نسخة الفيديو النصية
بإكمال المربع، أوجد مركز الدائرة ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ﺹ تربيع ناقص أربعة ﺹ زائد ثمانية يساوي صفرًا، وطول نصف قطرها.
لدينا هنا معادلة دائرة، ونلاحظ أنها معطاة على الصورة العامة. وعلينا إيجاد مركز هذه الدائرة وطول نصف قطرها. لفعل ذلك، دعونا نتذكر كيف نحصل على الصورة القياسية لمعادلة الدائرة. الصورة القياسية لمعادلة دائرة مركزها النقطة ﺩ، ﻫ، ونصف قطرها نق؛ هي ﺱ ناقص ﺩ الكل تربيع زائد ﺹ ناقص ﻫ الكل تربيع يساوي نق تربيع. لذا،إذا كانت لدينا معادلة دائرة على هذه الصورة، فيمكننا إيجاد مركزها وطول نصف قطرها من المعادلة.
في الصورة القياسية لمعادلة الدائرة، نوزع هذا التربيع على الأقواس. بتوزيع الأس على القوس الأول، باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني، أو مفكوك ذات الحدين، نحصل على ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺩﺱ زائد ﺩ تربيع. وبالمثل، عند توزيع الأس على القوس الثاني، نحصل على ﺹ تربيع ناقص اثنين ﻫﺹ زائد ﻫ تربيع. وبالطبع هذه المعادلة بأكملها تساوي نق تربيع. لكن هنا، يمكننا التبسيط. ﺩ مجرد ثابت، لذا يمكننا أن نطلق على سالب اثنين ﺩ، ﺃ. وبالمثل، ﻫ أيضًا ثابت، لذا يمكننا أن نطلق على سالب اثنين ﻫ، ﺏ. وأخيرًا، يمكننا تجميع الثوابت ﺩ تربيع وﻫ تربيع ونق تربيع في ثابت واحد سنسميه ﺟ.
وهذا يعطينا الصورة العامة لمعادلة الدائرة: ﺱ تربيع زائد ﺃﺱ زائد ﺹ تربيع زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا. لكننا لدينا الصورة العامة لمعادلة الدائرة، وعلينا العودة إلى الصورة القياسية لمعادلة الدائرة. ولفعل ذلك، نرى أنه بدلًا من تربيع ﺱ، علينا تربيع ﺱ ناقص ﺩ. وبدلًا من تربيع ﺹ، علينا تربيع ﺹ ناقص ﻫ. وهذا هو بالضبط ما نعنيه باستخدام عملية إكمال المربع. لنر الآن كيف يمكننا استخدام إكمال المربع لمساعدتنا في الانتقال من المعادلة العامة لدائرة إلى المعادلة القياسية لدائرة.
تذكر أنه باستخدام إكمال المربع، يمكننا كتابة المعادلة التربيعية ﺱ تربيع زائد ﺃﺱ زائد ﺟ على الصورة ﺱ زائد ﺃ على اثنين الكل تربيع ناقص ﺃ تربيع على أربعة زائد ﺟ. هذا لأننا إذا وزعنا التربيع على القوس في الطرف الأيسر من هذه المعادلة، باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني، أو مفكوك ذات الحدين، فسنحصل على ﺱ تربيع زائد اثنين في ﺃ على اثنين مضروبًا في ﺱ زائد ﺃ تربيع على أربعة ناقص ﺃ تربيع على أربعة زائد ﺟ. وبالطبع، يمكننا التبسيط. اثنان مقسومًا على اثنين يساوي واحدًا، وﺃ تربيع على أربعة ناقص ﺃ تربيع على أربعة يساوي صفرًا. وبالطبع، فإن هذا يساوي المعادلة التربيعية الأصلية.
