فيديو الدرس: تمثيل الدوال المثلثية بيانيًا

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نمثل الدوال المثلثية بيانيًا، مثل دالة الجيب وجيب التمام والظل، ونستنتج خصائصها. كما سنتعلم كيف نطبق تحويلات بسيطة لتمثيل الدوال بيانيًا بهذه الصورة وكيف نتعرف على العلاقة بين كل تمثيل بياني ودائرة الوحدة. ها هي دائرة وحدة. إنها دائرة نصف قطرها يساوي وحدة واحدة، والتي حددنا مركزها عند نقطة أصل زوج من إحداثيات المحورين ﺱ وﺹ. دعونا نضف النقطة ﻝ، التي يمكن أن تتحرك على طول محيط الدائرة. يمكننا أن نسمي إحداثياتها ﺱ، ﺹ. لكن ماذا لو أضفنا مثلثًا قائم الزاوية إلى الشكل وحددنا زاوية هنا. هذه الزاوية تسمى الزاوية المحصورة، وسنسميها 𝜃.

في هذه اللحظة، نرى أن طول قاعدة المثلث لا بد أن يكون ﺱ من الوحدات، وارتفاعه لا بد أن يكون ﺹ من الوحدات. لكن يمكننا استخدام حساب المثلثات لإيجاد تعبيرين لإيجاد قيمتي ﺱ وﺹ بدلالة 𝜃. نستخدم التعريف القياسي لتسمية المثلثات القائمة الزاوية. الضلع المقابل للزاوية المحصورة هو الضلع المقابل. وأطول ضلع، وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة، هو الوتر. أما الضلع الآخر، وهو الضلع الذي يقع بين الزاوية القائمة والزاوية المحصورة، فهو الضلع المجاور. نتذكر هنا تعريفات النسب المثلثية الثلاث. ونلاحظ أنه يمكننا استخدام نسبة جيب تمام الزاوية لإيجاد العلاقة بين ﺱ و𝜃. وهذه العلاقة هي جتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر.

حسنًا، طول الضلع المجاور في هذا المثلث يساوي ﺱ من الوحدات، وطول الوتر يساوي وحدة واحدة، إذن جتا 𝜃 يساوي ﺱ على واحد، أو ببساطة جتا 𝜃 يساوي ﺱ. وبالمثل، سنستخدم نسبة جيب الزاوية للربط بين ﺹ و𝜃. هذه المرة، طول الضلع المقابل يساوي ﺹ وطول الوتر يساوي واحدًا. وبذلك، لدينا جا 𝜃 يساوي ﺹ مقسومًا على واحد، أو ببساطة جا 𝜃 يساوي ﺹ. يمكننا الآن القول إن النقطة ﻝ يجب أن تكون إحداثياتها جتا 𝜃، جا 𝜃. الآن، عندما نحرك ﻝ على طول محيط الدائرة في عكس اتجاه عقارب الساعة، ستتغير قيمة كل من ﺱ وﺹ؛ ومن ثم قيمة كل من جتا 𝜃 وجا 𝜃. وفي الواقع، يترتب على ذلك أمر مثير للاهتمام. فدعونا نر ما سيحدث.

هيا نتخيل أن هذه النقطة تقع على الجزء الموجب من المحور ﺱ هنا. عند هذه النقطة، 𝜃 تساوي صفرًا. وإحداثيات النقطة هي واحد، صفر. إذن، عندما 𝜃 تساوي صفرًا، نلاحظ أن جتا 𝜃 — الذي يمثل ﺱ — يساوي واحدًا. وجا 𝜃، الذي يمثل ﺹ، يساوي صفرًا. سنكرر الآن هذه العملية هنا. هذه المرة، 𝜃 تساوي ٤٥ درجة. ويمكننا إضافة مثلث قائم الزاوية، ونلاحظ عندها أن طول الوتر يساوي وحدة واحدة. لكن بما أن هذا المثلث قائم الزاوية وقياس زاوية واحدة فيه يساوي ٤٥ درجة، نعرف أنه في الواقع مثلث متساوي الساقين. وبذلك، يمكننا القول إن طولي الضلعين الآخرين يساويان ﺃ من الوحدات.

