نسخة الفيديو النصية
أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد للجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد ١٨ﺱ ناقص ١٩ مقسومًا على ﺱ تربيع ناقص ﺱ.
المطلوب منا هو إيجاد نهاية الجذر التربيعي لدالة كسرية. لذا، نحن لا نعرف إن كان يمكننا استخدام التعويض المباشر في هذه الحالة أو لا. لكن، يمكننا تحويل هذه النهاية إلى نهاية دالة كسرية باستخدام قاعدة القوة للنهايات. تنص هذه القاعدة على أنه لثابت ﻥ، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩﺱ أس ﻥ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩﺱ الكل مرفوع للقوة ﻥ.
وبما أن أخذ الجذر التربيعي لدالة يكافئ رفع هذه الدالة لأس نصف، يمكننا استخدام قاعدة القوة للنهايات لإعادة كتابة نهاية الجذر التربيعي للدالة الكسرية على صورة الجذر التربيعي لنهاية الدالة الكسرية. إذن، نحن، الآن، نحاول إيجاد نهاية دالة كسرية. لذا، يمكننا محاولة استخدام التعويض المباشر. بمحاولة استخدام التعويض المباشر، نحصل على الجذر التربيعي لواحد تربيع زائد ١٨ في واحد ناقص ١٩ مقسومًا على واحد تربيع ناقص واحد. وبحساب ذلك يصبح لدينا الجذر التربيعي لصفر مقسومًا على صفر، وهي صيغة غير معينة. ومن ثم، لم تساعدنا طريقة التعويض المباشر هذه في إيجاد الحل.
لكن عندما عوضنا بـ ﺱ يساوي واحدًا في المقام، حصلنا على صفر. وعندما عوضنا بـ ﺱ يساوي واحدًا في البسط، حصلنا أيضًا على صفر. إذن، باستخدام نظرية العوامل، نجد أن ﺱ ناقص واحد هو أحد عوامل البسط والمقام. لذا، لنمسح محاولتنا لاستخدام التعويض المباشر، ونعد كتابة الدالة الكسرية باستخدام نظرية العوامل.
نريد أن نأخذ العامل ﺱ ناقص واحد من هذا المقدار التربيعي في البسط، ومن المقدار التربيعي في المقام. نجد في البسط، أن الحد ذا القوة الأعلى هو ﺱ تربيع فقط. لذا، نريد ﺱ مضروبًا في ﺱ لنحصل على ﺱ تربيع. والحد الثابت في البسط يساوي سالب ١٩. إذن نريد سالب واحد مضروبًا في موجب ١٩ لنحصل على سالب ١٩. يمكننا فعل الأمر نفسه مع المقام. لدينا حد رئيسي هو ﺱ تربيع. لذا نحتاج إلى ﺱ مضروبًا في ﺱ لنحصل على ﺱ تربيع. ونلاحظ أن ﺱ ناقص واحد مضروبًا في ﺱ يساوي ﺱ تربيع ناقص ﺱ بالفعل. لقد انتهينا من التحليل.
والآن، سنحذف العامل المشترك ﺱ ناقص واحد في كل من البسط والمقام. وهذا يعطينا الجذر التربيعي للنهاية عندما يقترب ﺱ من واحد لـ ﺱ زائد ١٩ مقسومًا على ﺱ. وتجدر الإشارة إلى أن هذا الناتج صحيح لأن الدالة ﺱ ناقص واحد في ﺱ زائد ١٩ مقسومًا على ﺱ ناقص واحد في ﺱ تساوي بالضبط الدالة ﺱ زائد ١٩ الكل مقسوم على ﺱ، وذلك لأي قيمة لـ ﺱ باستثناء ﺱ يساوي واحدًا.
وعندما نحسب نهاية دالة، ما يعنينا فقط هو ما يحدث عند النهاية عندما يقترب ﺱ من هذه القيمة. لذا، لسنا قلقين للغاية لوجود قيمتين مخرجتين مختلفتين لهاتين الدالتين عند ﺱ يساوي واحدًا. نحاول الآن حساب نهاية دالة كسرية. يمكننا فعل ذلك باستخدام التعويض المباشر.
نتذكر أنه في حالة الدالة الكسرية ﺩﺱ حيث قيمة المقام عند التعويض بـ ﺃ لا تساوي صفرًا، يمكننا إيجاد نهاية ﺩﺱ باستخدام التعويض المباشر. وهذا يعطينا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩﺱ تساوي قيمة الدالة ﺩ عند ﺃ. إذن بالتعويض المباشر، نجد أن النهاية تساوي الجذر التربيعي لواحد زائد ١٩ على واحد، وهو ما يمكن تبسيطه لنحصل على الجذر التربيعي لـ ٢٠، وهو ما يساوي اثنين جذر خمسة. وهكذا نكون قد أثبتنا أن قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد للجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد ١٨ﺱ ناقص ١٩ على ﺱ تربيع ناقص ﺱ تساوي اثنين جذر خمسة.
