نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم التباديل في حل مسائل العد.
التباديل هي إعادة ترتيب مجموعة من العناصر. على سبيل المثال، لنقل إن لدينا الحروف ﺃ وﺏ وﺟ. يمكننا إعادة ترتيبها على الصورة ﺃﺏﺟ أو ﺏﺟﺃ أو ﺏﺃﺟ وهكذا. كل ترتيب مختلف هو مثال على عملية التباديل. لاحظ أن الترتيب مهم في التباديل؛ لأن ﺏﺟﺃ ليس هو نفسه ﺃﺏﺟ. كما أنه غير مسموح بالتكرار، لذا لا نعتبر ﺃﺃﺏ عملية تباديل صحيحة لهذه الأحرف. مهمتنا إذن هي إيجاد طريقة لعد هذه المجموعات. وسنبدأ بتناول مثال ليساعدنا في إيجاد صيغة لذلك.
ما عدد الطرق التي يمكن بها تكوين عدد من ثلاثة أرقام، بدون أرقام مكررة، باستخدام الأعداد اثنين وتسعة وثمانية؟
لدينا هنا ثلاثة أرقام يمكننا استخدامها. ونريد عد الطرق التي يمكننا من خلالها ترتيب هذه الأرقام، مع عدم وجود أرقام مكررة. بما أن الترتيب مهم؛ أي أن العدد ٢٩٨ ليس هو نفسه ٩٢٨، فعلينا إيجاد عدد التباديل لهذه الأرقام. إحدى الطرق التي لدينا بالطبع هي سرد جميع الخيارات الممكنة. ويسمى هذا بالسرد المنتظم. كما يشير الاسم، فإننا نحاول إيجاد طريقة تضمن عدم نسيان أي أعداد. يمكننا أن نبدأ بالعدد ٢٩٨. ثم يمكننا تبديل ثمانية وتسعة لنحصل على ٢٨٩. بعد ذلك، نبدأ بثمانية لنكون ٨٢٩، ثم نبدل اثنين وتسعة لنحصل على ٨٩٢. وأخيرًا، نضع العدد تسعة في المقدمة. لنحصل بذلك على ٩٢٨. وإذا بدلنا ثمانية واثنين، فسنحصل على ٩٨٢.
وبذلك نلاحظ أن لدينا ستة تباديل مختلفة. هناك ستة أعداد مختلفة من ثلاثة أرقام يمكننا تكوينها باستخدام الأعداد اثنين وتسعة وثمانية. لكن هذه ليست أفضل طريقة، لذا سنبحث عن طريقة بديلة. سنتعامل مع كل رقم في العدد تباعًا. نحن نعلم أنه يمكن اختيار العدد الأول من بين الأعداد اثنين وتسعة وثمانية. إذن، توجد ثلاثة خيارات مختلفة ممكنة لأول رقم في العدد. ثم ننتقل إلى الخيار الثاني، لقد اخترنا أحد الأرقام بالفعل. وبما أنه لا يمكننا تكرار الأرقام، يصبح لدينا خياران محتملان للاختيار من بينهما للرقم الثاني.
وأخيرًا، بالنسبة للرقم الثالث، يتبقى لدينا خيار واحد فقط. ينص مبدأ العد على أنه يمكننا حساب إجمالي عدد التباديل بضرب هذه الأعداد. أي نضرب ثلاثة في اثنين في واحد، وهو ما يساوي ستة. إذن، إجمالي عدد التباديل أو إجمالي عدد الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام هو ستة. والآن يمكننا تعميم ذلك بعض الشيء والقول إن عدد التباديل لمجموعة بها عدد ﻥ من العناصر يساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد في ﻥ ناقص اثنين، وهكذا تنازليًّا إلى واحد. ويمكن تمثيل ذلك بإيجاز باعتباره مضروب ﻥ. إذن، عدد التباديل في مجموعة بها عدد ﻥ من العناصر يساوي مضروب ﻥ.
لكن هذه الطريقة لا تفي بالغرض في كل الحالات. على سبيل المثال، ماذا نفعل إذا أردنا إيجاد عدد تباديل عناصر عددها ﺭ من مجموعة بها عدد ﻥ من العناصر؟ حسنًا، لنرجع إلى هذا المثال. دعونا نفكر، ما عدد الأعداد من رقمين التي يمكننا تكوينها من مجموعة من ثلاثة أعداد؟ هذه المرة، لدينا ثلاث طرق لاختيار الرقم الأول وطريقتان لاختيار الرقم الثاني. وماذا عن الأعداد من رقم واحد التي يمكننا تكوينها من مجموعة من ثلاثة أعداد؟ هناك ثلاث طرق لاختيار هذا الرقم، إذن الإجابة هي ثلاثة.
باستخدام الرمز ﻥﻝﺭ لتمثيل عدد تباديل عناصر عددها ﺭ من مجموعة بها عدد ﻥ من العناصر، نجد أن ثلاثة ﻝ ثلاثة يساوي ثلاثة في اثنين في واحد، وثلاثة ﻝ اثنين يساوي ثلاثة في اثنين، وثلاثة ﻝ واحد يساوي ثلاثة. ويمكننا ربط ذلك برمز المضروب الذي رأيناه توًّا. إذا نظرنا إلى ثلاثة ﻝ اثنين، فسنرى أنها تشبه مضروب ثلاثة، وهو ثلاثة في اثنين في واحد، ثم نقسم ذلك على مضروب واحد. بعد ذلك نحذف واحدًا مع واحد، ويتبقى لدينا ثلاثة في اثنين. وبالمثل، يمكن تمثيل ثلاثة ﻝ واحد على الصورة مضروب ثلاثة على مضروب اثنين. نحذف اثنين مع اثنين وواحدًا مع واحد، ويتبقى لدينا ثلاثة.
إذا لاحظنا أن الفرق بين ﻥ وﺭ دائمًا ما يكون قيمة المضروب الموجود في المقام، فيمكننا هنا استنتاج تعميم. إن عدد الطرق التي يمكننا بها ترتيب عناصر عددها ﺭ من مجموعة بها عدد ﻥ من العناصر دون تكرار، يعطى بالرمز ﻥﻝﺭ. وهو ما يعرف بأنه مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ﺭ. هناك رمز بديل، واختيار الرمز الذي تستخدمه يرجع إلى تفضيلك الشخصي ويعتمد أحيانًا على المنطقة التي تعيش فيها. سأستخدم هذه الصورة هنا.
لدينا الآن تعريف لعدد تباديل عناصر عددها ﺭ من مجموعة بها عدد ﻥ من العناصر، لذا دعونا نرى مثالًا على تطبيق هذه الصيغة.
أي من التالي يمثل عدد الطرق التي يمكن بها تكوين عدد من أربعة أرقام من بين خمسة أرقام، علمًا بأنه لا يمكن استخدام أي رقم أكثر من مرة؟ هل هو (أ) خمسة ﻝ أربعة، أم (ب) ستة ﻝ أربعة، أم (ج) أربعة ﻝ أربعة، أم (د) تسعة ﻝ أربعة؟
سنبدأ بالتذكير بأن عدد الطرق التي نرتب بها عناصر عددها ﺭ من مجموعة بها عدد ﻥ من العناصر دون أي تكرار، مع مراعاة الترتيب، يعطى بالرمز ﻥﻝﺭ. لدينا طرق مختلفة لتمثيل ذلك، وفي هذا المثال، سنستخدم الطريقة الأولى. وتسمى «التباديل». في هذا السؤال، نريد إيجاد عدد طرق اختيار عدد مكون من أربعة أرقام من بين خمسة أرقام. وعليه، سنفترض أن ﻥ يساوي خمسة؛ لأن هذا هو إجمالي عدد الأرقام. ونفترض أن ﺭ يساوي أربعة؛ لأن هذا هو عدد الأرقام التي نريد اختيارها. باستخدام الرمز الأول في هذا التعريف، نكتب خمسة ﻝ أربعة. إذن، الإجابة الصحيحة هي (أ). عدد طرق اختيار أربعة أرقام من مجموعة مكونة من خمسة أرقام، علمًا بأنه لا يمكن استخدام أي رقم أكثر من مرة، هو خمسة ﻝ أربعة.
في المثال التالي، سنتناول كيفية إيجاد قيمة التباديل واستخدام بعض الاختصارات لفعل ذلك.
أوجد قيمة ١٢٣ ﻝ ثلاثة.
