نسخة الفيديو النصية
قذفت صخرة رأسيًّا إلى أعلى. عند الزمن ﻥ ثانية، يعطى ارتفاع الصخرة من الأرض بالعلاقة: ﻑ يساوي ٤٦٫٦ﻥ ناقص ٤٫٩ﻥ تربيع متر؛ حيث ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. أوجد سرعة الصخرة عندما تكون على ارتفاع ٢٢٫٥ مترًا.
لدينا هنا معادلة لـ ﻑ بدلالة ﻥ. ﻑ هو ارتفاع الصخرة عن الأرض. بعبارة أخرى، هو إزاحة الصخرة. المطلوب منا في السؤال هو إيجاد سرعة الصخرة. حسنًا، سنبدأ بتذكر أنه إذا كانت ﺱ هي دالة الإزاحة عند الزمن ﻥ، فإن السرعة المتجهة ﻉ تساوي ﺩﺱ على ﺩﻥ. وهي التغير في الإزاحة بالنسبة إلى الزمن. لكن علينا أن ننتبه. هناك فرق دقيق جدًّا بين السرعة والسرعة المتجهة. السرعة المتجهة كمية متجهة. بمعنى أن لها اتجاه، بينما السرعة ليس لها اتجاه. إذن، السرعة مقدار السرعة المتجهة.
يمكننا تمثيل مقدار السرعة المتجهة أو القيمة المطلقة للسرعة المتجهة باستخدام هذين الخطين الرأسيين. وعليه، سنبدأ باشتقاق التعبير الدال على ﻑ الذي يمثل، كما سبق أن ذكرنا، الإزاحة من الأرض بالنسبة إلى ﻥ. سنفعل ذلك لكل حد على حدة. مشتقة ٤٦٫٦ﻥ بالنسبة إلى ﻥ تساوي ٤٦٫٦. بعد ذلك، عند اشتقاق سالب ٤٫٩ﻥ تربيع، فإننا نضرب الحد في الأس ثم نطرح واحدًا من ذلك الأس. وعليه، نحصل على سالب اثنين في ٤٫٩ﻥ أو سالب ٩٫٨ﻥ.
وبذلك نكون قد توصلنا إلى تعبير لـ ﺩﻑ على ﺩﻥ. وهو ٤٦٫٦ ناقص ٩٫٨ﻥ. وهذا التعبير، في الواقع، يعبر عن السرعة المتجهة للصخرة عند الزمن ﻥ ثانية. إننا نريد إيجاد سرعة الصخرة عند ارتفاع ٢٢٫٥ مترًا؛ أي عند ﻑ يساوي ٢٢٫٥. إذن ما سنفعله هو حساب قيمة ﻥ عند ﻑ يساوي ٢٢٫٥. وهو ما سنعرف من خلاله الزمن أو الأزمنة التي تستغرقها الصخرة لتصل إلى هذا الارتفاع. يمكننا بعد ذلك التعويض بقيمة ﻥ التي توصلنا إليها في دالة السرعة المتجهة. إذا جعلنا ﻑ يساوي ٢٢٫٥، فسنحصل على معادلة تربيعية. المعادلة هي ٢٢٫٥ يساوي ٤٦٫٦ﻥ ناقص ٤٫٩ﻥ تربيع.
حسنًا، لدينا عدة طرق لحل المعادلات التربيعية، لكن كل طريقة من هذه الطرق لا تصلح إلا إذا كانت المعادلة نفسها تساوي صفرًا. إذن سنضيف ٤٫٩ﻥ تربيع إلى كلا الطرفين، ونطرح ٤٦٫٦ﻥ. وبذلك، تصبح المعادلة لدينا ٤٫٩ﻥ تربيع ناقص ٤٦٫٦ﻥ زائد ٢٢٫٥ يساوي صفرًا. يمكننا استخدام الصيغة التربيعية، أو طريقة إكمال المربع، أو طريقة حل المعادلات التربيعية على الآلة الحاسبة. وعندما نفعل ذلك، نحصل على ﻥ يساوي تسعة وﻥ يساوي ٠٫٥١، وهكذا. إذن نستنتج من ذلك أن ارتفاع الصخرة يساوي ٢٢٫٥ مترًا عند زمنين مختلفين. عند ﻥ يساوي تسع ثوان، وأيضًا عند ﻥ يساوي ٠٫٥١ ثانية.
وفي الواقع، إذا فكرنا في المسار الذي تتبعه الصخرة فسنجد أن هذا منطقي للغاية. فقد قذفت الصخرة لأعلى، ولكنها ستسقط لأسفل مرة أخرى. وعليه، فمن المفترض أن يكون هناك نقطتان يبلغ ارتفاع الصخرة عندهما ٢٢٫٥ مترًا. ستصل الصخرة إلى هذا الارتفاع في طريقها لأعلى، ثم ستعود إليه مرة أخرى في طريقها لأسفل. علينا التحقق من السرعة المتجهة عند هذين الزمنين. هيا نبدأ بحساب السرعة المتجهة للصخرة عند ﻥ يساوي ٠٫٥١، وهكذا. سنفترض أن ﻥ يساوي هذه القيمة. إذن السرعة المتجهة تساوي ٤٦٫٦ ناقص ٩٫٨ في ٠٫٥١. وهذا يعطينا سرعة متجهة تساوي ٤١٫٦ مترًا لكل ثانية.
والآن، دعونا نكرر هذه العملية عندما يكون ﻥ يساوي تسعة. حسنًا، سنحصل على ٤٦٫٦ ناقص ٩٫٨ في تسعة، وهو ما يساوي سالب ٤١٫٦ مترًا لكل ثانية. إذن السرعة المتجهة أثناء الارتفاع لأعلى تساوي ٤١٫٦ مترًا لكل ثانية، وستكون القيمة نفسها سالبة أثناء السقوط لأسفل. تدل الإشارة السالبة على أن الصخرة تتحرك في الاتجاه المعاكس. لقد ذكرنا أن السرعة هي مقدار السرعة المتجهة أو قيمتها المطلقة. وعلى الرغم من أن الصخرة تتحرك في اتجاه مختلف عند ﻥ يساوي تسعة وعند ﻥ يساوي ٠٫٥١، فإن سرعتها ببساطة تساوي ٤١٫٦ مترًا لكل ثانية. إذن، سرعة الصخرة تساوي ٤١٫٦ مترًا لكل ثانية.
