فيديو: إيجاد قيمة التكامل الخطي لحقل اتجاهي على منحنى دائرة بمعلومية معادلتها البارامترية

احسب ∫(_ﻡ) المتجه د ⋅ ﺀ المتجه ﺭ للحقل الاتجاهي المتجه د(ﺱ، ﺹ)، والمنحنى ﻡ؛ حيث المتجه د(ﺱ، ﺹ) = ﺹ المتجه ﺱ − ﺱ المتجه ﺹ؛ ﻡ: ﺱ = جتا ﻥ، ﺹ = جا ﻥ، ٠ ≤ ﻥ ≤ ٢ 𝜋.

٠٤:٠٠

‏نسخة الفيديو النصية

احسب تكامل الحقل الاتجاهي د، في اتجاه المسار د ر، على المنحنى م، للحقل الاتجاهي د متغير في الـ س والـ ص والمنحنى م؛ حيث الـ د في الـ س والـ ص بتساوي ص في اتجاه السينات ناقص س في اتجاه الصادات. والـ م اللي هو المنحنى اللي هيبقى المسار س بتساوي جتا ن، وَ ص تساوي جا ن؛ حيث الـ ن أكبر من أو تساوي الصفر، وأصغر من أو تساوي اتنين 𝜋.

د ر اللي هو تفاضل المسار، بيساوي د س في اتجاه السينات، زائد د ص في اتجاه الصادات. يبقى هنفاضل الـ س دي وهنفاضل الـ ص دي بالنسبة للـ ن؛ علشان نوجد الـ د ر. يبقى الـ د ر هيساوي تفاضل الـ س بالنسبة للـ ن، اللي هو جتا ن، هيبقى سالب جا ن د ن في اتجاه السينات. زائد الـ د ص هيبقى تفاضلها اللي هو الـ جا ن نفاضلها هتبقى جتا ن في الـ د ن في اتجاه الصادات.

كده أوجدنا الـ د ر. ومعطى الـ د. بس هنعوّض فيها بالمعادلات البارامترية المُعطاة. يبقى الـ د لمّا هتكون في المتغير ن، هتساوي … الـ ص هنعوّض مكانها بالـ جا ن في اتجاه الـ ص. ناقص … الـ س عبارة عن جتا ن في اتجاه الـ ص. يبقى دي الـ د ر، وهنا الحقل الاتجاهي في المتغير ن. يبقى التكامل على المسار. المسار فيه الـ ن أكبر من أو يساوي صفر، وأصغر من أو يساوي اتنين 𝜋. يبقى هنكامل من صفر لاتنين 𝜋. وهنعوض مكان الـ د ن بـ جا ن في اتجاه السينات، ناقص جتا ن في اتجاه الصادات. وهنضربها في الـ د ر، اللي هو سالب جا ن د ن في اتجاه السينات، زائد جتا ن د ن في اتجاه الصادات.

اللي في اتجاه السينات هنضربهم في بعض. يبقى التكامل هيساوي من صفر لـ اتنين 𝜋 بالنسبة للـ ن. هنضرب الضرب القياسي، يبقى جا ن في سالب جا ن سالب جا تربيع ن. ده اللي في اتجاه السينات. سالب جتا ن في الـ جتا ن اللي في اتجاه الصادات، هيبقى سالب جتا تربيع ن. سالب جا تربيع ن وسالب جتا تربيع ن من المتطابقات المثلثية. جا تربيع ن زائد جتا تربيع ن بتساوي واحد. لو ضربنا في السالب، يبقى سالب جا تربيع ن ناقص جتا تربيع ن، هيساوي سالب واحد.

يبقى نقدر نعوّض عن القيمة دي بسالب واحد. يبقى تكامل سالب د ن من صفر لاتنين 𝜋، هنكامل السالب واحد، هيبقى سالب ن. وهنعوض من الصفر للاتنين 𝜋. يبقى هيساوي سالب اتنين 𝜋، ناقص … لمّا هنعوّض بالصفر، يساوي سالب اتنين 𝜋. ويبقى هي دي قيمة التكامل المطلوبة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.