فيديو الدرس: ترتيب العمليات: إيجاد قيمة المقادير العددية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتناول ترتيب العمليات. وعليك حفظ هذا الترتيب عن ظهر قلب لتتمكن من استخدامه لإيجاد قيمة أي مقدار.

عندما تكون لديك مقادير معقدة يتعين إيجاد قيمتها، عليك تحديد الأجزاء التي يجب حسابها أولًا، والأجزاء التي يجب حسابها ثانيًا، وهكذا. إذن، سنبدأ باستعراض القواعد ثم نذكر بعض الأمثلة. أول ما نبدأ به هو الأقواس. وهو يتعلق فعلًا بالأقواس أو التجميع.

من أمثلة ذلك عندما تكون لديك أقواس دائرية، كما في ثلاثة زائد خمسة. وقد يكون لديك أقواس مربعة، كما في أربعة ناقص اثنين. أو قد يكون لديك كسر والبسط يتضمن عملية تجميع، فيتعين عليك حينها أن تبقي الثلاثة والستة معًا، فيما يعرف بالتجميع. على سبيل المثال، لدينا مقدار كهذا: خمسة زائد ثلاثة بين قوسين، ثم مضروبًا في ستة. علينا إيجاد قيمة خمسة زائد ثلاثة أولًا، وكما هو واضح فإن خمسة زائد ثلاثة يساوي ثمانية. وعندما ننتهي من إيجاد قيمة ما بين الأقواس، فإنه يمكننا التخلص منها. وبالتالي، يصبح ذلك ثمانية في ستة، وهو ما يساوي ٤٨.

وهذا مثال آخر: خمسة زائد ثلاثة الكل على اثنين. حسنًا هذا يعني خمسة زائد ثلاثة مقسومًا على اثنين. ولكن نظرًا لأن خمسة زائد ثلاثة موجود في البسط، فهذا يعني أنه يتعين علينا حساب ذلك أولًا؛ نظرًا لتجميعهما معًا. ومن ثم، نتعامل كما لو أن لدينا أقواسًا في البسط. بحساب ذلك أولًا، يصبح الكسر لدينا ثمانية على اثنين. وكما هو واضح، فإن ثمانية على اثنين لا تستلزم وجود الأقواس. وثمانية على اثنين تعني ثمانية مقسومًا على اثنين، وثمانية مقسومًا على اثنين يساوي أربعة. لنتناول مثالًا آخر، ثلاثة زائد اثنين بين قوسين في سبعة ناقص اثنين بين قوسين. كما نعلم، علينا إيجاد قيمة الأقواس أولًا. لكن لدينا زوجان من الأقواس، فماذا نفعل؟ حسنًا، نبدأ باليمين أولًا ثم اليسار. إذن، نبدأ بزوج الأقواس الأيمن ثم زوج الأقواس الأيسر. ثلاثة زائد اثنين يساوي خمسة، ومن ثم فهو نفسه خمسة في سبعة ناقص اثنين. والآن، يمكننا إيجاد قيمة زوج الأقواس الأيسر. سبعة ناقص اثنين يساوي خمسة، وبذلك يصبح لدينا خمسة في خمسة، أي ٢٥.

إذن، من المهم أن تتذكر في ترتيب العمليات أنه إذا كان لحدين مختلفين الأولوية نفسها، كأن يكون كل منهما موضوعًا بين قوسين، فإننا نبدأ الحل من اليمين إلى اليسار. لذلك بدأنا بهذا القوس ثم بهذا القوس. والآن، ننتقل إلى العملية التالية، وتتعلق بالأسس. على سبيل المثال، ﺱ تربيع، أي ﺱ أس اثنين. وبعد إيجاد قيمة ما بين أي قوسين، يجب عليك إيجاد قيمة الأسس، وينبغي الانتباه جيدًا للتأكد من تطبيق كل أس على الأساس الخاص به فقط. لنتناول بعض الأمثلة. اثنان زائد ثلاثة تربيع. حسنًا، لدينا أقواس هنا، ومن ثم علينا إيجاد قيمتها أولًا. اثنان زائد ثلاثة يساوي خمسة، وهذا يساوي خمسة تربيع، وهو ما يعني خمسة في خمسة، ومن ثم فالناتج هو ٢٥.

