نسخة الفيديو النصية
أي من الدوال الآتية لا تساوي دالتها العكسية؟ هل هي: أ) الدالة ﺩﺱ تساوي سالب ثمانية ناقص ﺱ، أم ب) الدالة ﺩﺱ تساوي سالب ثمانية على ﺱ، أم ج) الدالة ﺩﺱ تساوي ثمانية ﺱ، أم د) الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ، أم هـ) الدالة ﺩﺱ تساوي سالب أربعة على ﺱ؟
تأخذ الدالة ﺩ مدخلًا وتعطينا مخرجًا. أما الدالة العكسية للدالة ﺩ، فتعكس هذه العملية؛ إذ تأخذ مخرجًا وتعيده إلى المدخل. وهذه المسألة تدور حول الدوال التي تساوي دوالها العكسية. وهذا يعني أن الدالة ﺩ التي تمثل الدوال العكسية، والتي تكتب ﺩ سالب واحد، والتي تأخذ المخرج وتعيده مرة أخرى إلى المدخل، تساوي تمامًا الدالة ﺩ. ومن ثم، يمكننا التخلص من سالب واحد هذا.
لنجرب الدالة في الخيار أ) الدالة ﺩﺱ تساوي سالب ثمانية ناقص ﺱ. ما مخرج هذه الدالة عندما يكون المدخل يساوي واحدًا؟ عند التعويض عن ﺱ بواحد، نحصل على سالب ثمانية ناقص واحد، وهو ما يساوي سالب تسعة. إذن، الدالة ﺩ تأخذ المدخل واحد وتخرجه سالب تسعة. هل تأخذ الدالة ﺩ المخرج سالب تسعة وتعيده إلى المدخل واحد؟ لا بد وأن الدالة ﺩ تفعل ذلك إذا كانت تساوي دالتها العكسية. لنجرب ذلك. الدالة ﺩ لسالب تسعة تساوي سالب ثمانية ناقص سالب تسعة، وهو ما يساوي واحدًا. إذن، الدالة ﺩ تأخذ المخرج سالب تسعة وتعيده إلى واحد. ولكن لا يكفي أن تأخذ الدالة ﺩ مخرجًا واحدًا وتعيده إلى مدخله؛ بل يجب أن تفعل هذا مع جميع أزواج المدخلات والمخرجات.
بالنسبة للمدخل العام ﺱ، فالمخرج يساوي سالب ثمانية ناقص ﺱ. وكما هي الحال مع الأعداد، نجعل هذا المخرج مدخلًا في الدالة ﺩ، ونرى ما إذا كنا نحصل على المدخل مرة أخرى. الدالة ﺩ للمخرج سالب ثمانية ناقص ﺱ تساوي سالب ثمانية ناقص سالب ثمانية ناقص ﺱ. هنا، عوضنا فقط عن ﺱ في تعريف الدالة ﺩﺱ بسالب ثمانية ناقص ﺱ. وبفك القوسين، نحصل على سالب ثمانية زائد ثمانية زائد ﺱ، وهو ما يساوي ﺱ. إذن، حصلنا على المدخل مرة أخرى. بالنسبة لأي مدخل ﺱ، المخرج يساوي سالب ثمانية ناقص ﺱ، وبإدخال ذلك المخرج مرة أخرى إلى الدالة ﺩ نحصل على المدخل مرة أخرى. إذن، الدالة ﺩ تساوي دالتها العكسية. إذن، هذه ليست الدالة التي نبحث عنها، فنحن نبحث عن الدالة التي لا تساوي دالتها العكسية.
لننتقل، إذن، إلى تجربة خيار الإجابة ب) الدالة ﺩﺱ تساوي سالب ثمانية على ﺱ. بالنسبة للمدخل ﺱ، نحصل على مخرج يساوي سالب ثمانية على ﺱ. وبإعادة إدخال هذا المخرج مرة أخرى كمدخل للدالة، نحصل على الدالة ﺩ لسالب ثمانية على ﺱ. وبالتعويض عن ﺱ بسالب ثمانية على ﺱ في تعريف الدالة ﺩﺱ، نحصل على الدالة ﺩ لسالب ثمانية على ﺱ تساوي سالب ثمانية على سالب ثمانية على ﺱ. وبضرب البسط والمقام في ﺱ، نحصل على سالب ثمانية ﺱ على سالب ثمانية، ما يمكن تبسيطه إلى ﺱ فحسب. إذن، الدالة ﺩ تأخذ المدخل ﺱ وتحوله إلى مخرج سالب ثمانية على ﺱ. وهي تأخذ أيضًا المخرج سالب ثمانية على ﺱ وتعيده إلى المدخل ﺱ. إذن، كما هي الحال في خيار الإجابة أ)، يمكننا أن نرى أن الدالة ﺩﺱ الواردة في خيار الإجابة (ب) تساوي دالتها العكسية.
نذكر هنا ملاحظة سريعة، وهي أنه لا داعي للقلق بشأن ﺱ على ﺱ يساوي صفرًا على صفر؛ لأن ﺱ يساوي صفرًا ليس في مجال الدالة.
لننتقل إلى خيار الإجابة: (ج) الدالة ﺩﺱ تساوي ثمانية ﺱ. إذن، المدخل ﺱ يتحول إلى المخرج ثمانية ﺱ. إلى أين تأخذ الدالة ﺩ هذا المخرج، ثمانية ﺱ؟ تأخذه إلى ثمانية في ثمانية ﺱ، وهو ما يساوي ٦٤ﺱ. وهذه ليست قيمة المدخل ﺱ التي بدأنا بها. ومن أجل الحصول على مثال ملموس، لنأخذ ﺱ يساوي واحدًا. بإدخال المدخل واحد إلى الدالة ﺩ، نحصل على المخرج ثمانية، وبالتالي، فإن الدالة العكسية ستأخذ المدخل ثمانية وتعيده في صورة المخرج واحد. وسوف تأخذ الدالة العكسية المخرج ثمانية وتعيده إلى المدخل واحد. ولكن يمكننا أن نرى أن ﺩ لثمانية تساوي ثمانية في ثمانية، وهو ما يساوي ٦٤. إذن، الدالة ﺩ العكسية لا تساوي الدالة ﺩ. ومن ثم، فهذه الدالة، ﺩ، لا تساوي دالتها العكسية. إذن هذه هي إجابة سؤالنا. الدالة ﺩﺱ تساوي ثمانية ﺱ لا تساوي دالتها العكسية.
وبقليل من العمل، يمكنك أن ترى أنه في خيار الإجابة ج)، الدالة ﺩ العكسية في المتغير ﺱ تساوي ﺱ على ثمانية. علينا فحسب أن نتحقق سريعًا من أن الدالتين في خياري الإجابة د) و هـ) تساويان دالتيهما العكسيتين. المدخل ﺱ يعطينا المخرج ﺱ. وعند إدخال هذا المخرج ﺱ في الدالة ﺩ، نحصل على هذا المدخل مرة أخرى. إذن، الدالة في خيار الإجابة د) تساوي دالتها العكسية. وعملية إثبات أن الدالة في خيار الإجابة هـ) تساوي دالتها العكسية هي العملية نفسها المستخدمة في خيار الإجابة ب)، باستثناء استخدام أربعة بدلًا من ثمانية.
نستنتج من هذا أن، من بين خياراتنا الخمسة، الدالة الوحيدة التي لا تساوي دالتها العكسية هي الدالة في خيار الإجابة ج): ﺩﺱ تساوي ثمانية ﺱ.
