نسخة الفيديو النصية
أوجد تكامل سالب سبعة في جا أربعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
مطلوب منا إيجاد تكامل دالة مثلثية. ونعرف الكثير من القواعد لمساعدتنا في إيجاد تكاملات الدوال المثلثية. ولمساعدتنا في إيجاد ذلك، علينا أن نتذكر ناتج تكامل الدوال المثلثية القياسية التالية. لأي ثابت حقيقي ﺃ لا يساوي صفرًا، فإن تكامل جا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب جتا ﺃﺱ الكل مقسوم على ﺃ زائد ثابت التكامل ﺙ.
يمكننا أن نلاحظ أن التكامل كان بالفعل على هذه الصورة. في الواقع، يمكننا كتابة ذلك على هذه الصورة مباشرة. كل ما علينا فعله هو أخذ العامل الثابت سالب سبعة خارج التكامل. هذا يعني أننا أعدنا الآن كتابة التكامل المعطى في السؤال على صورة: سالب سبعة في تكامل جا أربعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا أن نرى أن هذا التكامل ليس بالصورة التي نريدها بالضبط. نجعل قيمة ﺃ تساوي أربعة.
بجعل قيمة ﺃ تساوي أربعة وتذكر أننا نضرب التكامل بالكامل في سالب سبعة، سنجد أن هذا يعطينا سالب سبعة في سالب جتا أربعة ﺱ على أربعة زائد ﺙ. الخطوة التالية التي سنفعلها هي توزيع سالب سبعة على القوس. سيكون الحد الأول سالب سبعة في سالب جتا أربعة ﺱ مقسومًا على أربعة. يمكن تبسيط ذلك ليعطينا: سبعة على أربعة في جتا أربعة ﺱ. وسيكون الحد الثاني سالب سبعة في ﺙ.
يمكننا أن نترك الإجابة بهذا الشكل؛ ومع ذلك تجدر الإشارة هنا إلى أن ﺙ هو ثابت التكامل. هذا يعني أنه عندما أسمينا المتغير ﺙ في الأصل، كان بإمكاننا تسميته سالب ﺙ مقسومًا على سبعة. ومن ثم، عند الضرب في سالب سبعة، كنا سنحصل على: سالب سبعة مضروبًا في سالب ﺙ مقسومًا على سبعة. ويمكننا بعد ذلك تبسيط ذلك ليعطينا: موجب ﺙ. سترى أحيانًا ثابت التكامل مكتوبًا على صورة ﺃ، ثم تعاد كتابته بعد ذلك على صورة ﺙ. وأحيانًا ستلاحظ تخطي هذه الخطوة تمامًا. لا يهم أيهما تفضل؛ فهذا يرجع إلى تفضيلك الشخصي.
إذن، استطعنا إيجاد أن تكامل سالب سبعة في جا أربعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سبعة على أربعة في جتا أربعة ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ.