تنص نظرية فيثاغورس على أن مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصر يساوي مربع طول الضلع الأطول. وهو ما يعني أن ﺃ تربيع زائد ﺃ تربيع يساوي واحدًا تربيع، أي اثنين ﺃ تربيع يساوي واحدًا. نقسم الطرفين على اثنين، ونجد أن ﺃ تربيع يساوي نصفًا. ثم نوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين. والآن ﺃ هو طول الضلع؛ ومن ثم سنقول إنه يساوي موجب الجذر التربيعي لنصف، والذي يمكننا كتابته على الصورة جذر اثنين على اثنين. ومن ثم، نجد أنه عندما 𝜃 تساوي ٤٥ درجة، فإن إحداثيات هذه النقطة تكون جذر اثنين على اثنين، جذر اثنين على اثنين. ونستنتج من ذلك أن جا 𝜃، عندما 𝜃 تساوي ٤٥ درجة، يساوي جذر اثنين على اثنين، وكذلك جتا 𝜃.

وماذا عن ذلك؟ حسنًا، هذه المرة 𝜃 تساوي ٩٠ درجة. وبالطبع، نصف قطر الدائرة يساوي واحدًا. إذن، إحداثيات هذه النقطة هي صفر، واحد. ونلاحظ أنه عندما 𝜃 تساوي ٩٠ درجة، فإن جتا 𝜃 — والتي هي قيمة ﺱ — يساوي صفرًا، وجا 𝜃 — والتي هي قيمة ﺹ — يساوي واحدًا. يمكننا تكرار هذه العملية عندما 𝜃 تساوي ١٨٠ درجة. هنا، لدينا نقطة إحداثياتها هي سالب واحد، صفر. إذن، عندما 𝜃 تساوي ١٨٠ درجة، فإن جتا 𝜃 يساوي سالب واحد، وجا 𝜃 يساوي صفرًا. بعد ذلك، عندما 𝜃 تساوي ٢٧٠ درجة، تكون إحداثيات النقطة هي صفر، سالب واحد. إذن، جا 𝜃 يساوي سالب واحد، وتذكر أن ذلك هو الإحداثي ﺹ، وجتا 𝜃 يساوي صفرًا.

سنستمر بعد ذلك في التحرك على طول محيط الدائرة ونجد أننا نعود إلى البداية. إذن، عندما 𝜃 تساوي ٣٦٠ درجة، يكون لدينا نفس قيمتي جا 𝜃 وجتا 𝜃 اللتين حصلنا عليهما عندما كانت 𝜃 تساوي صفرًا. ‏جا 𝜃 يساوي صفرًا، وجتا 𝜃 يساوي واحدًا. هيا نملأ هذه الفراغات. عند هذه النقطة، 𝜃 تساوي ١٣٥ درجة. إذا أضفنا مثلثًا قائم الزاوية وطبقنا حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة، فسنلاحظ أن لدينا نسخة طبق الأصل من المثلث السابق. ونجد أن طول الوتر فيه يساوي وحدة واحدة وبه زاوية محصورة قياسها ٤٥ درجة. هذا يعني أن طولي الضلعين الآخرين لا بد أن يساوي جذر اثنين على اثنين من الوحدات. وفي الصورة الإحداثية، لا بد أن تكون لهذه النقطة الإحداثيات سالب جذر اثنين على اثنين، جذر اثنين على اثنين. إذن، عندما 𝜃 تساوي ١٣٥ درجة، فإن جتا 𝜃 — وهو الإحداثي ﺱ — يساوي سالب جذر اثنين على اثنين، وجا 𝜃 يساوي جذر اثنين على اثنين.

عندما 𝜃 تساوي ٢٢٥ درجة، ستكون لدينا حالة مشابهة. نجد لدينا مثلثًا آخر متساوي الساقين به وتر طوله وحدة واحدة وضلعان آخران، طول كل منهما جذر اثنين على اثنين من الوحدات. هذا يعني أنه عندما 𝜃 تساوي ٢٢٥ درجة، لا بد أن تكون للنقطة الإحداثيات سالب جذر اثنين على اثنين، سالب جذر اثنين على اثنين، وهو ما يعني أن جا 𝜃 وجتا 𝜃 كلاهما يساوي سالب جذر اثنين على اثنين. وأخيرًا، عندما 𝜃 تساوي ٣١٥ درجة، يكون لدينا مثلث آخر متساوي الساقين. هذه المرة، إحداثيات النقطة هي جذر اثنين على اثنين وسالب جذر اثنين على اثنين، وهو ما يعني أنه عندما 𝜃 تساوي ٣١٥ درجة، فإن جا 𝜃 يساوي سالب جذر اثنين على اثنين، و جتا 𝜃 يساوي جذر اثنين على اثنين.

