا يعني أن ﺃ مضروبًا في ﺏ زائد ﺟ يساوي ﺃﺏ زائد ﺃﺟ. من المهم أن نشير هنا إلى أنه بما أن المصفوفة ﺃ تقع أمام القوسين، فستكون المصفوفة الأولى في كل من حواصل الضرب. وهذا لا يساوي المصفوفة ﺏﺃ زائد المصفوفة ﺟﺃ.
أبعاد كل مصفوفة مهمة أيضًا. لجمع المصفوفات، يجب أن يكون لكلتا المصفوفتين الأبعاد نفسها. ولتنفيذ عملية ضرب للمصفوفات، يجب أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى مساويًا لعدد الصفوف في المصفوفة الثانية. إذا لم تتوفر هذه الخواص في الأبعاد، فلن يكون جمع المصفوفات أو ضربها معرفًا. يوجد بعض أوجه التشابه والاختلاف بين هذه الخواص وخواص ضرب الأعداد.
