نسخة الفيديو النصية
أي المتجهات 𝐏، أو 𝐐، أو 𝐑، أو 𝐒، أو 𝐓 الموضحة في الشكل يساوي 𝚨 زائد 𝚩؟
يوضح الشكل المشار إليه في السؤال، محاور كارتيزية وعدة متجهات ممثلة جميعها بأسهم. يطلب منا السؤال تحديد أي من الأسهم في الشكل يمثل المتجه الذي يساوي 𝚨 زائد 𝚩. المتجهان 𝚨 و𝚩 ممثلان في الشكل بهذا السهم هنا وهذا السهم هنا. للإجابة عن هذا السؤال، علينا فهم كيفية جمع متجهين بيانيًّا. تذكر أولًا أنه عند تمثيل المتجهات بيانيًّا، يكون لكل متجه جزآن: الذيل والرأس.
لنفترض أن لدينا متجهين يسميان 𝐔 و𝐕. لإيجاد مجموع المتجهين 𝐔 و𝐕، نحاذي ذيل أحدهما مع رأس الآخر. وإذا كنا نحاول محاذاة ذيل 𝐕 مع رأس 𝐔، فإننا ببساطة نعيد رسم المتجه 𝐕 لكن بوضع ذيله عند رأس 𝐔. وهذا موضح هنا. هذا السهم هو السهم الذي يمثل المتجه 𝐕، باستثناء أن ذيله يقع عند رأس السهم الذي يمثل المتجه 𝐔. نحن الآن جاهزون لرسم السهم الذي يمثل المتجه 𝐕 زائد 𝐔. هذا المتجه يقع ذيله عند ذيل 𝐔 ورأسه عند رأس 𝐕.
والآن، تذكر أن جمع المتجهات عملية إبدالية، إذن، 𝐔 زائد 𝐕 يساوي 𝐕 زائد 𝐔. ويمكننا ملاحظة ذلك في الشكل. إذا رسمنا المتجه 𝐔 بحيث يقع ذيله عند رأس المتجه 𝐕، فسنلاحظ أن ذيل المتجه الذي رسمناه بالفعل يقع عند ذيل المتجه 𝐕، ورأسه عند رأس المتجه 𝐔. إذن، يجب أن يكون هذا المتجه هو 𝐕 زائد 𝐔. يوضح لنا هذا الشكل بيانيًّا أن جمع المتجهات عملية إبدالية.
على أي حال، يطلب منا السؤال إيجاد السهم الذي يمثل المتجه 𝚨 زائد 𝚩. لذا، كل ما علينا فعله هو رسم نسخة من السهم الذي يمثل المتجه 𝚩 بحيث يقع ذيله عند رأس السهم الذي يمثل المتجه 𝚨. يمتد السهم الذي يمثل 𝚩 خمس وحدات لليسار ووحدة واحدة لأعلى. برسم هذا السهم نفسه بحيث يقع ذيله عند رأس السهم الذي يمثل المتجه 𝚨، نلاحظ أن السهم يشير مباشرة إلى رأس المتجه 𝐑. جميع المتجهات في الشكل لها ذيول عند النقطة نفسها، وهي نقطة الأصل للمحاور الكارتيزية. إذن، ذيل 𝐑 يقع عند ذيل 𝚨. وكما رأينا بالفعل، فإن رأس 𝐑 يقع عند رأس 𝚩. وعليه، يجب أن يكون 𝐑 هو المتجه 𝚨 زائد 𝚩.
يمكننا التأكد من هذه الإجابة باستخدام حقيقة أن 𝚨 زائد 𝚩 يساوي 𝚩 زائد 𝚨. يمتد المتجه 𝚨 وحدتين لليمين وأربع وحدات لأعلى. وعليه، إذا رسمنا سهمًا بحيث يقع ذيله عند رأس المتجه 𝚩 ويمتد بمقدار وحدتين لليمين وأربع وحدات لأعلى، فإننا نصل أيضًا إلى رأس المتجه 𝐑. ومرة أخرى، بما أن 𝐑 و𝚩 يشتركان في الذيل، والمتجه 𝐑 وهذا السهم الجديد الذي يمثل المتجه 𝚨 يشتركان في الرأس، فإن 𝐑 يساوي 𝚨 زائد 𝚩.