فيديو السؤال: حل متباينة تربيعية باستخدام التحليل ورسم التمثيل البياني الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

حل ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص ستة أصغر من صفر.

لحل هذه المتباينة، علينا أولًا إيجاد بعض القيم الحرجة. ولفعل ذلك، سنحول المتباينة إلى معادلة. إذن ما سنفعله هو أننا سنجعل ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص ستة يساوي صفرًا. ثم نحل هذه المعادلة التربيعية. وسيعطينا هذا القيمتين اللتين يقطع عندهما منحنى الدالة التربيعية المحور ﺱ.

وطريقة حل هذه المعادلة التربيعية ستكون باستخدام التحليل. عندما نفعل ذلك، يكون الناتج ﺱ ناقص ثلاثة مضروبًا في ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا. وذلك لأننا إذا فكرنا في العددين اللذين علينا ضربهما معًا للحصول على سالب ستة، فستكون الإجابة سالب ثلاثة وموجب اثنين. كان بإمكاننا استخدام قيم أخرى، فمثلًا كان يمكننا ضرب سالب ستة في واحد، أو ستة في سالب واحد، أو حتى سالب اثنين في ثلاثة.

ولكن لا بد أن يساوي مجموعهما سالب واحد. وذلك لأن سالب واحد هو معامل حد ﺱ. حسنًا، سالب ستة زائد واحد يساوي سالب خمسة. وستة زائد سالب واحد يساوي خمسة. وسالب اثنين زائد ثلاثة يساوي واحدًا. أي إن حاصل جمع أي من أزواج هذه القيم ليس سالب واحد. إذن، العاملان الصحيحان هما العاملان اللذان أوجدناهما، وهما سالب ثلاثة واثنان. وذلك لأننا إذا أضفنا اثنين إلى سالب ثلاثة، فسنحصل على سالب واحد.

حسنًا، نحلل الآن، وهو ما يعني أنه يمكننا القول إن القيمة الحرجة ستكون ﺱ يساوي ثلاثة أو ﺱ يساوي سالب اثنين. وقد أوجدنا ذلك بمساواة كل من القوسين بالصفر. وذلك لأن أحد زوجي الأقواس يجب أن يكون مساويًا لصفر لأن صفرًا مضروبًا في أي قيمة يساوي صفرًا، وهو ما نريده. زوج الأقواس الأيسر يعد مثالًا على ذلك، لأن ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا. ثم نطرح اثنين من كلا الطرفين. فيكون الناتج ﺱ يساوي سالب اثنين، وهو ما أوجدناه من قبل.

ممتاز، لقد أوجدنا القيم الحرجة. لكن ما الخطوة التالية؟ كيف يمكننا حل المتباينة؟ حسنًا، إذا رسمنا المعادلة التربيعية، فسنجد أن لدينا نقطتين عند سالب اثنين وثلاثة يقطع المنحنى عندهما المحور ﺱ؛ لأن هذه هي الحلول، أو القيم الحرجة. ومعلوم لدينا أن التمثيل البياني هو عبارة عن قطع مكافئ على شكل حرف ‪U‬‏ لأن حد ﺱ تربيع موجب. وإذا كان هذا الحد موجبًا، فسيكون القطع المكافئ على شكل حرف ‪U‬‏. أما إذا كان هذا الحد سالبًا، فسيكون لدينا قطع مكافئ على شكل حرف ‪n‬‏ أو حرف ‪U‬‏ مقلوب.

والآن، لحل هذه المتباينة، علينا النظر إلى علامة المتباينة. وما يعنينا هو عندما يكون ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص ستة أصغر من صفر. ومن ثم فما يعنينا هو هذه المنطقة هنا، وهي المنطقة التي تقع أسفل المحور ﺱ، أي حيث قيم ﺹ تكون أصغر من صفر. لذا يمكننا القول إن المتباينة التي تمثل هذا هي ﺱ أكبر من سالب اثنين وأصغر من ثلاثة.

وإذا أردنا توضيح هذا باستخدام ترميز الفترة، فسنضع قوسًا مربعًا مفتوحًا ثم نضع سالب اثنين ثم فاصلة ثم ثلاثة، بعدها قوسًا مربعًا مفتوحًا. ونستخدم زوجي الأقواس هذين لأنهما يوضحان أن العددين سالب اثنين وثلاثة غير واقعين داخل الفترة. وذلك لأن ﺱ أكبر من سالب اثنين وأصغر من ثلاثة. لو كانت الفترة تتضمن تلك القيم، أي س أكبر من أو يساوي سالب اثنين أو أصغر من أو يساوي ثلاثة، كنا سنستخدم الأقواس المربعة المغلقة.