ولكن ماذا لو بدأنا باثنين زائد ثلاثة تربيع دون أي أقواس؟ حسنًا، إذا لم توجد أقواس، فليس ثمة ما نفعله هنا. وبالتالي، سنتعامل مباشرة مع الأسس. علينا إيجاد قيمة ثلاثة تربيع، وهو ما يعني ثلاثة في ثلاثة، أي تسعة، واثنان زائد تسعة يساوي ١١. لذلك من المهم أن نعرف أن هذا الأس يطبق على هذا الأساس فقط، أي الثلاثة، وليس على اثنين زائد ثلاثة معًا. ولعل الأمر كان يتطلب أقواسًا هنا لفرض ذلك. حسنًا، ماذا عن هذا، سالب ثلاثة تربيع؟ حسنًا، لا توجد أقواس، ومن ثم لا داعي للقلق بشأن ذلك. ويلي هذا في القائمة الأسس، لذلك يجب أن نحسب ثلاثة تربيع. ماذا عن إشارة السالب الموضوعة أمام الثلاثة؟ يمكن تفسير ذلك على أنه سالب واحد في ثلاثة تربيع أو على أنه ناقص ثلاثة تربيع، أي سالب ثلاثة تربيع فحسب. في كلتا الحالتين، سواء الضرب أو الطرح، فإن ترتيبها في القائمة بعد الأسس. إذن، علينا بداية إيجاد قيمة ثلاثة تربيع. ثلاثة تربيع يساوي تسعة، وبذلك يصبح لدينا سالب تسعة. إذن هذه هي الإجابة: سالب تسعة. ولكن، قد يتساءل بعضكم قائلًا: ‪“‬‏مهلًا! سالب ثلاثة تربيع يعني سالب ثلاثة في سالب ثلاثة. ومن ثم، يفترض أن يكون الناتج موجب تسعة!‪”‬‏ ولكن، ينبغي الانتباه إلى طريقة الكتابة؛ فلم نكتب سالب ثلاثة الكل تربيع، بل كتبنا فقط سالب ثلاثة تربيع. والآن إذا كنا قد كتبنا سالب ثلاثة بين قوسين، لتم تربيع القوس بأكمله. وهذا يعني سالب ثلاثة في سالب ثلاثة، أي تسعة. ولذا، عليك الانتباه إلى ذلك جيدًا.

ويلي ذلك في القائمة الضرب أو القسمة. مرة أخرى، من المهم حقًّا أن نتذكر أن الضرب والقسمة لهما نفس الأولوية؛ فكلاهما يحظى بنفس الترتيب في هذه القائمة. لكنك تتعامل مع المقدار الذي تحاول إيجاد قيمته من اليمين إلى اليسار. على سبيل المثال، ١٥ على خمسة في اثنين. فكوننا نذكر الضرب قبل القسمة عادة لا يعني ذلك بالضرورة إجراء عملية الضرب أولًا دائمًا. فأنت تحل من اليمين إلى اليسار، أتذكر؟ إنهما متساويان من حيث الأولوية، ولذا سنحل أولًا ١٥ على خمسة، وهو ما يساوي ثلاثة، وبذلك يصبح لدينا ثلاثة في اثنين. والآن، لا يتبقى لدينا إلا إيجاد قيمة ثلاثة في اثنين، وهو ما يساوي ستة. لنلق نظرة على هذا: اثنان في ثلاثة زائد أربعة في خمسة. حسنًا، لا توجد أقواس، ولا توجد أسس، لكن لدينا عمليتا ضرب، لذلك سنتابع الحل من اليمين إلى اليسار. سنحل هذا أولًا. اثنان في ثلاثة يساوي ستة، وبذلك يصبح لدينا ستة زائد أربعة في خمسة. ثم نحل هذا، أربعة في خمسة يساوي ٢٠، وبذلك يصبح لدينا ستة زائد ٢٠، وهو ما يساوي ٢٦.