والآن، ينبغي أن يكون قد بات واضحًا تمامًا أننا إذا واصلنا التحرك على طول محيط هذه الدائرة في عكس اتجاه عقارب الساعة، فسنحصل على كل هذه النقاط مرة أخرى. إذن، عندما 𝜃 تساوي ٤٠٥ درجات، فإن قيمتي جا 𝜃 وجتا 𝜃 تكون مساويتين لقيمتيهما عند 𝜃 تساوي ٤٥ درجة وهكذا، وهذا يؤدي بنا إلى تعريف. يمكننا القول إن جا 𝜃 وجتا 𝜃 من الدوال الدورية؛ أي إنهما تتكرران. فهما تتكرران كل ٣٦٠ درجة. إذن، نقول إن طول دورتهما يساوي ٣٦٠ درجة. لنرسم التمثيلات البيانية. لقد رأينا أن كلا المنحنيين يتذبذبان؛ أي إنهما يتحركان بين القيمتين واحد وسالب واحد. هاتان هما قيمتاهما العظمى والصغرى.

إذن، سنبدأ بالمنحنى جا 𝜃، أو في هذه الحالة، ﺹ يساوي جا ﺱ. فهو يمر بنقطة الأصل؛ أي عندما 𝜃 تساوي صفرًا، فإن جا 𝜃 يساوي صفرًا. إذن، عندما ﺱ يساوي صفرًا، فإن جا ﺱ يساوي صفرًا. ثم عندما ﺱ يساوي ٤٥، يكون لدينا جا ﺱ يساوي جذر اثنين على اثنين. وهو تقريبًا هنا. وعندما ﺱ يساوي ٩٠، فإن جا ﺱ يساوي واحدًا. بعد ذلك، عندما ﺱ يساوي ١٣٥، فإن جا ﺱ يساوي جذر اثنين على اثنين. وعندما ﺱ يساوي ١٨٠، فإن جا ﺱ يساوي صفرًا. يمكننا المتابعة بهذه الطريقة. هيا نربط بين هذه النقاط بمنحنى أملس. وعندئذ، نجد أن المنحنى ﺹ يساوي جا ﺱ بين القيمتين صفر و٣٦٠ يبدو تقريبًا على هذا النحو. وقد قلنا بالطبع إن هذين المنحنيين دوريان. فهما يتكرران؛ ومن ثم يمكننا المتابعة بهذه الطريقة من خلال تكرار هذا المنحنى نفسه كل ٣٦٠ درجة.

وبالمثل، فإن المنحنى ﺹ يساوي جتا ﺱ في الفترة من صفر إلى ٣٦٠ يبدو على هذا النحو. وبما أنه دوري أيضًا، فيمكننا استكمال طرفيه بالطريقة نفسها. إذن، استرجاعًا لبعض خصائص المنحنيين لدينا، نجد أنهما دوريان؛ أي إن طول دورة كل منهما يساوي ٣٦٠ درجة. وكلاهما له قيمة عظمى عند واحد وقيمة صغرى عند سالب واحد. وفي الواقع، كلاهما له تماثل بعض الشيء. فالمنحنى ﺹ يساوي جتا ﺱ له تماثل انعكاسي حول المحور ﺱ يساوي ١٨٠ أو المحور ﺱ يساوي صفرًا. والمنحنى ﺹ يساوي جا ﺱ له تماثل دوراني حول نقطة الأصل. لكن إذا ضيقنا النطاق قليلًا ونظرنا فقط إلى جزء من المنحنى، وليكن مثلًا الفترة من صفر إلى ١٨٠، فسنجد أن المنحنى ﺹ يساوي جا ﺱ له تماثل انعكاسي بسيط حول المحور ﺱ يساوي ٩٠ درجة.

تساعدنا هذه الخصائص على حل المسائل التي تتضمن جتا وجا ﺱ. أما المنحنى ﺹ فيساوي ظا ﺱ، فإنه يختلف قليلًا عن ذلك. فبدلًا من استخدام طريقة دائرة الوحدة، سنرسم جدولًا للقيم باستخدام الآلة الحاسبة. بالنسبة إلى قيم 𝜃 تساوي صفرًا، و٤٥، و٩٠، و١٣٥، وهكذا، فإننا نحصل على جدول القيم التالي. لاحظ أن لدينا قيمة غير معرفة عندما 𝜃 تساوي ٩٠ درجة و𝜃 تساوي ٢٧٠ درجة. وسيستمر حدوث ذلك كل ١٨٠ درجة. لكن ما الذي يحدث هنا؟ حسنًا، نعلم أن ظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور، لكن في الواقع لا يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية عند 𝜃 تساوي ٩٠ درجة. ومن ثم، نقول إنه عندما تقترب 𝜃 من ٩٠ درجة، فإن قيمة ظا 𝜃 تقترب من ∞. ولا يمكننا إيجاد قيمة هذا، ولذا نمثل هذه الحقيقة باستخدام خطوط التقارب الرأسية على التمثيل البياني.

