فيديو السؤال: تكوين مجموعة من المتباينات ودالة الهدف لمسألة برمجة خطية في سياق واقعي الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

تنتج ورشة بها عاملان نوعين من المكاتب المعدنية: النوع ﺃ والنوع ﺏ. يقوم أحد العاملين بتصنيع المكاتب، ويقوم الآخر بطلائها. يستغرق العامل الأول أربع ساعات لصناعة وحدة واحدة من النوع ﺃ، وثلاث ساعات لصناعة وحدة واحدة من النوع ﺏ. في حين يستغرق العامل الثاني ثلاث ساعات لطلاء وحدة واحدة من النوع ﺃ، وأربع ساعات لطلاء وحدة واحدة من النوع ﺏ. يعمل العامل الأول خمس ساعات على الأقل يوميًّا، ويعمل الآخر سبع ساعات يوميًّا كحد أقصى. إذا كانت الورشة تحقق ربحًا قيمته ٦٠ جنيهًا مصريًّا من كل وحدة، فأوجد دالة الهدف والمتباينات المطلوبة لحساب عدد الوحدات اللازم إنتاجها يوميًّا من كل نوع للحصول على أعلى قيمة للربح ر.

هذا مثال على مسألة برمجة خطية. ومطلوب منا إيجاد دالة الهدف. هذه دالة خطية في متغيرين ويمكن استخدامها لإيجاد الحل الأمثل. وفي هذا السؤال، ستستخدم هذه الدالة للحصول على أعلى قيمة للربح ر.

في أي مسألة واقعية، توجد قيود أو شروط مثل الوقت والمال. تكتب هذه القيود على صورة مجموعة من المتباينات. سنبدأ بجعل ﺱ عدد المكاتب من النوع ﺃ، وﺹ عدد المكاتب من النوع ﺏ التي تنتج يوميًّا. بما أن عدد المكاتب من كل نوع لا يمكن أن يكون سالبًا، فإن أول متباينتين هما: ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا، وﺹ أكبر من أو يساوي صفرًا.

نعلم من المعطيات أن العامل الأول الذي يقوم بتصنيع المكاتب يستغرق أربع ساعات لصناعة وحدة من النوع ﺃ، وثلاث ساعات لصناعة وحدة من النوع ﺏ. وعليه، فإن الوقت الكلي الذي يستغرقه في صناعة المكاتب يوميًّا يمكن كتابته على صورة التعبير: أربعة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ. علمنا أنه يعمل لمدة خمس ساعات على الأقل يوميًّا. وهذا يعني أن أربعة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ يجب أن يكون أكبر من أو يساوي خمسة. يستغرق العامل الثاني ثلاث ساعات لطلاء وحدة من النوع ﺃ، وأربع ساعات لطلاء وحدة من النوع ﺏ. إذن، فإن الوقت الكلي الذي يستغرقه في العمل يوميًّا يمكن كتابته على الصورة: ثلاثة ﺱ زائد أربعة ﺹ. وبما أنه يستغرق سبع ساعات يوميًّا كحد أقصى، فإن هذا يجب أن يكون أقل من أو يساوي سبعة.

أصبحت لدينا الآن مجموعة مكونة من أربع متباينات أو قيود. ‏ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا. وﺹ أكبر من أو يساوي صفرًا. وأربعة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ أكبر من أو يساوي خمسة. وثلاثة ﺱ زائد أربعة ﺹ أقل من أو يساوي سبعة. خطوتنا الأخيرة هي إيجاد دالة الهدف التي ستساعدنا في الحصول على أعلى قيمة للربح ر.

علمنا أن الورشة تحقق ربحًا قيمته ٦٠ جنيهًا مصريًّا من كل وحدة. إذن، الربح ر يساوي ٦٠ﺱ زائد ٦٠ﺹ. وعلى الرغم من أن هذا ليس مطلوبًا في السؤال، فإنه يمكننا إيجاد أقصى ربح بتمثيل المتباينات الأربع بيانيًّا على المستوى الإحداثي ﺱﺹ أولًا. وهذا يكون منطقة حل. ونحن نعلم أن الحل الأمثل يوجد عند أحد رءوس منطقة الحل هذه.