ويأتي في الترتيب الأخير في القائمة الجمع أو الطرح. مرة أخرى، كلاهما له نفس الأولوية في هذه القائمة، ومن ثم عليك متابعة الحل في هذا المقدار من اليمين إلى اليسار. على سبيل المثال، واحد زائد اثنين ناقص ثلاثة. لدينا عملية جمع وعملية طرح. سنحل هذا المقدار من اليمين إلى اليسار. واحد زائد اثنين يساوي ثلاثة، ومن ثم يصبح لدينا ثلاثة ناقص ثلاثة. وثلاثة ناقص ثلاثة يساوي صفرًا، وهذه هي الإجابة. لنتناول مثالًا آخر: خمسة ناقص اثنين زائد ثلاثة. لدينا عملية طرح وعملية جمع. وبما أن ترتيب عمليتي الجمع والطرح واحد، إذن ليس عليك البدء بعملية الجمع أولًا، بل علينا أن نتابع الحل في هذا المقدار من اليمين إلى اليسار. سنبدأ أولًا بحساب خمسة ناقص اثنين، وهو ما يساوي ثلاثة. وبالتالي، يصبح لدينا ثلاثة زائد ثلاثة. والآن يمكننا فقط جمع ثلاثة زائد ثلاثة، وهو ما يساوي ستة. قلنا إنه إذا كان لديك عمليتا جمع وطرح، فكلتاهما لهما نفس الأولوية، ومن ثم فإنك تبدأ الحل من اليمين إلى اليسار. ولكن إذا وضع الحدان في الطرف الأيمن من المقدار بين قوسين، فإننا نلزم الطالب بإيجاد قيمة ذلك أولًا. إذن هذه الأقواس تعني أننا سنوجد قيمة ما داخلها أولًا؛ أي سنحسب اثنين زائد ثلاثة قبل الانتقال إلى طرح الخمسة. حسنًا، اثنان زائد ثلاثة يساوي خمسة، أي خمسة ناقص خمسة، وهو ما يساوي صفرًا.

والآن، لنلق نظرة على بعض الأمثلة العامة. ‏١١ ناقص ١٠ على خمسة في أربعة زائد ثلاثة تربيع. ليس لدينا أي أقواس، ومن ثم ليس ثمة ما نفعله هنا. هل توجد أسس؟ نعم، لدينا بعض الأسس، لذلك ينبغي إيجاد قيمتها أولًا. ثلاثة تربيع يساوي تسعة، وبذلك يصبح لدينا ١١ ناقص ١١ على خمسة في أربعة زائد تسعة. هل لدينا أي عملية ضرب أو قسمة؟ نعم، لدينا، ومن ثم ينبغي حسابها بعد ذلك. لدينا عملية قسمة واحدة وعملية ضرب واحدة. وعلينا الحل من اليمين إلى اليسار، لذلك سأجري القسمة أولًا ثم أنتقل إلى الضرب. إذن، ١٠ على خمسة يساوي اثنين، وبذلك يصبح لدينا ١١ ناقص اثنين في أربعة زائد تسعة. سنضرب اثنين في أربعة. وبذلك، يصبح لدينا ١١ ناقص اثنين في أربعة، أي ١١ ناقص ثمانية، ويوجد في النهاية موجب تسعة. وهكذا، نكون انتهينا من عمليات فك الأقواس والأسس والضرب والقسمة حسب ترتيبها، وسنجري الآن الجمع والطرح. ومرة أخرى، سنتابع الحل من اليمين إلى اليسار. في البداية سنحل هذا ثم ننتقل إلى هذا. ‏١١ ناقص ثمانية يساوي ثلاثة، إذن لدينا ثلاثة زائد تسعة، أي ما يساوي ١٢.

