فيديو السؤال: إيجاد قيمة مجهولة في دالة كسرية بمعلومية المجال المشترك لدالتين كسريتين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان المجال المشترك للدالتين ﻥ واحد ﺱ يساوي ﺱ على ﺱ تربيع زائد ٦٤، وﻥ اثنين ﺱ يساوي سالب خمسة على ﺱ تربيع زائد ١١ﺱ ناقص ﺏ، هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على سالب سبعة، وسالب أربعة، فأوجد قيمة ﺏ.

حسنًا، لدينا في معطيات السؤال المجال المشترك للدالتين ﻥ واحد ﺱ، وﻥ اثنين ﺱ. لذا قبل البدء في الحل لإيجاد قيمة ﺏ، دعونا نتحقق من هاتين الدالتين. ‏ﻥ واحد ﺱ وﻥ اثنين ﺱ هما دالتان كسريتان. وهذا يعني أنهما خارج قسمة زوج من كثيرات الحدود. ونحن نعرف أن مجال أي دالة كسرية هو مجموعة الأعداد الحقيقية، عدا أي قيمة لـ ﺱ تجعل المقام يساوي صفرًا.

ما سنفعله إذن هو تحديد مجال كل من ﻥ واحد وﻥ اثنين. ولفعل ذلك، سنجعل المقام يساوي صفرًا في كلتا الحالتين. وستكون هذه هي قيم ﺱ التي يمكننا استبعادها من مجال هاتين الدالتين. بعد ذلك، يمكننا استخدام هذه المعلومات لتحديد المجال المشترك لهما ومقارنته.

هيا نبدأ بجعل ﺱ تربيع زائد ٦٤ يساوي صفرًا. للحل لإيجاد قيمة ﺱ، سنبدأ بطرح ٦٤ من كلا الطرفين. وهذا سيعطينا المعادلة ﺱ تربيع يساوي سالب ٦٤. الخطوة التالية هي حساب الجذر التربيعي الموجب والسالب لسالب ٦٤. لكننا نعلم أننا لن نحصل بذلك على قيمة حقيقية. لذا، لا توجد حلول حقيقية للمعادلة ﺱ تربيع زائد ٦٤ يساوي صفرًا. وعليه، فإن مجال ﻥ واحد ﺱ هو في الواقع مجموعة الأعداد الحقيقية. وبما أنه لا توجد قيم تجعل المقام يساوي صفرًا، فلن تكون هناك قيم لـ ﺱ يتعين علينا أن نستبعدها من المجال.

لكن ماذا عن مجال ﻥ اثنين ﺱ؟ مرة أخرى، إنه مجموعة الأعداد الحقيقية، لكن علينا استبعاد جميع قيم ﺱ التي تجعل التعبير ﺱ تربيع زائد ١١ﺱ ناقص ﺏ يساوي صفرًا. نحن نحاول عادة تحليل الطرف الأيمن. لكن ﺏ ثابت مجهول؛ لذا لا يمكننا التحليل هنا.

بدلًا من ذلك، دعونا نفكر في المعطيات الواردة في السؤال عن المجال المشترك. إنه مجموعة القيم الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على سالب سبعة وسالب أربعة. ونحن نعرف أنه لا توجد قيم مستبعدة لـ ﻥ واحد ﺱ. وهذا يعني أنه إذا كان ﺱ يساوي سالب سبعة، أو إذا كان ﺱ يساوي سالب أربعة، فهذا يجعل المقام ﺱ تربيع زائد ١١ﺱ ناقص ﺏ يساوي صفرًا.

لذا، لإيجاد قيمة ﺏ، أي ﺱ تربيع زائد ١١ﺱ ناقص ﺏ يساوي صفرًا عند ﺱ يساوي سالب سبعة، سنعوض بـ ﺱ يساوي سالب سبعة. بعد التعويض، نحصل على سالب سبعة تربيع زائد ١١ في سالب سبعة ناقص ﺏ يساوي صفرًا. يبسط الطرف الأيمن إلى سالب ٢٨ ناقص ﺏ. ثم بإضافة ﺏ إلى طرفي المعادلة، نحصل على ﺏ يساوي سالب ٢٨.

إذن، نحن نفترض هنا أن قيمة ﺏ التي تجعل التعبير ﺱ تربيع زائد ١١ﺱ ناقص ﺏ يساوي صفرًا، حيث يستبعد المجال أيضًا ﺱ يساوي سالب سبعة وﺱ يساوي سالب أربعة، تساوي سالب ٢٨. لكن دعونا نتحقق من ذلك بالتعويض بـ ﺱ يساوي سالب أربعة. سالب أربعة تربيع زائد ١١ في سالب أربعة ناقص ﺏ يساوي صفرًا، وهو ما يبسط أيضًا إلى سالب ٢٨ ناقص ﺏ يساوي صفرًا، ومن ثم فإن قيمة ﺏ تساوي سالب ٢٨.

إذن، بمعلومية المجال المشترك للدالتين، وجدنا أن قيمة ﺏ تساوي سالب ٢٨.