فيديو الدرس: التكامل غير المحدد: الدوال المثلثية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد التكامل غير المحدد الناتجة عنه الدوال المثلثية. سنبدأ بتذكر المقصود بالمشتقة العكسية قبل معرفة كيف يساعدنا ذلك في تكامل عدد من الدوال المثلثية.

هيا نبدأ بتذكر ما المشتقة العكسية لأي دالة. ‏ﻕ هي المشتقة العكسية للدالة ﺩ، إذا كانت ﻕ شرطة ﺱ تساوي ﺩﺱ. وذلك حيث تكون ﻕ شرطة ﺱ هي المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لـ ﻕﺱ. في الواقع، يمكننا القول إن هذا ينطبق على أي دالة ﺭﺱ، حيث ﺭﺱ تساوي ﻕﺱ زائد ﺙ، لأي ثابت ﺙ. وهذا مفيد جدًّا لأننا سنستخدمه لتعريف التكامل غير المحدد.

يمكننا القول إن التكامل غير المحدد للدالة ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﻕﺱ زائد ﺙ؛ حيث ﻕ هي المشتقة العكسية للدالة ﺩ. ومن المهم جدًّا أن نتذكر ثابت التكامل ﺙ عند إجراء تكامل غير محدد. ولاحظ أنه يسمى تكاملًا غير محدد لأنه لا يوجد حدان محددان للتكامل. هذا يعني أننا لا نجري التكامل على فترة محددة لقيم ﺱ كما في التكامل المحدد. وهذا خارج نطاق هذا الفيديو قليلًا؛ لأنه يتعرض للنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

ومع ذلك، يمكننا أن نلاحظ السبب في أن الثابت ﺙ ضروري إذا أجرينا العملية العكسية على معادلة التكامل غير المحدد. وذلك يكافئ الاشتقاق بالنسبة إلى ﺱ. وبما أننا نجري ببساطة العملية العكسية في الطرف الأيمن، فإن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لتكامل الدالة ﺩﺱ تساوي ببساطة ﺩﺱ. وفي الطرف الأيسر، عند اشتقاق ﻕﺱ بالنسبة إلى ﺱ، نحصل ببساطة على ﻕ شرطة ﺱ. والثابت ﺙ سيختفي لأن اشتقاق ثابت يعطينا صفرًا. والآن عندما نعود في الاتجاه العكسي ونجري التكامل، فإن الثابت سيظهر مرة أخرى. لكن بما أننا لا نعرف قيمة هذا الثابت، فإننا ببساطة نسميه ﺙ. فهو مجرد ثابت مجهول.

يمكننا استخدام فكرة أن التكامل مشتقة عكسية جنبًا إلى جنب مع معرفتنا بمشتقات الدوال المثلثية المختلفة لإيجاد بعض التكاملات. لذا دعونا نبدأ بالنظر إلى الدالة ﺩﺱ تساوي جا ﺃﺱ، حيث ﺃ ثابت حقيقي، ولكي تكون هذه الصورة للدالة صحيحة يجب أن يكون ﺱ مقيسًا الراديان. ونريد إيجاد التكامل غير المحدد لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. نتذكر أن مشتقة جتا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب ﺃ في جا ﺃﺱ. يمكننا إذن القول إن التكامل غير المحدد لسالب ﺃ جا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يجب أن يساوي جتا ﺃﺱ. لا تنس أنه بما أننا نتعامل مع تكامل غير محدد، فإن علينا إضافة ثابت التكامل، وهو ما سنسميه ﺙ.