لنتناول مثالًا آخر، أربعة في، نفتح القوس، اثنين في اثنين، نغلق القوس، على أربعة في، نفتح القوس، اثنين زائد اثنين، نغلق القوس. إذن لدينا زوجان من الأقواس، وسأوجد قيمة القوس الأيمن أولًا ثم القوس الأيسر. اثنان في اثنين يساوي أربعة، وبذلك يصبح لدينا أربعة في أربعة على أربعة في اثنين زائد اثنين. بإيجاد قيمة القوس الثاني نحصل على أربعة في أربعة مقسومًا على أربعة في أربعة. وهكذا، نكون انتهينا من الأقواس. لا توجد أي أسس، ومن ثم ننتقل الآن إلى الضرب والقسمة. كلاهما لهما نفس الأولوية، ومن ثم علينا متابعة الحل من اليمين إلى اليسار. سنحل هذا، ثم هذا، وأخيرًا هذا. وبذلك، نحصل على الإجابة وهي ١٦.

جدير بالذكر أن ثمة خطأ شائعًا يقع فيه الكثيرون. يرى الكثيرون هذه الأقواس هنا، فيقولون: ‪“‬‏لنوجد قيمة هذا الجزء بأكمله‪”‬‏ ثم يرون هذه الأقواس هنا فيقررون إيجاد قيمة ذلك الجزء بأكمله. ومن ثم، يتابعون هكذا: اثنان في اثنين يساوي أربعة في أربعة يساوي ١٦ واثنان زائد اثنين يساوي أربعة في أربعة يساوي ١٦. ثم يقسمون ١٦ على ١٦، ويحصلون على الناتج واحد. وهذا خطأ! ومن ثم، فإن الحل من اليمين إلى اليسار قاعدة مهمة. إذا أردنا أن يكون الناتج هو واحدًا، فيتعين علينا وضع قوسين حول كل هذا المقدار الأول وقوسين حول هذا المقدار بأكمله هنا. وعندئذ، كان سيتعين علينا حل القوسين داخل هذا القوس أولًا، ثم القوس الأيمن، ثم حل القوسين داخل هذا القوس أولًا، ثم هذا القوس. ومن ثم، كنا سنحصل على ١٦ على ١٦ يساوي واحدًا.

حسنًا لننظر إلى هذا المقدار. لدينا خمسة ناقص اثنين زائد ثلاثة الكل تربيع ناقص ثلاثة ناقص ستة تربيع على اثنين. إذن، علينا إيجاد قيمة الأقواس أولًا. وبالنظر إلى داخل الأقواس، لدينا فقط عمليتا جمع وطرح، ولذا سنبدأ الحل من اليمين إلى اليسار داخل القوس الأول. بداية، لدينا خمسة ناقص اثنين، أي ثلاثة، وبذلك يصبح لدينا ثلاثة زائد ثلاثة. والآن لدينا ثلاثة زائد ثلاثة يساوي ستة، وبذلك يصبح لدينا ستة تربيع ناقص ثلاثة ناقص ستة تربيع على اثنين. ذلك فيما يخص الأقواس. بعد ذلك، نبحث عن الأسس. لدينا اثنان: هذا الأس وهذا الأس. بإيجاد قيمة الأس الأول أولًا، يصبح الناتج ٣٦. والآن ننتقل إلى إيجاد قيمة الأس الثاني، وهو أيضًا ستة تربيع. ومن ثم، فهو يساوي أيضًا ٣٦. حسنًا، لا يوجد مزيد من الأسس، ومن ثم ننتقل الآن إلى الضرب والقسمة. حسنًا، لا توجد عملية ضرب، لكن توجد عملية قسمة هنا: ٣٦ على اثنين يساوي ١٨. ويتبقى لدينا عمليتا جمع وطرح، في الواقع عملية طرح فقط. لدينا ٣٦ ناقص ثلاثة ناقص ١٨، نبدأ بحل عملية الطرح الأولى أولًا. ‏٣٦ ناقص ثلاثة يساوي ٣٣، و٣٣ ناقص ١٨ يساوي ١٥، وهذه هي الإجابة.

