فيديو السؤال: تحليل الكسور الجزئية

نسخة الفيديو النصية

أوجد ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏؛ بحيث يكون أربعة ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين على ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة في ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين يساوي ‪𝐴‬‏ على ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة زائد ‪𝐵‬‏ على ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين.

لدينا هذه المعادلة التي نريد تحقيقها لكل قيم ‪𝑥‬‏، وعلينا إيجاد قيمة ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ لتحقيق ذلك. لنتخلص من كل قيم هذه الكسور عن طريق الضرب في ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة في ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين.

إذن في الطرف الأيسر، يصبح لدينا أربعة ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين، وفي الطرف الأيمن، يصبح لدينا ‪𝐴‬‏ في ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة في ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين على ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة زائد ‪𝐵‬‏ في ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة في ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين على ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين. نلاحظ أن هناك بعض عمليات الحذف التي ستتم.

نحذف العامل ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة في بسط الكسر الأول مع ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة في مقامه، والشيء نفسه في الكسر الثاني؛ حيث نحذف العامل ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين في البسط مع ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين في المقام. بترتيب المعادلة قليلًا، يظل لدينا أربعة ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين في الطرف الأيسر من المعادلة، ويصبح لدينا ‪𝐴‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين زائد ‪𝐵‬‏ في ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة في الطرف الأيمن من المعادلة، ويمكننا فك هذه الأقواس ليصبح لدينا ‪𝐴𝑥‬‏ ناقص اثنين ‪𝐴‬‏ زائد ‪𝐵𝑥‬‏ زائد ثلاثة ‪𝐵‬‏، ثم نجمع الحدود المتشابهة لنحصل على ‪𝐴‬‏ زائد ‪𝐵‬‏ في ‪𝑥‬‏ زائد سالب اثنين ‪𝐴‬‏ زائد ثلاثة ‪𝐵‬‏.

السبب في تجميعنا للحدود المتشابهة في الطرف الأيمن من المعادلة، هو تمكيننا من مقارنة المعاملات. في الطرف الأيسر من المعادلة، معامل ‪𝑥‬‏ هو أربعة، وفي الطرف الأيمن من المعادلة، معامل ‪𝑥‬‏ هو ‪𝐴‬‏ زائد ‪𝐵‬‏، ولا بد أن هذين المعاملين متساويان؛ لذا لا بد أن أربعة يساوي ‪𝐴‬‏ زائد ‪𝐵‬‏.

لسبب مشابه، لا بد أن الحد الثابت على اليسار؛ سالب اثنين، يساوي الحد الثابت على اليمين؛ سالب اثنين ‪𝐴‬‏ زائد ثلاثة ‪𝐵‬‏. الآن وقد قمنا بكل هذه العمليات الجبرية، يتبقى لدينا معادلتان خطيتان في المتغيرين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏. ولإتمام حل المسألة، علينا حل هاتين المعادلتين آنيًا لإيجاد قيمتي ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏.

هناك عدة طرق لحل المعادلات الآنية. يمكننا إعادة ترتيب المعادلة الأولى لإيجاد قيمة ‪𝐵‬‏ بدلالة ‪𝐴‬‏، ثم نعوض بهذه القيمة في المعادلة الثانية، لنحصل على معادلة في المتغير ‪𝐴‬‏ وحده، يمكننا حلها بالطريقة العادية، وهي فك القوس وتجميع الحدود المتشابهة وإعادة الترتيب، لنحصل على ‪𝐴‬‏ يساوي ‪14‬‏ على خمسة.

بما أن لدينا الآن قيمة ‪𝐴‬‏، يمكننا التعويض بها في المقدار المعبر عن ‪𝐵‬‏ بدلالة ‪𝐴‬‏، لنحصل على ‪𝐵‬‏ يساوي أربعة ناقص ‪14‬‏ على خمسة، أي ستة على خمسة. هناك بالطبع طرق أخرى لحل هاتين المعادلتين الآنيتين، مثل الحذف أو استخدام المصفوفة، لكن كلها ستعطي النتيجة نفسها، وهي أن ‪𝐴‬‏ يساوي ‪14‬‏ على خمسة و‪𝐵‬‏ يساوي ستة على خمسة.

في حالة هذه المعادلة، فهذا يعني أنه لجميع قيم ‪𝑥‬‏، فإن أربعة ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين على ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة في ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين يساوي ‪14‬‏ على خمسة على ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة زائد ستة على خمسة على ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين.