نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سنتعرف على الصورة القطبية للعدد المركب. وهي طريقة لكتابة العدد المركب تتناسب بالأخص مع المسائل التي تتضمن ضربًا. يمكن فهم هذه الصورة على نحو أفضل باستخدام مخطط أرجاند. لذا دعونا نلخص مخطط أرجاند.
يمثل مخطط أرجاند جميع الأعداد المركبة على مستوى. تقع الأعداد الحقيقية على المحور الأفقي أو محور ﺱ، وتقع الأعداد التخيلية البحتة على المحور الرأسي أو محور ﺹ. أي نقطة على هذا المخطط تمثل العدد المركب أربعة ناقص أربعة ﺕ؟ نمثل الجزء الحقيقي أربعة بالإحداثي ﺱ، والجزء التخيلي سالب أربعة بالإحداثي ﺹ. وبالتالي تقع النقطة التي تمثل أربعة ناقص أربعة ﺕ هنا في الربع الرابع من المخطط.
تعرفنا أيضًا على خاصيتين للأعداد المركبة، وهما مقياس العدد المركب وسعة العدد المركب. لنبدأ بالمقياس. يعمم المقياس مفهوم القيمة المطلقة لأي عدد من الأعداد الحقيقية ليشمل الأعداد المركبة. ويكتب بالطريقة نفسها التي يوضع فيها خطان رأسيان على جانبي العدد. بكتابة العدد مركبًا بدلالة الجزء الحقيقي ﺃ والجزء التخيلي ﺏ منه، نحصل على صيغة مقياسه. وهي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. لكن في الواقع، يمكننا فهم هذه الصيغة بشكل أفضل باستخدام مخطط أرجاند.
إذا رسمنا متجهًا من نقطة الأصل إلى النقطة التي تمثل العدد المركب، يكون مقياس هذا العدد المركب هو طول هذا المتجه أو مقداره، أي إن مقياس العدد المركب يعطينا مقدار هذا المتجه. وبالطريقة نفسها، تعطينا سعته اتجاه المتجه. تكتب سعة العدد المركب ﻉ في صورة سعة ﻉ. وصيغة سعة ﺃ زائد ﺏﺕ تعتمد على الربع الذي يقع فيه العدد، لكنها في كل الأحوال تتضمن الدالة العكسية للظل لـ ﺏ على ﺃ. ومرة أخرى، أفضل طريقة لفهم السعة هي استخدام مخطط أرجاند.
فهي زاوية المتجه المقيسة عكس اتجاه عقارب الساعة من محور الأعداد الحقيقية الموجبة. وبالتالي نبدأ من محور الأعداد الحقيقية الموجبة ونتحرك عكس اتجاه عقارب الساعة حتى نصل إلى المتجه. هذه هي الزاوية. ليس من الصعب معرفة أن قياس هذه الزاوية الحادة ٤٥ درجة أو 𝜋 على أربعة راديان. وبالتفكير في مجموع الزوايا حول نقطة، نجد أن السعة تساوي ٣١٥ درجة أو سبعة 𝜋 على أربعة راديان.
عند التحدث عن سعة العدد المركب، نستخدم عادة الراديان. وبالتالي، يمكننا كتابة سعة أربعة ناقص أربعة ﺕ يساوي سبعة 𝜋 على أربعة. يمكننا أيضًا طرح اثنين 𝜋 لنحصل على السعة الأساسية سالب 𝜋 على أربعة، التي يمكننا عدها قياسًا للزاوية الحادة الملونة بالبرتقالي ولكن بإشارة سالبة؛ لأن هذه الزاوية يجب قياسها في الاتجاه المعاكس.
بعد إيجاد سعة العدد المركب، يمكننا أيضًا إيجاد مقياسه. نوجد المقياس باستخدام الصيغة التي لدينا. نعرف أن ﺃ يساوي أربعة وﺏ يساوي سالب أربعة. بالتبسيط، نحصل على الجذر التربيعي لـ ٣٢، وهو ما يساوي في أبسط صورة أربعة جذر اثنين. لنرتب ما توصلنا إليه، ونفسره على المخطط. لقد وجدنا مقياس العدد المركب وسعته باستخدام جزأيه الحقيقي والتخيلي. كنا، في الواقع، محظوظين في إيجاد السعة بفضل ملاحظتنا الزاوية التي قياسها ٤٥ درجة. لكن يمكنك التحقق من أن حساب الدالة العكسية للظل للجزء التخيلي، وهو سالب أربعة، على الجزء الحقيقي، وهو أربعة، سيعطينا الإجابة نفسها.
يمكننا أن نتساءل هنا عما إذا كان بإمكاننا القيام بالعكس. بمعلومية مقياس العدد المركب ﻉ وسعته، هل يمكننا إيجاد جزأيه الحقيقي والتخيلي؛ ومن ثم كتابة العدد ﻉ؟ يبدو أنه من المفترض أن نكون قادرين على فعل ذلك. نعرف أن سعة هذا العدد المركب تساوي سالب 𝜋 على أربعة. بالتالي، إذا استخدمنا المنقلة، فسيمكننا أن نرى أن العدد المركب لا بد أن يقع على هذا الشعاع أو الخط. وبعد ذلك، يخبرنا المقياس بالمسافة التي يلزم قطعها على الخط. نستخدم المسطرة لنقيس أربعة جذر اثنين وحدة من نقطة الأصل، فنجد أن العدد المركب يجب أن يقع هنا.
وفكرة إمكانية تحديد نقطة بمعلومية مسافة بعدها عن نقطة الأصل واتجاهها المقيس من المحور ﺱ بدلًا من إحداثييها ﺱ وﺹ تنقلنا إلى مفهوم الإحداثيات القطبية التي قد تكون على علم بها. وتطبيق الفكرة نفسها على مخطط أرجاند للأعداد المركبة ينقلنا إلى مفهوم الصورة القطبية للعدد المركب. لنر كيف يمكننا كتابة عدد مركب ﻉ بدلالة مقياسه وسعته.
إذا كان مقياس ﻉ هو ﺭ وسعته هي 𝜃 ، فأوجد ﻉ.
نرسم مخطط أرجاند ليساعدنا. وبما أن مقياس ﻉ هو ﺭ، فالنقطة التي تمثل ﻉ على مخطط أرجاند يجب أن تكون على مسافة ﺭ من نقطة الأصل. فتقع على الدائرة التي مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها ﺭ. وبما أن سعة العدد المركب هي 𝜃، فلا بد أن يقع هذا العدد المركب في مكان ما على هذا الخط الأرجواني. وهكذا يقع ﻉ هنا عند هذا التقاطع. لكن بعد أن وجدنا ﻉ بالفعل، ما يجب علينا فعله هو أن نكتبه على الصورة ﺃ زائد ﺏﺕ.
ولنفعل ذلك، علينا إيجاد الجزء الحقيقي ﺃ والجزء التخيلي ﺏ. يمكننا قراءة الجزء الحقيقي ﺃ من الرسم، وهو الإحداثي ﺱ للنقطة، وينطبق الأمر نفسه على الجزء التخيلي ﺏ. كيف نكتب إذن ﺃ وﺏ بدلالة ﺭ و𝜃؟ إذا كنا نتعامل مع دائرة وحدة، فإن ﺃ سيساوي جتا 𝜃 وﺏ سيساوي جا 𝜃. لكن لسوء الحظ، ليست هذه دائرة وحدة. نصف القطر هو ﺭ. وبالتالي، يزيد مقياس كل شيء بمقدار ﺭ، بمعني أن ﺃ يساوي ﺭ جتا 𝜃 وﺏ يساوي ﺭ جا 𝜃.
يمكننا أن نرى ذلك بشكل آخر، وذلك عن طريق ملاحظة مثلث قائم الزاوية وتره ﺭ، وهو نصف قطر الدائرة، وطول الضلع المجاور للزاوية 𝜃 هو ﺃ، وﺏ هو طول الضلع المقابل لها. وبالتالي، فإن جا 𝜃 يساوي الضلع المقابل ﺏ على الوتر ﺭ. ومن ثم، ﺭ جا 𝜃 يساوي ﺏ. وما علينا فعله هو تبديل الطرفين. وبالمثل، جتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور ﺃ على طول الوتر ﺭ. وبالتالي، ﺭ جتا 𝜃 يساوي ﺃ. ومرة أخرى، كل ما علينا فعله هو تبديل الطرفين لنجد أن ﺃ يساوي ﺭ جتا 𝜃.
بعد أن وجدنا الجزء الحقيقي والجزء التخيلي من ﻉ بدلالة ﺭ و𝜃، يمكننا كتابة ﻉ بدلالة ﺭ و𝜃 بالتعويض. ﻉ يساوي ﺭ جتا 𝜃 زائد ﺭ جا 𝜃 ﺕ. وهذه هي إجابة السؤال. يعني ذلك أن العدد المركب ﻉ الذي مقياسه ﺭ وسعته 𝜃 تمثله النقطة ﺭ جتا 𝜃، وﺭ جا 𝜃 على مخطط أرجاند. من المفترض أن يكون شكل هذين الإحداثيين مألوفًا لك، إذا كنت قد تعرفت على الإحداثيات القطبية. إذا كنا نعرف مقياس عدد مركب وسعته، فيمكننا استخدام هذه المعادلة كصيغة لإيجاد ذلك العدد المركب.
إذا كان مقياس ﻉ يساوي أربعة جذر اثنين وسعة ﻉ هي سالب 𝜋 على أربعة، فأوجد ﻉ.
نلاحظ أن المقياس ﺭ يساوي أربعة جذر اثنين، والسعة 𝜃 تساوي سالب 𝜋 على أربعة. نعوض بهما في الصيغة. ويمكننا التبسيط إما باستخدام الآلة الحاسبة أو باستخدام متطابقات الدوال الفردية والزوجية والزوايا الخاصة. دالة جيب التمام هي دالة زوجية. وبالتالي، فإن جتا سالب 𝜋 على أربعة يساوي جتا 𝜋 على أربعة. و𝜋 على أربعة زاوية خاصة جيب تمامها يساوي جذر اثنين على اثنين. وبالمثل، باستخدام حقيقة أن دالة الجيب دالة فردية، نتوصل إلى أن جا سالب 𝜋 على أربعة يساوي سالب جذر اثنين على اثنين. بالتعويض بهاتين القيمتين، ثم التبسيط، نحصل على أربعة ناقص أربعة ﺕ. لكننا أحيانًا قد لا نرغب في التبسيط. يمكننا إعادة كتابة الصيغة بشكل مختلف قليلًا عن طريق أخذ العامل المشترك ﺭ خارج القوس، لنحصل على ﺭ في جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃.
نلاحظ أننا بدلنا هنا ترتيب ﺕ وجا 𝜃 أيضًا. ويتضح لنا أنه من المفيد جدًا كتابة العدد المركب على هذه الصورة. فبتطبيق ذلك على المثال، حيث مقياس ﻉ يساوي أربعة جذر اثنين وسعته تساوي سالب 𝜋 على أربعة، نكتب ﻉ على صورة ﺭ في جتا 𝜃 زائد ﺕ في جا 𝜃. بالتعويض بأربعة جذر اثنين عن ﺭ وبسالب 𝜋 على أربعة عن 𝜃، نتوصل إلى أن ﻉ يساوي أربعة جذر اثنين في جتا سالب 𝜋 على أربعة زائد ﺕ جا سالب 𝜋 على أربعة. هذه ليست خطوة لكتابة قيمة ﻉ فحسب. وإنما هي طريقة صحيحة للتعبير عن قيمة ﻉ بمفردها.
فلننظر إذن إلى هذا التعريف. عندما يكتب عدد مركب ﻉ على صورة ﺭ في جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃، يوصف بأنه على «الصورة القطبية». ويمكن أن يطلق على هذه الصورة أيضًا «الصورة المثلثية» لأنها تتضمن الدوال المثلثية جيب التمام والجيب، أو «صورة المقياس والسعة»؛ لأن هذه الصورة تجعل من السهل قراءة المقياس والسعة. فمقياس ﻉ، كما هو موضح في التعريف، هو ﺭ، وسعته هي 𝜃.
يجعلنا ذلك نتساءل عن اسم الصورة الأصلية ﺃ زائد ﺏﺕ. إنها تسمى «الصورة الجبرية» أو «الصورة الكارتيزية» أو «الصورة الإحداثية». أربعة ناقص أربعة ﺕ مكتوب على هذه الصورة. وأربعة جذر اثنين في جتا سالب 𝜋 على أربعة زائد ﺕ جا سالب 𝜋 على أربعة هو العدد المركب نفسه مكتوبًا على الصورة القطبية. لنلق نظرة على مثال فيه بعض الأعداد مكتوبة على الصورة القطبية بشكل صحيح وبعض الأعداد الأخرى ليست كذلك.
أي من الأعداد المركبة التالية معبر عنه تعبيرًا صحيحًا على الصورة القطبية؟
أوقف الفيديو لحظات، وانظر جيدًا إلى كل خيار من الخيارات قبل أن ندقق فيها معًا. حسنًا، هل أنت مستعد؟ لنبدأ. نقول إن العدد المركب مكتوب على الصورة القطبية إذا كان مكتوبًا على الصورة ﺭ في جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 لبعض قيم ﺭ و𝜃. نريد دائمًا أن تكون قيمة ﺭ أكبر من أو تساوي صفرًا. وذلك لتكون مقياس العدد المركب. وأحيانًا، نريد أن تكون 𝜃 في الفترة من سالب 𝜋 إلى 𝜋، متضمنة 𝜋 وليس سالب 𝜋، لتكون السعة الأساسية للعدد المركب. لكننا لن نشغل أنفسنا بذلك الآن.
لنبدأ بالخيار (أ)؛ هل العدد مكتوب على الصورة المطلوبة؟ تبدو قيمة جذر اثنين خارج القوسين مناسبة. لكن داخل القوسين، لدينا جا زاوية ما زائد ﺕ جتا زاوية ما، بينما ما نريده هو جتا زاوية ما زائد ﺕ جا زاوية ما. وبالتالي، فإن هذا العدد ليس معبرًا عنه تعبيرًا صحيحًا على الصورة القطبية.
ماذا عن الخيار (ب)؟ نلاحظ أن قيمة ﺭ خارج القوس تساوي خمسة، أي إنها قيمة موجبة. وهذا جيد. وداخل القوس، لدينا جتا زاوية ما زائد ﺕ جا زاوية ما، وهو ما نريده. والمهم أن قيمتي الزاوية متساويتان في الحالتين؛ فسالب خمسة 𝜋 على ستة هي قيمة 𝜃. وقيمة 𝜃 هذه سالبة. لكن لا بأس من ذلك. فهو أمر جائز. في الواقع، هذه قيمة السعة الأساسية للعدد المركب أيضًا. وبذلك، فإن (ب) عدد معبر عنه تعبيرًا صحيحًا على الصورة القطبية.
ننتقل الآن إلى (ج)، ونلاحظ أن قيمة ﺭ تساوي 𝑒 تربيع، وهي مرة أخرى عدد موجب. لكن داخل القوس لدينا جتا زاوية ما ناقص ﺕ جا زاوية ما. يجب أن يكون ناقص جا هنا زائد جا ليكون هذا العدد المركب معبرًا عنه تعبيرًا صحيحًا على الصورة القطبية.
ننتقل إلى (د). قيمة ﺭ هنا هي ثلاثة 𝜋 على أربعة. داخل القوس لدينا جتا زاوية ما زائد ﺕ جا زاوية ما كما هو مطلوب. ومرة أخرى، قيمتا الزاوية متساويتان. قيمة 𝜃 هي جذر ٣٥. ربما تظن أنه من الغريب أن يكون مقياس هذا العدد المركب ثلاثة 𝜋 على أربعة وسعته جذر ٣٥. فلا بد أن يكونا العكس، أليس كذلك؟ لكن عمليًا، لا يوجد خطأ في ذلك. هذا العدد مكتوب إذن على الصورة القطبية. لكنك إذا كتبت عددًا مركبًا على هذه الصورة حيث يكون المقياس مضاعفًا لـ 𝜋 والسعة جذرًا تربيعيًا لعدد ما، فسيتعين عليك على الأرجح التأكد من عدم تبديل هاتين القيمتين بالخطأ.
وأخيرًا، الخيار (هـ)، لدينا في هذا الخيار قيمة موجبة لـ ﺭ خارج القوس وجتا زاوية ما زائد ﺕ جا زاوية ما داخل القوس. لكن قيمتي الزاوية غير متساويتين. فهما ٣٥𝜋 على سبعة و٣٥𝜋 على ستة. يجب أن تكون قيمتا 𝜃 متساويتين لأنها تمثل سعة العدد المركب. وبما أنهما غير متساويتين، فإن هذا العدد ليس معبرًا عنه على الصورة القطبية تعبيرًا صحيحًا.
إذن، الإجابة هي أن (ب) و(د) فقط هما المعبر عنهما على الصورة القطبية تعبيرًا صحيحًا. للتوسع أكثر في الحل، يمكننا استخدام بعض المتطابقات التي تعرفونها عن جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية للتعبير عن العددين بالخيارين (أ) و(ج) على الصورة القطبية تعبيرًا صحيحًا. ولسوء الحظ، ما من طريقة سهلة لفعل ذلك مع الخيار (هـ).
لنر مثالًا سريعًا على التحويل من الصورة المثلثية إلى الصورة الكارتيزية قبل أن نجرب العكس.
أوجد جتا 𝜋 على ستة. أوجد جا 𝜋 على ستة. ومن ثم، عبر عن العدد المركب ١٠ جتا 𝜋 على ستة زائد ﺕ جا 𝜋 على ستة على الصورة الإحداثية.
𝜋 على ستة راديان، التي تساوي ٣٠ درجة، هي زاوية خاصة. ومن ثم، نتذكر أن جتا 𝜋 على ستة يساوي جذر ثلاثة على اثنين، وجا 𝜋 على ستة يساوي نصفًا. بدلًا من ذلك، يمكنك استخدام الآلة الحاسبة لتعطيك هذه القيم. وبعد أن وجدنا هاتين القيمتين، يمكننا التعويض بهما في العدد المركب على الصورة المثلثية، ليصبح لدينا ١٠ في جذر ثلاثة على اثنين زائد نصف ﺕ. وبتوزيع ١٠ على الحدين داخل القوس، يصبح لدينا خمسة جذر ثلاثة زائد خمسة ﺕ على الصورة الإحداثية حسب المطلوب، وتعرف أيضًا بالصورة الجبرية أو الكارتيزية، وهي ﺃ زائد ﺏﺕ. والآن، لنحول عددًا مركبًا من الصورة الجبرية إلى الصورة القطبية.
أوجد مقياس العدد المركب واحد زائد ﺕ. أوجد سعة العدد المركب واحد زائد ﺕ. ومن ثم، اكتب العدد المركب واحد زائد ﺕ على الصورة القطبية.
يمكننا رسم مخطط أرجاند لمساعدتنا. ويمكننا رسم المتجه من نقطة الأصل صفر على مخطط أرجاند إلى العدد المركب واحد زائد ﺕ. مقياس واحد زائد ﺕ يساوي مقدار هذا المتجه. وبالتفكير في مثلث قائم الزاوية وتطبيق نظرية فيثاغورس، نجد أن ذلك هو الجذر التربيعي لواحد تربيع زائد واحد تربيع، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لاثنين. وبالطبع صيغة مقياس العدد المركب ﺃ زائد ﺏﺕ كانت لتعطينا الإجابة نفسها. هذا مقياس العدد واحد زائد ﺕ. فماذا عن سعته؟
السعة هي قياس هذه الزاوية، التي سنسميها 𝜃. ولأن لدينا مثلثًا قائم الزاوية طول الضلع المقابل لهذه الزاوية فيه يساوي واحدًا، وطول الضلع المجاور يساوي واحدًا أيضًا، فإننا نعرف أن ظا 𝜃 يساوي المقابل وهو واحد، على المجاور وهو واحد أيضًا. وبالتالي، فإن 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ ظا لواحد على واحد، أي الدالة العكسية لـ ظا لواحد التي تساوي 𝜋 على أربعة. وكان يمكن أيضًا أن نعرف ذلك بملاحظة أننا نتعامل مع مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين. وبالتالي، فإن 𝜃 يجب أن تساوي ٤٥ درجة، أي 𝜋 على أربعة راديان. بما أن لدينا الآن مقياس العدد المركب وسعته، يمكننا كتابته على الصورة القطبية.