يقترب المنحنى ﺹ يساوي ظا 𝜃 أكثر فأكثر من خطوط التقارب هذه، لكنه لن يمسها أبدًا. وعليه، فإن المنحنى ﺹ يساوي ظا ﺱ يبدو تقريبًا على هذا النحو. مرة أخرى، نجد أن دالة ظا 𝜃 دورية. ولكن هذه المرة، طول الدورة يساوي ١٨٠ درجة. ولها تماثل دوراني حول نقطة الأصل. ولا يمكننا تحديد قيمها العظمى أو قيمها الصغرى؛ لأننا رأينا أنه عند اقتراب 𝜃 من ٩٠ درجة ومن ثم مضاعفات ١٨٠ درجة، تقترب قيمة ظا 𝜃 من ∞.

من المهم جدًا أن نتمكن من تحديد ورسم المنحنيات ﺹ يساوي جا ﺱ وﺹ يساوي جتا ﺱ وﺹ يساوي ظا ﺱ. وعلينا أيضًا أن نتمكن من تحويلها بحيث إنه في حالة المنحنى ﺹ يساوي ﺩ لـ ﺱ، يكون ﺹ يساوي ﺩﺱ زائد ﺃ انتقالًا بالمتجه سالب ﺃ، صفر، بينما يكون ﺹ يساوي ﺩ ﺱ زائد ﺏ انتقالًا بالمتجه صفر، ﺏ. ويكون ﺹ يساوي ﺩﺃ تمددًا أفقيًا بمعامل قياس واحد على ﺃ. ويكون ﺹ يساوي ﺏ في ﺩﺱ تمددًا رأسيًا بمعامل قياس ﺏ. ويكون ﺹ يساوي سالب ﺩﺱ انعكاسًا حول المحور ﺱ، ويكون ﺹ يساوي ﺩ لسالب ﺱ انعكاسًا حول المحور ﺹ.

وأخيرًا، فإننا نقيس أحيانًا الزوايا بالراديان، حيث اثنان 𝜋 راديان يساوي ٣٦٠ درجة، و𝜋 راديان يساوي ١٨٠ وهكذا. ولا داعي للقلق إذا كنت لم تتعرض لهذا من قبل، فهذه مجرد طريقة أخرى للتعبير عن قياس الزاوية. لنلق نظرة على بعض الأسئلة المتعلقة بتمثيل الدوال المثلثية بيانيًا.

عين كل منحنى موضح في التمثيل البياني التالي بالدالة التي يمثلها.

نرى هنا أن لدينا منحنيين متشابهين للغاية. ومن الواضح أن هذين المنحنيين دوريان. فهما يتكرران كل اثنين 𝜋 راديان كما يبدو. تذكر أنهما بذلك يتكرران كل ٣٦٠ درجة. ونلاحظ أن لهما قيمًا عظمى عند واحد وقيمًا صغرى عند سالب واحد، على الترتيب. وفي الواقع، نعلم أنه يمكننا وصف منحنيات دالتي الجيب وجيب التمام بالطريقة نفسها.

يكمن الاختلاف الرئيس بين هذين المنحنيين في نقطة تقاطعهما مع المحور ﺹ. يمر المنحنى ﺹ يساوي جا ﺱ بالمحور ﺹ عند صفر، بينما يمر المنحنى ﺹ يساوي جتا ﺱ به عند واحد. وكما قلنا، بالطبع، يبلغ طول دورة كل منهما ٣٦٠ درجة أو اثنين 𝜋 راديان، والقيم العظمى تقع عند واحد، بينما القيم الصغرى تقع عند سالب واحد. هذا يعني أن المنحنى الأحمر الذي يقطع المحور ﺹ عند واحد يمثل حتمًا منحنى دالة جيب التمام، في حين أن المنحنى الأزرق يمثل حتمًا منحنى دالة الجيب.