ولكن، علينا ملاحظة كيف أعدنا كتابة كثيرة الحدود. لدينا ﺱ زائد ثابت ما الكل تربيع، ثم نضيف ثابتًا آخر. هذه هي الصورة التي نحتاجها بالضبط لإعادة كتابة المعادلة على الصورة القياسية. لنبدأ إذن في إكمال المربع في المعادلة العامة للدائرة المعطاة في السؤال. سنبدأ بالحدود التي تحتوي على ﺱ. أي سنبدأ بـ ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ. لإكمال المربع هنا، علينا أولًا قسمة المعامل ﺱ على اثنين، ونعلم أن ستة مقسومًا على اثنين يساوي ثلاثة. لذا، سنبدأ بـ ﺱ زائد ثلاثة الكل تربيع. لكن إذا توقفنا هنا، فسنجد أنه عند توزيع التربيع على القوس، سنحصل على ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد تسعة. إذن، لموازنة طرفي هذه المعادلة، علينا طرح الثابت تسعة.
سنفعل الآن الأمر نفسه مع الحدود التي تحتوي على ﺹ. أي ﺹ تربيع ناقص أربعة ﺹ. وسنفعل الأمر نفسه الذي فعلناه من قبل. علينا قسمة معامل ﺹ، وهو سالب أربعة، على اثنين. وبالطبع، سالب أربعة مقسومًا على اثنين يساوي سالب اثنين. إذن، سنقوم بتربيع ﺹ ناقص اثنين. هذه المرة، إذا وزعنا التربيع على القوس، فسنحصل على ﺹ تربيع ناقص أربعة ﺹ زائد أربعة. إذن، لموازنة طرفي المعادلة، علينا طرح أربعة.
يمكننا الآن استخدام هذين التعبيرين لإعادة كتابة الصورة العامة لمعادلة الدائرة على الصورة القياسية. أولًا، أوضحنا أن ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ يساوي ﺱ زائد ثلاثة الكل تربيع ناقص تسعة. لذا، سنكتب ذلك في المعادلة. ويمكننا فعل الأمر نفسه مع ﺹ تربيع ناقص أربعة ﺹ. يمكننا التعويض عن ذلك بـ ﺹ ناقص اثنين الكل تربيع ناقص أربعة. هذا يعطينا ﺱ زائد ثلاثة الكل تربيع ناقص تسعة زائد ﺹ ناقص اثنين الكل تربيع ناقص أربعة زائد ثمانية يساوي صفرًا. والآن، هذه هي تقريبًا الصورة العامة لمعادلة الدائرة. كل ما علينا فعله هو التبسيط.
لدينا سالب تسعة ناقص أربعة زائد ثمانية يساوي سالب خمسة. وتذكر أن نصف قطر الدائرة مكتوب في الطرف الآخر من المعادلة. لذا، علينا إضافة خمسة إلى كلا طرفي هذه المعادلة. هذا يعطينا ﺱ زائد ثلاثة الكل تربيع زائد ﺹ ناقص اثنين الكل تربيع يساوي خمسة. وبالطبع، نعلم أن نصف القطر نق عادة ما يكون مربعًا. لذا بدلًا من كتابة خمسة، يمكننا كتابة الجذر التربيعي لخمسة الكل تربيع. والآن، كتبنا ذلك على الصورة القياسية لمعادلة الدائرة. لدينا هنا قيم ﺩ وﻫ ونق.
لدينا ﺩ يساوي سالب ثلاثة، وﻫ يساوي اثنين، ونق يساوي الجذر التربيعي لخمسة. ونعرف من الصورة القياسية لمعادلة الدائرة، أن هذا يعني أن مركز الدائرة هو سالب ثلاثة، اثنان، ونصف قطرها هو الجذر التربيعي لخمسة. إذن، بإكمال المربع مرتين، استطعنا إيجاد مركز الدائرة ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ﺹ تربيع ناقص أربعة ﺹ زائد ثمانية يساوي صفرًا، ونصف قطرها. إذن، عرفنا أن مركز هذه الدائرة هو سالب ثلاثة، اثنان، وطول نصف قطرها هو الجذر التربيعي لخمسة.