حسنًا، هذه بداية جيدة. لكننا في الواقع نريد إيجاد التكامل غير المحدد لـ جا ﺃﺱ، وليس لسالب ﺃ في جا ﺃﺱ. ومع ذلك، يمكننا أن نخرج الثابت، سالب ﺃ، خارج علامة التكامل. وبذلك نجد أن سالب ﺃ في التكامل غير المحدد لـ جا ﺃﺱ يساوي جتا ﺃﺱ زائد الثابت ﺙ. وبما أن سالب ﺃ عدد ثابت، يمكننا قسمة كلا الطرفين على سالب ﺃ. وبذلك نحصل على التكامل غير المحدد لـ جا ﺃﺱ يساوي سالب واحد على ﺃ في جتا ﺃﺱ زائد ﺙ. ولاحظ أننا استبدلنا حرف ﺙ بحرف ﺙ واحد لأننا قسمنا الثابت الأصلي على ثابت آخر، وهو سالب ﺃ، وعلينا تمثيل هذا التغير في القيمة.

بتدوين الناتج الأول للتكامل غير المحدد لـ جا ﺃﺱ، يمكننا تكرار هذه العملية للدالة ﺩﺱ تساوي جتا ﺃﺱ، حيث ﺃ مرة أخرى هو ثابت حقيقي وﺱ مقيس بالراديان. سنستخدم حقيقة أن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لـ جا ﺃﺱ تساوي ﺃ في جتا ﺃﺱ. ومن ثم، يمكننا القول إن التكامل غير المحدد لـ ﺃ جتا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي جا ﺃﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. ومجددًا، يمكننا إخراج الثابت ﺃ خارج علامة التكامل، ويظل الطرف الأيسر دون تغيير. وأخيرًا، نقسم كلا الطرفين على ﺃ، ونحصل على التكامل غير المحدد لـ جتا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي واحدًا على ﺃ في جا ﺃﺱ زائد ثابت التكامل الجديد ﺙ واحد.

لعلك تتذكر الآن أن عملية اشتقاق دوال الجيب وجيب التمام تشكل دورة. وهذا يعني أن مشتقة جا ﺱ تساوي جتا ﺱ، حيث الثابت ﺃ هنا يساوي واحدًا. بالاشتقاق مرة أخرى نحصل على سالب جا ﺱ. وعند الاشتقاق مرة أخرى، نحصل على سالب جتا ﺱ. وعند الاشتقاق مرة أخرى، نعود إلى الدالة الأصلية، جا ﺱ. نعكس هذه الدورة كما هو موضح عند إجراء عملية التكامل. والآن هيا نتناول بعض الأمثلة التي توضح تكامل دوال الجيب وجيب التمام.

أوجد التكامل غير المحدد لسالب جا ﺱ ناقص تسعة في جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

قبل محاولة إيجاد قيمة ذلك، قد يكون من المفيد تذكر بعض خواص التكامل. أولًا، تكامل مجموع دالتين أو أكثر يساوي مجموع تكاملي هاتين الدالتين. ونعرف أيضًا أنه يمكننا أخذ أي عوامل ثابتة خارج علامة التكامل والتركيز على تكامل التعبير بدلالة ﺱ. هاتان الخاصيتان تعنيان أنه يمكننا إعادة كتابة التكامل على صورة سالب تكامل جا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ ناقص تسعة في تكامل جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

والآن نسترجع النتائج العامة لتكامل دالتي الجيب وجيب التمام. التكامل غير المحدد لـ جا ﺃﺱ يساوي سالب واحد على ﺃ في جتا ﺃﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. وتكامل جتا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي واحدًا على ﺃ في جا ﺃﺱ زائد الثابت ﺙ. إذن، في هذه المسألة، الثابت ﺃ يساوي واحدًا، والتكامل يساوي سالب سالب جتا ﺱ زائد الثابت ﺃ ناقص تسعة في جا ﺱ زائد الثابت ﺏ. وقد اخترنا ﺃ وﺏ لنوضح أنهما ثابتان مختلفان للتكامل.

الآن بتوزيع الأقواس وتجميع الثابتين ﺃ وﺏ في ثابت واحد ﺙ، نحصل على التكامل غير المحدد لسالب جا ﺱ ناقص تسعة جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي جتا ﺱ ناقص تسعة في جا ﺱ زائد الثابت ﺙ.

أوجد التكامل غير المحدد بالنسبة إلى ﺱ لسالب ثمانية في جا ثمانية ﺱ ناقص سبعة في جتا خمسة ﺱ.

في هذا السؤال، نريد إيجاد تكامل مجموع دالتين في المتغير ﺱ. نبدأ بتذكر أن تكامل مجموع دالتين أو أكثر يساوي مجموع تكاملي هاتين الدالتين. ولذا، يمكننا كتابة التكامل على صورة تكامل سالب ثمانية جا ثمانية ﺱ بالنسبة إلى ﺱ زائد تكامل سالب سبعة جتا خمسة ﺱ ﺩﺱ. ونعرف أيضًا أنه يمكننا أخذ أي عوامل ثابتة خارج علامة التكامل والتركيز على تكامل كل تعبير بدلالة ﺱ. وهذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة التكاملين على صورة سالب ثمانية في التكامل بالنسبة إلى ﺱ لـ جا ثمانية ﺱ ناقص سبعة في تكامل جتا خمسة ﺱ ﺩﺱ.

بعد ذلك، نتذكر النتيجتين العامتين لتكاملي جا ﺃﺱ وجتا ﺃﺱ. التكامل غير المحدد بالنسبة إلى ﺱ لـ جا ﺃﺱ يساوي سالب واحد على ﺃ في جتا ﺃﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. والتكامل غير المحدد لـ جتا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي واحدًا على ﺃ جا ﺃﺱ زائد الثابت ﺙ. في هذه الحالة، الثابت ﺃ يساوي ثمانية في التكامل الأول، وخمسة في التكامل الثاني. وبتطبيق هاتين النتيجتين على التكاملين الموجودين لدينا، نجد أن تكامل جا ثمانية ﺱ يساوي سالب واحد على ثمانية جتا ثمانية ﺱ زائد الثابت ﺃ. والتكامل بالنسبة إلى ﺱ لـ جتا خمسة ﺱ يساوي واحدًا على خمسة في جا خمسة ﺱ زائد ﺏ. لاحظ أننا اخترنا ﺃ وﺏ ليكونا ثابتي التكامل، وليس فقط قيمة واحدة ﺙ، لنوضح أنهما في الواقع ثابتان مختلفان.

الخطوة الأخيرة هي توزيع الأقواس. سالب ثمانية في سالب واحد على ثمانية جتا ثمانية ﺱ يساوي ببساطة جتا ثمانية ﺱ. وسالب سبعة في واحد على خمسة جا خمسة ﺱ يساوي سالب سبعة على خمسة جا خمسة ﺱ. وأخيرًا، نضرب سالب ثمانية في ﺃ. ونضرب سالب سبعة في ﺏ. وبما أننا لا نعرف قيمتي ﺃ وﺏ، نختار تمثيل هذا باعتباره ثابتًا واحدًا ﺙ. بذلك نكون قد أوجدنا أن التكامل المطلوب هو جتا ثمانية ﺱ ناقص سبعة على خمسة في جا خمسة ﺱ زائد الثابت ﺙ.

سنتناول الآن بعض المشتقات المختلفة. نتذكر أن مشتقة ظا ﺃﺱ هي ﺃ قا تربيع ﺃﺱ. ربما ترغب الآن في إيقاف هذا الفيديو للحظة للتفكير فيما يخبرنا به هذا عن تكامل قا تربيع ﺃﺱ. حسنًا، هيا نلق نظرة. نتذكر أنه يمكن اعتبار أن التكامل هو المشتقة العكسية. هذا يعني أن عملية التكامل هي العملية العكسية للاشتقاق. ويمكننا ملاحظة أن التكامل غير المحدد لـ ﺃ قا تربيع ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يجب أن يساوي ظا ﺃﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. نأخذ العامل الثابت ﺃ خارج علامة التكامل. ثم نقسم كلا الطرفين على ﺃ. بعد ذلك يمكننا أن نلاحظ أن تكامل قا تربيع ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي واحدًا على ﺃ ظا ﺃﺱ زائد ﺙ واحد.

وباستخدام الطريقة نفسها تقريبًا، نحصل على التكاملات الآتية المتعلقة بمشتقات مقلوبات الدوال المثلثية. تكامل قتا ﺃﺱ ظتا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب واحد على ﺃ في قتا ﺃﺱ زائد ﺙ. تكامل قا ﺃﺱ ظا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي واحدًا على ﺃ قا ﺃﺱ زائد ﺙ. وتكامل قتا تربيع ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب واحد على ﺃ في ظتا ﺃﺱ زائد ﺙ. وسنلقي نظرة الآن على بعض الأمثلة على هذه النتائج وكم مرة نستخدم المتطابقات المثلثية لمساعدتنا على إيجاد هذه التكاملات.

أوجد التكامل غير المحدد لسالب قا تربيع ستة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

للإجابة عن هذا السؤال، يكاد يكون كافيًا أن ننقل النتيجة العامة لتكامل قا تربيع ﺃﺱ، حيث الثابت ﺃ في هذه الحالة يساوي ستة. توضح لنا النتيجة أن تكامل قا تربيع ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي واحدًا على ﺃ في ظا ﺃﺱ زائد الثابت ﺙ. لكن من المنطقي قبل استخدام هذه النتيجة أن نخرج العامل سالب واحد خارج علامة التكامل كما هو موضح. إذن، عند إجراء التكامل، نحصل على الحل وهو سالب واحد في سدس ظا ستة ﺱ زائد ﺙ، مع تذكر أن الثابت ﺃ في هذه الحالة يساوي ستة.

والآن لم يتبق سوى توزيع القوسين. سالب واحد في سدس ظا ستة ﺱ يساوي سالب سدس ظا ستة ﺱ. وسالب واحد في الثابت ﺙ يعطينا هذا الثابت الجديد ﺙ واحد. وبذلك، نجد أن التكامل غير المحدد يساوي سالب سدس ظا ستة ﺱ زائد ﺙ واحد.

أوجد التكامل غير المحدد لاثنين جتا تكعيب ثلاثة ﺱ زائد واحد على تسعة جتا تربيع ثلاثة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

حسنًا، للوهلة الأولى، يبدو هذا التكامل معقدًا. لكن ينبغي علينا ملاحظة أنه يمكننا في الواقع تبسيط الكسر. كيفية فعل ذلك هي بالأساس عكس العملية التي نتبعها عند جمع كسرين. ونجد أنه يمكننا كتابة الكسر على صورة اثنين جتا تكعيب ثلاثة ﺱ على تسعة جتا تربيع ثلاثة ﺱ زائد واحد على تسعة جتا تربيع ثلاثة ﺱ. بقسمة بسط ومقام الكسر الأول على جتا تربيع ثلاثة ﺱ، يبسط الحد الأول إلى اثنين على تسعة جتا ثلاثة ﺱ. وبعد ذلك لمساعدتنا في تحديد ما يمكننا فعله في الخطوة التالية، دعونا نعد كتابة الكسر الثاني على صورة تسع في واحد على جتا تربيع ثلاثة ﺱ.

بعد ذلك، نتذكر أن تكامل مجموع دالتين أو أكثر هو مجموع تكامليهما. ونعرف أيضًا أنه يمكننا أخذ أي عوامل ثابتة خارج علامة التكامل والتركيز على تكامل التعبير بدلالة ﺱ. وبتطبيق هاتين الخاصيتين نحصل على اثنين على تسعة في تكامل جتا ثلاثة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ زائد واحد على تسعة في تكامل واحد على جتا تربيع ثلاثة ﺱ مرة أخرى بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا أن نكتب نتيجة تكامل جتا ﺃﺱ. إنها واحد على ﺃ في جا ﺃﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. وهذا يعني أن تكامل جتا ثلاثة ﺱ يساوي ثلث جا ثلاثة ﺱ زائد ثابت التكامل، الذي سنسميه ﺃ.

لكن ماذا نفعل مع التكامل الثاني؟ حسنًا، نعلم أن المتطابقة المثلثية واحد على جتا ﺱ تساوي قا ﺱ. ومن ثم نلاحظ أنه يمكننا إعادة كتابة واحد على جتا تربيع ثلاثة ﺱ على صورة قا تربيع ثلاثة ﺱ. ومن ثم، يمكننا الآن استخدام النتيجة العامة لتكامل قا تربيع ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وهذا يساوي واحدًا على ﺃ في ظا ﺃﺱ زائد ثابت ما ﺙ. وهذا يعني أنه يمكننا كتابة تكامل قا تربيع ثلاثة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ على صورة واحد على ثلاثة ظا ثلاثة ﺱ زائد ثابت التكامل الذي سنسميه ﺏ.

وأخيرًا، نوزع الأقواس، ونلاحظ أن اثنين على تسعة في ثلث جا ثلاثة ﺱ يساوي اثنين على ٢٧ في جا ثلاثة ﺱ. وواحد على تسعة في واحد على ثلاثة ظا ثلاثة ﺱ يساوي واحدًا على ٢٧ في ظا ثلاثة ﺱ. ونضرب كل ثابت من الثابتين في اثنين على تسعة، وواحد على تسعة، على الترتيب. ونحصل على ثابت جديد ﺙ. نجد أن التكامل يساوي اثنين على ٢٧ في جا ثلاثة ﺱ زائد واحد على ٢٧ في ظا ثلاثة ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ.

هيا نتناول مثالًا آخر يتطلب إجراء التكاملات التي تناولناها جنبًا إلى جنب مع بعض المتطابقات المثلثية.

أوجد التكامل غير المحدد لسالب ثلاثة ظا تربيع ثمانية ﺱ في قتا تربيع ثمانية ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

لأول وهلة، يبدو هذا صعبًا جدًّا. لكن، إذا تذكرنا بعض المتطابقات المثلثية، فيمكننا تغيير هذا إلى شيء يسهل التعامل معه. نعلم أن ظا ﺱ يساوي جا ﺱ على جتا ﺱ، وأن قتا ﺱ يساوي واحدًا على جا ﺱ. يمكننا إذن إعادة كتابة ما سنكامله، وهو الدالة التي نريد إيجاد تكاملها، على صورة سالب ثلاثة في جا تربيع ثمانية ﺱ على جتا تربيع ثمانية ﺱ في واحد على جا تربيع ثمانية ﺱ. ثم نلاحظ أنه يمكننا حذف جا تربيع ثمانية ﺱ. يمكننا أخذ العامل سالب ثلاثة خارج علامة التكامل لتسهيل الخطوة التالية. ويصبح لدينا سالب ثلاثة في تكامل واحد على جتا تربيع ثمانية ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

نعلم أن واحدًا على جتا ﺱ يساوي قا ﺱ. إذن، يصبح التكامل سالب ثلاثة في تكامل قا تربيع ثمانية ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ولكن بالطبع تكامل قا تربيع ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي واحدًا على ﺃ ظا ﺃﺱ زائد الثابت ﺙ. إذن في حالتنا هذه حيث الثابت ﺃ يساوي ثمانية، فإن تكامل قا تربيع ثمانية ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي واحدًا على ثمانية في ظا ثمانية ﺱ زائد الثابت ﺙ. نوزع القوسين، ونجد أن الإجابة هي سالب ثلاثة أثمان في ظا ثمانية ﺱ زائد ثابت جديد، لأننا ضربنا الثابت الأصلي في سالب ثلاثة. لذا دعونا نطلق عليه ﺙ واحد.

دعونا نختم هذا الفيديو الآن بتذكر بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها. في هذا الفيديو، رأينا أنه يمكننا استخدام حقيقة أن عملية التكامل هي العملية العكسية للاشتقاق لإيجاد التكاملات غير المحددة لـ جا ﺃﺱ، وجتا ﺃﺱ، وقا تربيع ﺃﺱ. ورأينا أيضًا أن تذكر متطابقات مثلثية معينة، مثلظا يساوي جا ﺱ على جتا ﺱ أو واحد على جا ﺱ يساوي جتا ﺱ، يمكن أن يجعل إيجاد التكاملات أكثر يسرًا.