مطلوب منا من خلال هذا الرمز إيجاد عدد طرق ترتيب ثلاثة عناصر من مجموعة من ١٢٣ عنصرًا دون تكرار، علمًا بأن الترتيب مهم هنا. أي مطلوب هنا عدد التباديل. والصيغة العامة التي نستخدمها لترتيب عناصر عددها ﺭ من مجموعة بها عدد ﻥ من العناصر دون تكرار، هي مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ﺭ. بمقارنة ما لدينا في المسألة مع الصيغة العامة، نرى أن ﻥ يساوي ١٢٣ وأن ﺭ يساوي ثلاثة. وبالتالي، فإن ١٢٣ ﻝ ثلاثة يساوي مضروب ١٢٣ على مضروب ١٢٣ ناقص ثلاثة، ونتذكر بالطبع أنه لا يمكننا توزيع المضروب على القوس، وبالتالي سنحسب قيمة ١٢٣ ناقص ثلاثة. وعليه، نجد أن ١٢٣ ﻝ ثلاثة يساوي مضروب ١٢٣ على مضروب ١٢٠.
ورغم أنه يمكننا استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة ذلك، فإنه يجدر بنا أن نعرف كيف يمكننا تبسيط هذا المقدار بعض الشيء. سنكتب مضروب ١٢٣ على الصورة ١٢٣ في ١٢٢ في ١٢١ وهكذا. لكن، بالطبع، ١٢٠ في ١١٩ إلى آخره يساوي مضروب ١٢٠. لذا، سنعيد كتابة ١٢٣ ﻝ ثلاثة لتصبح ١٢٣ في ١٢٢ في ١٢١ في مضروب ١٢٠ على مضروب ١٢٠. وهذه الخطوة مهمة؛ حيث يمكننا الآن قسمة بسط هذا الكسر ومقامه على مضروب ١٢٠. وهذا يعطينا واحدًا في المقام. وهو ما يعني أنه يمكن تبسيط الكسر إلى ١٢٣ في ١٢٢ في ١٢١. وبذلك نجد أن ١٢٣ ﻝ ثلاثة، وهو عدد طرق ترتيب ثلاثة عناصر من مجموعة من ١٢٣ عنصرًا دون تكرار، يساوي ١٢٣ في ١٢٢ في ١٢١.
قد تكون هذه الطريقة مفيدة جدًّا لأنها تتيح لنا تبسيط عملية حسابية معقدة إلى حد ما وإجراءها يدويًّا. سنتناول الآن كيفية استخدام التباديل لحل المسائل الكلامية.
في سباق الخيل، يتم إحراز الثلاثية عندما يفوز أحد المراهنين باختيار أول ثلاثة فائزين بالترتيب الصحيح؛ المركز الأول والمركز الثاني والمركز الثالث. ما عدد المجموعات الثلاثية المختلفة الممكنة إذا كان هناك ١٤ حصانًا في السباق؟
المطلوب في هذه المسألة هو معرفة عدد الطرق المختلفة لترتيب ثلاثة أحصنة من مجموعة مكونة من ١٤ حصانًا. نحن نعلم بالطبع أنه لا يمكن أن يظهر أي حصان في المراكز الثلاثة الأولى أكثر من مرة في نفس الوقت. بعبارة أخرى، لا يمكن أن يكون نفس الحصان في المركزين الأول والثاني في الوقت نفسه. وبالطبع، نحن نعلم أن الترتيب مهم. وبالتالي، فنحن نريد إيجاد عدد التباديل، وبالتحديد عدد التباديل لثلاثة عناصر من مجموعة من ١٤ عنصرًا. ونذكر أن عدد تباديل عناصر عددها ﺭ من مجموعة بها عدد ﻥ من العناصر يعطى بالرمز ﻥﻝﺭ، ويساوي مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ﺭ.
سنجعل ﻥ يساوي ١٤؛ لأن هذا هو إجمالي عدد الأحصنة وﺭ يساوي ثلاثة. ما يعنينا هو الثلاثة مراكز الأولى؛ إذن عدد التباديل يساوي ١٤ ﻝ ثلاثة. وهو ما يساوي مضروب ١٤ على مضروب ١٤ ناقص ثلاثة. بالطبع ١٤ ناقص ثلاثة يساوي ١١، فنحصل بذلك على مضروب ١٤ على مضروب ١١. لكن بما أنه يمكن كتابة مضروب ١٤ على الصورة ١٤ في ١٣ في ١٢ في ١١ في ١٠ وهكذا، نعلم أنه يمكننا أيضًا كتابته على الصورة ١٤ في ١٣ في ١٢ في مضروب ١١. وهذا مفيد للغاية؛ حيث يمكننا الآن القسمة على العامل المشترك مضروب ١١. ونجد أن ١٤ ﻝ ثلاثة يبسط إلى ١٤ في ١٣ في ١٢، وهو ما يساوي ٢١٨٤. وبهذا، نكون قد توصلنا إلى أن عدد المجموعات الثلاثية الممكنة هو ٢١٨٤ إذا كان هناك ١٤ حصانًا في السباق.