نقول إن العدد المركب مكتوب على الصورة القطبية إذا كان مكتوبًا على الصورة ﺭ في جتا 𝜃 زائد ﺕ في جا 𝜃. والمهم أنه إذا كان العدد المركب ﻉ مكتوبًا على هذه الصورة، فإن مقياسه سيكون ﺭ وسعته 𝜃. نعرف مقياس العدد المركب وسعته، وبالتالي يمكننا التعويض بهما عن ﺭ و𝜃. قيمة ﺭ هي المقياس الذي يساوي جذر اثنين، وقيمة 𝜃 هي السعة التي تساوي 𝜋 على أربعة. هذا إذن هو العدد المركب واحد زائد ﺕ على الصورة القطبية. بهذه الطريقة نحول عددًا من الصورة الجبرية إلى الصورة القطبية. نوجد مقياس العدد المركب وسعته ثم نعوض بهما في الصيغة.
دعونا نر مثالًا آخر.
عبر عن العدد المركب ﻉ يساوي أربعة ﺕ على الصورة المثلثية.
نفعل ذلك في ثلاث خطوات. نوجد ﺭ، وهو مقياس ﻉ. ونوجد 𝜃، وهي سعته. وبعد ذلك، نعوض بهاتين القيمتين في ﻉ يساوي ﺭ جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃. لكن لنرسم، أولًا، مخطط أرجاند حيث يقع أربعة ﺕ بالطبع على محور الأعداد التخيلية. يمكننا أن نرى أن مقياسه، وهو المسافة من نقطة الأصل، يساوي أربعة. كان بإمكاننا الوصول إلى هذه القيمة باستخدام الصيغة بدلًا من ذلك. على أية حال، ﺭ يساوي أربعة. ماذا عن سعة العدد المركب؟
لا يمكننا استخدام صيغة تتضمن الدالة العكسية لـ ظا لـ ﺏ على ﺃ؛ لأن ﺃ يساوي صفرًا. ولا يمكننا القسمة على صفر. لكن لحسن الحظ، لدينا المخطط الذي رسمناه حيث تساوي السعة هذه الزاوية، وقياس هذه الزاوية هو ٩٠ درجة أو 𝜋 على اثنين راديان. وبالتالي، فإن سعة ﻉ تساوي 𝜋 على اثنين. وهي قيمة علينا أن نعوض بها عن 𝜃. بذلك نكون مستعدين للتعويض. وبالتعويض نحصل على أربعة في جتا 𝜋 على اثنين زائد ﺕ جا 𝜋 على اثنين.
إليك النقاط الأساسية التي تناولناها في هذ الفيديو. مثلما يمكن تمثيل النقاط على المستوى على صورة كارتيزية أو قطبية، يمكن كذلك تمثيل الأعداد المركبة على صورة جبرية أو قطبية. الصورة القطبية للعدد المركب ﻉ هي ﻉ يساوي ﺭ في جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃، حيث ﺭ، وهو أكبر من أو يساوي صفرًا، هو المقياس و𝜃 هي السعة. لتحويل ﻉ يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ من هذه الصورة الجبرية إلى الصورة القطبية، نحسب المقياس ﺭ والسعة 𝜃، ونعوض بهاتين القيمتين في الصيغة المذكورة أعلاه. للتحويل إلى ﻉ يساوي ﺭ في جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃، وهي الصورة المثلثية من الصورة الجبرية، نوجد الجيب وجيب التمام، ثم نوزع ﺭ، ونبسط.