والآن نجد أن هذا يوضح خاصية مهمة للغاية لهاتين الدالتين. لنفترض أن ﺩﺱ تساوي جا ﺱ. نلاحظ إذن أن الدالة ﺩﺱ زائد 𝜋 على اثنين أو الدالة ﺩﺱ زائد ٩٠، التي تمثل انتقالًا بالمتجه سالب ٩٠، صفر، تحول منحنى دالة الجيب إلى منحنى دالة جيب التمام. وبالطبع، العكس صحيح أيضًا. وبذلك، نجد أن ثمة علاقة بين منحنيات دالتي الجيب وجيب التمام عن طريق الانتقال الأفقي. والآن، لنلق نظرة على التمدد.

أوجد القيمة العظمى للدالة ﺩ𝜃 تساوي ١١ جا 𝜃.

أولًا، سنتذكر كيف يبدو منحنى ﺩ𝜃 تساوي جا 𝜃. فله قيم عظمى وقيم صغرى عند واحد وسالب واحد، على الترتيب. ونعلم أيضًا أنه يمر بنقطة الأصل، وأنه دوري ودورته التكرارية كل ٣٦٠ درجة. إذن، منحنى ﺩ𝜃 تساوي جا 𝜃 يبدو على هذا النحو تقريبًا. لكن بالطبع ما يعنينا حقًا هو منحنى الدالة ﺩ𝜃 تساوي ١١ جا 𝜃.

نتذكر إذن أنه في حالة دالة ﺹ تساوي ﺩﺱ، فإن ﺹ تساوي ﺃ في ﺩﺱ تمثل تمددًا رأسيًا بمعامل قياس ﺃ. وفي هذا المثال، نلاحظ أن معامل القياس هو ١١. وعليه، فإن منحنى ﺩ𝜃 تساوي ١١ جا 𝜃 يبدو على هذا النحو. فهو ما يزال يقطع المحورين ﺱ وﺹ في المواضع نفسها، لكنه تمتد الآن لأعلى إلى ١١ ولأسفل إلى سالب ١١. إذن، القيمة العظمى للدالة ﺩ𝜃 تساوي ١١ جا 𝜃 هي ١١.

لنلق نظرة الآن على الانعكاس.

أي مما يلي تمثيل ﺹ يساوي سالب ظا ﺱ البياني؟

لنبدأ بتذكر كيف يبدو منحنى ﺹ يساوي ظا ﺱ. إنه دوري، ودورته التكرارية كل ١٨٠ درجة. وهو يمر بنقطة الأصل، وهي النقطة صفر، صفر. وله خط تقارب رأسي عندما ﺱ يساوي ٩٠ درجة، وأيضًا عند كل ١٨٠ درجة على أي من الجهتين، بعبارة أخرى، عندما ﺱ يساوي سالب ٩٠، وعندما ﺱ يساوي ٢٧٠، وهكذا. في الواقع، هذا هو التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ظا ﺱ. إنه الخيار (أ).

لاحظ أن المنحنى يقترب من خطوط التقارب ولكن لا يمسها أبدًا. لكن بالطبع ما يعنينا هو التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي سالب ظا ﺱ. لذلك، نتذكر أنه عندما تكون دالة ﺹ تساوي ﺩﺱ، فإن ﺹ تساوي سالب ﺩﺱ هي انعكاس حول المحور ﺱ. وهكذا نجد أن التمثيل البياني الوحيد الذي يطابق هذا هو (د). إذن، (د) هو التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي سالب ظا ﺱ.

وعليه، فقد تعلمنا في هذا الفيديو كيف تبدو التمثيلات البيانية لـ ﺹ يساوي جا ﺱ، وﺹ يساوي جتا ﺱ، وﺹ يساوي ظا ﺱ. ورأينا أن التمثيلين البيانيين لـ ﺹ يساوي جا ﺱ وﺹ يساوي جتا ﺱ دوريان؛ أي إن دورتهما التكرارية كل منهما ٣٦٠ درجة، بينما الدورة التكرارية للتمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ظا ﺱ كل ١٨٠ درجة. وأخيرًا، عرفنا أن ﺹ يساوي جا ﺱ وجتا ﺱ لهما قيم عظمى وقيم صغرى عند واحد وسالب واحد، على الترتيب، بينما يكون للتمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ظا ﺱ خطوط تقارب عندما ﺱ يساوي ٩٠ درجة ومن ثم مضاعفات ١٨٠ درجة.