في المثال الأخير، سنتناول ما يحدث إذا كنا نريد عد أكثر من مجموعة من التباديل.
تضع شركة على منتجاتها رموزًا تبدأ بثلاثة أحرف إنجليزية متبوعة بثمانية أرقام ليس الصفر من بينها. أي من الآتي يمثل عدد الرموز التي يمكن تكوينها دون أي تكرار لأي من الحروف أو الأرقام؟ هل هو (أ) ثلاثة ﻝ ثلاثة زائد ثمانية ﻝ ثمانية؟ أم (ب) ٢٦ ﻝ ثلاثة زائد تسعة ﻝ ثمانية؟ أم (ج) ثلاثة ﻝ ثلاثة في ثمانية ﻝ ثمانية؟ أم (د) ٢٦ ﻝ ثلاثة في تسعة ﻝ ثمانية؟
هيا نبدأ بالنظر إلى الجزأين اللذين يتكون منهما الرمز. يتكون الجزء الأول من ثلاثة أحرف إنجليزية. ثم لدينا ثمانية أرقام لا تتضمن الصفر. ولمعرفة عدد طرق اختيار أو ترتيب الأحرف الإنجليزية الثلاثة، علينا أن نتذكر أن عدد الطرق التي يمكننا بها ترتيب عناصر عددها ﺭ من مجموعة بها عدد ﻥ من العناصر دون تكرار، مع مراعاة الترتيب، يعطى بالرمز ﻥﻝﺭ. وهو ما يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ﺭ.
إننا نريد اختيار ثلاثة أحرف من إجمالي ٢٦ حرفًا إنجليزيًّا. والترتيب هنا ضروري؛ بعبارة أخرى، ﺃﺏﺟ ليس هو نفسه ﺏﺃﺟ. وبالتالي، فإن عدد طرق اختيار هذه الحروف هو ٢٦ ﻝ ثلاثة. بعد ذلك، إذا كنا نريد اختيار ثمانية أرقام لا تتضمن الصفر، فيمكننا اختيار أي رقم يقع بين العددين واحد وتسعة متضمنًا هذين العددين. وعليه، فنحن نختار ثمانية أرقام من إجمالي تسعة. مرة أخرى نؤكد أن الترتيب ضروري، ولن نكرر استخدام أي رقم. إذن، سنعبر عن اختيار ثمانية أرقام من تسعة بالرمز تسعة ﻝ ثمانية.
إذا كان عدد طرق اختيار ثلاثة أحرف إنجليزية هو ٢٦ ﻝ ثلاثة، وعدد طرق اختيار ثمانية أرقام هو تسعة ﻝ ثمانية، فطبقًا لمبدأ العد، يكون إجمالي عدد الاحتمالات، أي إجمالي عدد الرموز، مساويًا لحاصل ضرب هذين. أي ٢٦ ﻝ ثلاثة في تسعة ﻝ ثمانية. وإذا قارنا ذلك بالخيارات المعطاة في السؤال، فسنجد أن الإجابة هي (د). إجمالي عدد الرموز التي يمكن تكوينها دون تكرار لأي حرف أو رقم، هو ٢٦ ﻝ ثلاثة في تسعة ﻝ ثمانية.
في هذا الفيديو، تعلمنا أن عدد طرق اختيار عناصر عددها ﺭ من مجموعة بها عدد ﻥ من العناصر يعطى بالرمز ﻥﻝﺭ أو ﻝﻥ وﺭ. كل من هذين الرمزين مقبول. لكن أيًّا كانت الطريقة، يمكننا إيجاد قيمة ذلك باستخدام الصيغة مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ﺭ أو باستخدام دالة التباديل على الآلة الحاسبة. عرفنا أيضًا أنه عند التعامل مع التباديل، علينا التأكد من وجود سيناريو يكون فيه الترتيب مهمًّا وأننا نعد من دون تكرار. وتناولنا أيضًا عددًا من المواقف الحياتية التي يمكن أن نستخدم فيها التباديل.