فيديو السؤال: أطوال أضلاع مثلث زواياه ٤٥ و٤٥ و٩٠

نسخة الفيديو النصية

إذا كان طول ﺃﺏ يساوي ثلاثة، فأوجد طول ﺏﺟ. أعط الإجابة بالقيمة الدقيقة.

ثمة طريقتان يمكننا اتباع أي منهما لحل هذه المسألة. لننظر في كل منهما. أولًا، نلاحظ أن المثلث ﺃﺏﺟ ليس مثلثًا قائم الزاوية فحسب، بل إنه، في الحقيقة، مثلث متساوي الساقين كذلك؛ لأن به زاويتين متساويتين قياس كل منهما ٤٥ درجة. هذا بدوره يعني أن الضلعين ﺃﺏ وﺃﺟ متساويان في الطول. بما أن طول ﺃﺏ يساوي ثلاثة، فهذا يعني أن طول ﺃﺟ يساوي أيضًا ثلاثة. الطريقة الأولى التي سنتبعها هي تطبيق نظرية فيثاغورس. ويمكننا القيام بهذا لأن لدينا مثلثًا قائم الزاوية؛ حيث نعلم طولي ضلعين ونريد حساب طول الضلع الثالث.

تنص نظرية فيثاغورس على أنه في المثلث القائم الزاوية يكون مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصر مساويًا لمربع طول الوتر، وهو أطول ضلع في المثلث القائم الزاوية. وأطول ضلع هو دائمًا الضلع المقابل للزاوية القائمة. إذن، في هذا المثلث هو الضلع ﺏﺟ. ومن ثم فإن نظرية فيثاغورس تخبرنا أن ﺏﺟ تربيع يساوي ﺃﺏ تربيع زائد ﺃﺟ تربيع. تذكر أن كلًا من ﺃﺏ وﺃﺟ يساوي ثلاثة، إذن لدينا ﺏﺟ تربيع يساوي ثلاثة تربيع زائد ثلاثة تربيع. ثلاثة تربيع يساوي تسعة. إذن، ثلاثة تربيع زائد ثلاثة تربيع، وهو تسعة زائد تسعة، يساوي ١٨. بذلك، نجد أن ﺏﺟ تربيع يساوي ١٨.

لإيجاد قيمة ﺏﺟ بدلًا عن ﺏﺟ تربيع، نوجد الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. ويعطينا ذلك طول ﺏﺟ يساوي الجذر التربيعي لـ ١٨. علينا دائمًا تبسيط الجذور الصماء حيثما أمكن. وللقيام بذلك، علينا البحث عن العوامل المربعة. ‏‏١٨ يساوي تسعة مضروبًا في اثنين، والتسعة عدد مربع. لذا، يمكننا أن نقول إن الجذر التربيعي للعدد ١٨ يساوي الجذر التربيعي لتسعة مضروبًا في اثنين. يمكن تقسيم هذا إلى الجذر التربيعي لتسعة مضروبًا في الجذر التربيعي لاثنين. وبما أن الجذر التربيعي لتسعة هو ثلاثة فقط، فإن الجذر الأصم يبسط إلى ثلاثة جذر اثنين. بذلك، نجد أن طول ﺏﺟ يساوي ثلاثة جذر اثنين. ليست هناك وحدات قياس في هذه الإجابة؛ إذ لا توجد وحدات قياس في السؤال.

الطريقة الثانية التي يمكننا تطبيقها هي حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية؛ حيث لدينا مثلث قائم الزاوية نعلم فيه طول ضلع واحد على الأقل وقياس زاوية واحدة على الأقل ونريد حساب طول أحد الضلعين الآخرين. لنبدأ بتسمية الأضلاع الثلاثة في المثلث بالنسبة للزاوية ﺃﺏﺟ. يكون الوتر في المثلث القائم الزاوية في المكان نفسه دائمًا. فهو دائمًا الضلع المقابل للزاوية القائمة. إذن، هو الضلع ﺏﺟ. الضلع المقابل هو الضلع المقابل للزاوية التي تعنينا هنا. والضلع المقابل للزاوية ﺃﺏﺟ هو الضلع ﺃﺟ. ويسمى الضلع الثالث للمثلث، الذي يقع بين الزاوية التي نعلم قياسها والزاوية القائمة، بالضلع المجاور. إذن، هو الضلع ﺃﺏ. بعد ذلك، نحدد أي النسب المثلثية الثلاث — الجيب، أو جيب التمام أو الظل — سنستخدمها في هذا السؤال.

لدينا بالفعل اختيار هنا لأننا نعلم طول كل من ﺃﺏ وﺃﺟ. لكن بما أن ﺃﺏ معطى في السؤال في الأساس، فإننا نعلم طول الضلع المجاور، ونريد حساب طول الوتر، ما يعني أن علينا أن نستخدم نسبة جيب التمام. تعريف نسبة جيب التمام في المثلث القائم الزاوية هو أن جتا الزاوية المحددة 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور مقسومًا على طول الوتر. في هذا المثلث، قياس الزاوية ٤٥ درجة، إذن هذه هي 𝜃، وطول الضلع المجاور يساوي ثلاث وحدات، والوتر، الذي نريد حسابه، هو ﺏﺟ. لدينا الآن معادلة يمكننا حلها لإيجاد طول ﺏﺟ. الخطوة الأولى هي ضرب كلا طرفي المعادلة في ﺏﺟ لأن هذا سيلغي ﺏﺟ من مقام الكسر في الطرف الأيسر. ويعطينا ذلك ﺏﺟ مضروبًا في جتا ٤٥ درجة يساوي ثلاثة.

الخطوة التالية هي قسمة طرفي المعادلة على جتا ٤٥ درجة، ما يعطينا أن ﺏﺟ يساوي ثلاثة مقسومًا على جتا ٤٥ درجة. على الأغلب، لن تحتاج إلى استخدام الآلة الحاسبة لحل هذه المسألة لأن الزاوية ٤٥ درجة هي زاوية خاصة تعطينا نسب الجيب وجيب التمام والظل لها إجابة دقيقة في صورة جذور صماء. ‏‏جتا ٤٥ درجة يساوي بالضبط جذر اثنين على اثنين. يجب أن تكون على علم بكل هذه القيم. هذا يخبرنا إذن أن طول ﺏﺟ يساوي ثلاثة مقسومًا على جذر اثنين على اثنين. ولكننا نحتاج إلى تبسيط هذه الإجابة لأكثر من ذلك. للقسمة على كسر نقلب الكسر أو نعكسه ثم نضرب. إذن، ثلاثة مقسومًا على جذر اثنين على اثنين يساوي بالفعل ثلاثة مضروبًا في اثنين على جذر اثنين.

حسنًا، اثنان مقسومًا على جذر اثنين يساوي جذر اثنين فحسب. ونحن نقسم عددًا على جذره التربيعي، ومن ثم فإن نتيجة تلك الحسابات ستكون الجذر التربيعي للعدد الأصلي. إذا قسمت ١٦ على جذره التربيعي، الذي يساوي أربعة، فستكون الإجابة أيضًا أربعة، الجذر التربيعي لـ ١٦. بذلك، يصبح لدينا طول ﺏﺟ يساوي ثلاثة مضروبًا في جذر اثنين، وهو ما يمكننا ببساطة كتابته على الصورة ثلاثة جذر اثنين. هذا يتفق مع الإجابة التي أوجدناها باستخدام نظرية فيثاغورس. بذلك نكون على ثقة من أن إجابتنا، وهي أن طول ﺏﺟ يساوي ثلاثة جذر اثنين، هي إجابة صحيحة.