نسخة الفيديو النصية
أوجد مجال الدالة الممثلة بالتمثيل البياني. ما مدى الدالة؟
في هذا السؤال، لدينا التمثيل البياني لدالة ما، ومطلوب منا إيجاد مجالها ومداها. يمكننا البدء بتذكر ما نعنيه بمجال الدالة. مجال الدالة هو مجموعة كل القيم المدخلة لهذه الدالة. وعلينا إيجاد هذه المجموعة من التمثيل البياني. ولفعل ذلك، علينا أن نتذكر ما نعنيه بالتمثيل البياني للدالة. عندما نرسم تمثيلًا بيانيًّا لدالة، فإننا نرسمه على زوج من محاور الإحداثيات. يخبرنا الإحداثي ﺱ لنقطة تقع على التمثيل البياني بالقيمة المدخلة، ويخبرنا الإحداثي ﺹ المناظر بالقيمة المخرجة المناظرة.
على سبيل المثال، يمكننا ملاحظة أن النقطة التي إحداثياتها سبعة، ثلاثة تقع على التمثيل البياني. إذاسمينا الدالة ﺩﺱ، فهذا يخبرنا أن سبعة هي قيمة مدخلة للدالة، وأن ثلاثة هي القيمة المخرجة المناظرة. وبعبارة أخرى، قيمة ﺩ عند سبعة تساوي ثلاثة. ونريد تحديد جميع القيم المدخلة للدالة، ومن ثم، يخبرنا هذا التمثيل البياني أن سبعة هي قيمة مدخلة للدالة. ويقع العدد سبعة ضمن مجال ﺩﺱ. توجد طريقة أخرى للتفكير في ذلك، وهي أن تخبرنا قيم الإحداثي ﺱ للنقاط الواقعة على المنحنى بالقيم المدخلة. فعلى سبيل المثال، يمكننا ملاحظة أن النقطة التي إحداثيها ﺱ يساوي أربعة تقع على المنحنى. ويقع العدد أربعة أيضًا ضمن مجال الدالة. علينا تحديد جميع القيم المدخلة للدالة، لذا علينا تحديد جميع القيم الممكنة للإحداثي ﺱ للنقاط التي تقع على هذا المنحنى.
ولفعل ذلك، يمكننا البدء بملاحظة أن المنحنى يتوقف عند ﺱ يساوي سالب اثنين. يمكننا ملاحظة أن سالب اثنين يقع على المنحنى. ومع ذلك، لا توجد أي نقطة على المنحنى قيمة الإحداثي ﺱ لها أقل من سالب اثنين. لذا، فإن جميع القيم الأقل من سالب اثنين لن تقع ضمن مجال الدالة. بعد ذلك، من المهم إدراك أن التمثيل البياني لهذه الدالة سيستمر إلى ما لا نهاية، وهذا يعني أنه يمكننا أن نأخذ في اعتبارنا أي قيمة مدخلة ﺱ أكبر من أو تساوي سالب اثنين. وبناء عليه، فإن مجال هذه الدالة هو مجموعة كل القيم الأكبر من أو تساوي سالب اثنين. علينا كتابة ذلك باستخدام ترميز الفترة. ونريد تضمين القيمة سالب اثنين. ومن ثم، نبدأ بقوس فترة مغلقة، ونريد كل القيم حتى ∞. إلا أن هذا يحتوي على قوس فترة مفتوحة لأننا لا نقوم بتضمين هذه القيمة. ومن ثم، هذا يعطينا مجال الدالة.
والآن، لننتقل إلى الجزء الثاني من السؤال. نريد إيجاد مدى هذه الدالة. نتذكر أن مدى الدالة هو مجموعة كل القيم المخرجة للدالة بمعلومية مجالها. لإيجاد تلك المجموعة من التمثيل البياني المعطى، لنبدأ بإخلاء بعض المساحة. لقد رأينا بالفعل أن قيم مخرجات الدالة معطاة بواسطة قيم الإحداثي ﺹ للنقاط التي تقع على التمثيل البياني. على سبيل المثال، رأينا أنه بما أن النقطة التي لها الإحداثيات سبعة، ثلاثة تقع على التمثيل البياني، وإذا سمينا الدالة ﺩ، فسنجد أن قيمة ﺩ عند سبعة تساوي ثلاثة؛ وثلاثة هو أحد عناصر مدى الدالة. ومن ثم، فإن مدى الدالة يساوي مجموعة كل قيم الإحداثي ﺹ للنقاط التي تقع على تمثيلها البياني.
يمكننا بعد ذلك إيجاد مدى دالة ما بيانيًّا. على سبيل المثال، نلاحظ أن اثنين يقع ضمن مدى الدالة. توجد نقطة على المنحنى قيمة الإحداثي ﺹ لها تساوي اثنين، لكن علينا إيجاد جميع قيم الإحداثي ﺹ التي تقع عليه. في هذه الحالة، يمكننا ملاحظة أنه توجد نقطة قيمة الإحداثي ﺹ لها أقل. تقع النقطة التي إحداثياتها سالب اثنين، صفر على المنحنى. ولا توجد أي نقطة لها قيمة إحداثي ﺹ أقل تقع على المنحنى. إذن، يقع الصفر ضمن مدى الدالة، ولا توجد قيمة أقل من صفر في مداها. ولإيجاد باقي مدى هذه الدالة، علينا مجددًا تذكر أن المنحنى سيستمر إلى ما لا نهاية.
في التمثيل البياني، يتضح أنه لا يوجد خط تقارب أفقي للدالة، ومن ثم يمكننا استنتاج أن الدالة غير محدودة. ستكون أي قيمة موجبة لـ ﺹ ضمن المدى أيضًا. وبناء عليه، يحتوي مدى هذه الدالة على جميع القيم الأكبر من أو تساوي صفرًا. نتذكر هنا أن علينا كتابة ذلك على صورة فترة. ونريد تضمين القيمة صفر، إذن نستخدم قوس فترة مغلقة. ونريد أن نكمل حتى ∞، لذا نكتب قوس فترة مفتوحة، لأن ∞ ليست متضمنة. وبهذا نحصل على الإجابة النهائية. مجال الدالة الممثلة في التمثيل البياني هو مجموعة كل القيم الأكبر من أو تساوي سالب اثنين، ومدى الدالة هو مجموعة كل القيم الأكبر من أو تساوي صفرًا.