والآن لنتناول هذا المثال، لدينا مجموعتان من الأقواس: إحداهما داخلية والأخرى خارجية. لذلك سنوجد قيمة المجموعة الداخلية أولًا. وداخل هذه المجموعة، لدينا ٢٥ على خمسة ناقص اثنين، وبذلك يصبح لدينا عملية قسمة وعملية طرح. باسترجاع ترتيب إجراء العمليات الحسابية، تتبين لنا ضرورة إجراء القسمة أولًا قبل الطرح. ومن ثم، يبدو أن أول ما علينا هو إيجاد قيمة عملية القسمة هنا، ونتدرج هكذا مع بقية العمليات التي تلي الأقواس في القائمة. لكن تذكر أننا نتعامل مع القوس الداخلي، ومن ثم ٢٥ على خمسة يساوي خمسة. علينا الآن إيجاد قيمة خمسة ناقص اثنين، وهي بين قوسين أيضًا. وخمسة ناقص اثنين يساوي ثلاثة، وبذلك يصبح القوس هنا ثلاثة تربيع. ما زال لدينا قوس، لذا علينا إيجاد قيمته. إذن، تصبح قيمة القوس بأكمله ثلاثة تربيع ناقص واحد الكل تربيع. علي إيجاد قيمة القوس أولًا، ثلاثة تربيع ناقص واحد. وداخل ذلك، علينا إيجاد قيمة ثلاثة تربيع أولًا لأنه أس، ثم نطرح واحدًا لأن عملية الطرح تأتي في القائمة في مرتبة لاحقة بعد الأسس. إذن، ثلاثة تربيع يساوي تسعة، وتسعة ناقص واحد يساوي ثمانية. إذن، قيمة هذه المجموعة من الأقواس هي ثمانية، ويتبقى لدينا ثمانية تربيع وهو ما يساوي ٤٦. وبناء عليه، إذا كان لديك أقواس متعددة، وكان لديك أقواس داخل الأقواس، فعليك إيجاد قيمة الأقواس الداخلية أولًا. ونظرًا لأنه قد يكون لديك داخل الأقواس نفسها بعض المقادير المعقدة، فربما تكون أول عملية حسابية فعلية تجريها هي الضرب أو القسمة أو الجمع أو الطرح. وعليك إيجاد قيمة ما داخل الأقواس أولًا قبل الانتقال إلى إيجاد قيمة أجزاء المقدار الأخرى.

حسنًا، لنتناول مثالًا آخر وأخيرًا. هذا معقد بعض الشيء. فيما يتعلق بالأقواس، لدينا مجموعتان من الأقواس، ومن ثم يمكننا إيجاد قيمة القوس الأيمن أولًا. ‏١٠ ناقص خمسة يعطينا خمسة. والآن، يوجد زوج ضمني من الأقواس هنا؛ فهذا الخط هنا الذي يفصل البسط عن المقام في الكسر يشير ضمنًا إلى تجميع كل ما في البسط. ومن ثم، يمكننا القول بأن لدينا أقواسًا ضمنية هنا. ولذا، ستكون الخطوة التالية هي إيجاد قيمة هذه الأقواس. لدي خمسة تربيع زائد خمسة، سأبدأ بخمسة تربيع أولًا، ثم سأضيف الخمسة. ‏٢٥ زائد خمسة يساوي ٣٠. وهكذا نكون قد انتهينا من الأقواس. يمكنني الآن إيجاد قيمة هذا المقدار، سالب اثنين الكل تربيع يعني سالب اثنين في سالب اثنين، أي موجب أربعة. وبما أنني انتهيت من الأقواس، يمكنني الآن البحث عن الأسس، يوجد أس هنا: اثنان تربيع. اثنان تربيع يساوي أربعة، وبذلك نكون قد انتهينا من الأقواس والأسس. والآن، ننتقل إلى الضرب والقسمة. حسنًا، لدي عملية قسمة هنا: ٣٠ على ستة، وهو ما يساوي خمسة. ويتبقى لدي الآن عملية جمع وعملية طرح فقط. سأتابع الحل من اليمين، ومن ثم سأحسب خمسة زائد أربعة أولًا ثم سأطرح أربعة. خمسة زائد أربعة يساوي تسعة، وتسعة ناقص أربعة يساوي خمسة. وهكذا، نكون قد تناولنا بعض الأمثلة. ونأمل أن يمنحك هذا فهمًا كافيًا لترتيب إجراء العمليات الحسابية بما يمكنك من إيجاد قيمة أي مقدار تراه.