تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: إيجاد قيمة التكامل الخطي لحقل اتجاهي على منحنى دائرة بمعلومية معادلتها البارامترية

سوزان فائق

احسب ∫(_ﻡ) المتجه د ⋅ ﺀ المتجه ﺭ للحقل الاتجاهي المتجه د(ﺱ، ﺹ)، والمنحنى ﻡ؛ حيث المتجه د(ﺱ، ﺹ) = ﺹ المتجه ﺱ − ﺱ المتجه ﺹ؛ ﻡ: ﺱ = جتا ﻥ، ﺹ = جا ﻥ، ٠ ≤ ﻥ ≤ ٢ 𝜋.

٠٤:٠١

‏نسخة الفيديو النصية

احسب تكامل الحقل الاتجاهي د، في اتجاه المسار د ر، على المنحنى م، للحقل الاتجاهي د متغير في الـ س والـ ص والمنحنى م؛ حيث الـ د في الـ س والـ ص بتساوي ص في اتجاه السينات ناقص س في اتجاه الصادات. والـ م اللي هو المنحنى اللي هيبقى المسار س بتساوي جتا ن، وَ ص تساوي جا ن؛ حيث الـ ن أكبر من أو تساوي الصفر، وأصغر من أو تساوي اتنين 𝜋.

د ر اللي هو تفاضل المسار، بيساوي د س في اتجاه السينات، زائد د ص في اتجاه الصادات. يبقى هنفاضل الـ س دي وهنفاضل الـ ص دي بالنسبة للـ ن؛ علشان نوجد الـ د ر. يبقى الـ د ر هيساوي تفاضل الـ س بالنسبة للـ ن، اللي هو جتا ن، هيبقى سالب جا ن د ن في اتجاه السينات. زائد الـ د ص هيبقى تفاضلها اللي هو الـ جا ن نفاضلها هتبقى جتا ن في الـ د ن في اتجاه الصادات.

كده أوجدنا الـ د ر. ومعطى الـ د. بس هنعوّض فيها بالمعادلات البارامترية المُعطاة. يبقى الـ د لمّا هتكون في المتغير ن، هتساوي … الـ ص هنعوّض مكانها بالـ جا ن في اتجاه الـ ص. ناقص … الـ س عبارة عن جتا ن في اتجاه الـ ص. يبقى دي الـ د ر، وهنا الحقل الاتجاهي في المتغير ن. يبقى التكامل على المسار. المسار فيه الـ ن أكبر من أو يساوي صفر، وأصغر من أو يساوي اتنين 𝜋. يبقى هنكامل من صفر لاتنين 𝜋. وهنعوض مكان الـ د ن بـ جا ن في اتجاه السينات، ناقص جتا ن في اتجاه الصادات. وهنضربها في الـ د ر، اللي هو سالب جا ن د ن في اتجاه السينات، زائد جتا ن د ن في اتجاه الصادات.

اللي في اتجاه السينات هنضربهم في بعض. يبقى التكامل هيساوي من صفر لـ اتنين 𝜋 بالنسبة للـ ن. هنضرب الضرب القياسي، يبقى جا ن في سالب جا ن سالب جا تربيع ن. ده اللي في اتجاه السينات. سالب جتا ن في الـ جتا ن اللي في اتجاه الصادات، هيبقى سالب جتا تربيع ن. سالب جا تربيع ن وسالب جتا تربيع ن من المتطابقات المثلثية. جا تربيع ن زائد جتا تربيع ن بتساوي واحد. لو ضربنا في السالب، يبقى سالب جا تربيع ن ناقص جتا تربيع ن، هيساوي سالب واحد.

يبقى نقدر نعوّض عن القيمة دي بسالب واحد. يبقى تكامل سالب د ن من صفر لاتنين 𝜋، هنكامل السالب واحد، هيبقى سالب ن. وهنعوض من الصفر للاتنين 𝜋. يبقى هيساوي سالب اتنين 𝜋، ناقص … لمّا هنعوّض بالصفر، يساوي سالب اتنين 𝜋. ويبقى هي دي قيمة التكامل المطلوبة.