فيديو السؤال: استخدام متطابقات ضعف الزاوية لإيجاد قيم التعبيرات المتضمنة دوال مثلثية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة واحد ناقص ظا تربيع سبعة ‏𝜋‏‎ على ثمانية مقسومًا على واحد زائد ظا تربيع سبعة ‏𝜋‏‎ على ثمانية، دون استخدام الآلة الحاسبة.

حسنًا، عندما نبدأ إيجاد قيمة التعبير، أول ما يمكننا ملاحظته هو أن سعتي دالة الظل هما سبعة ‏𝜋‏‎ على ثمانية. للاختصار قليلًا للمضي قدمًا، دعونا نعبر عن هذا الكسر بـ 𝛼. هذا يعني أن التعبير يمكن كتابته على صورة واحد ناقص ظا تربيع 𝛼 مقسومًا على واحد زائد ظا تربيع 𝛼.

عند هذه النقطة، يمكننا أن نتذكر أن ظل الزاوية المعطاة يساوي جيب هذه الزاوية مقسومًا على جيب تمام هذه الزاوية. وهذا يعني أنه بتربيع الطرفين، فإن ظا تربيع ﺱ يساوي جا تربيع ﺱ على جتا تربيع ﺱ. في التعبير الذي نريد إيجاده، يمكننا التعويض عن ظا تربيع 𝛼 بـ جا تربيع 𝛼 على جتا تربيع 𝛼. بعد ذلك يمكننا ضرب كل من بسط هذا الكسر ومقامه في جتا تربيع 𝛼. وهذا يعطينا هذه النتيجة. وعندئذ يمكننا تبسيط كل من بسط هذا الكسر ومقامه باستخدام المتطابقات.

بالنسبة إلى المقام، تشير متطابقة فيثاغورس إلى أن مربع جيب زاوية زائد مربع جيب تمام الزاوية نفسها يساوي واحدًا. وهذا يعني أن المقام بأكمله يساوي واحدًا. وبالنسبة إلى البسط، يمكننا تذكر إحدى متطابقات ضعف الزاوية لدالة جيب التمام. وهي تنص على أنه إذا كان لدينا مربع جيب تمام زاوية ناقص مربع جيب الزاوية نفسها، فإنه يساوي جتا اثنين في هذه الزاوية. نبسط هذا الكسر الذي نريد إيجاده بالكامل إلى جتا اثنين 𝛼 على واحد أو ببساطة جتا اثنين 𝛼.

ما توصلنا إليه إذن هو أن التعبير الأصلي يساوي جتا اثنين 𝛼، حيث 𝛼 يساوي سبعة ‏𝜋‏‎ على ثمانية. إذن اثنان في 𝛼 يساوي سبعة ‏𝜋‏‎ على أربعة. نريد إيجاد قيمة هذا التعبير دون استخدام الآلة الحاسبة. وللقيام بذلك، يمكننا الرجوع إلى دائرة الوحدة. في هذه الدائرة، ستبدو الزاوية سبعة ‏𝜋‏‎ على أربعة بهذا الشكل، بينما تكون الزاوية المكملة لدورة واحدة كاملة، إن جاز التعبير، هي ‏𝜋‏‎ على أربعة.

إلى جانب ذلك، يمكننا تذكر أنه في الربعين الأول والرابع من هذه الدائرة، تكون دالة جيب التمام موجبة. تعني هذه الحقيقة، جنبًا إلى جنب مع حقيقة أن الزاوية سبعة ‏𝜋‏‎ على أربعة تنصف هذا الربع الرابع بالضبط، أنه يمكننا حساب جتا ‏𝜋‏‎ على أربعة بشكل مكافئ. وسنحصل على الإجابة نفسها. ‏‏𝜋‏‎ على أربعة راديان يساوي ٤٥ درجة. وجيب تمام هذه الزاوية يساوي واحدًا على الجذر التربيعي لاثنين بالضبط. هذه هي الإجابة النهائية. لكن لاحظ أنه يمكننا القول إن هذا يساوي الجذر التربيعي لاثنين على اثنين.