فيديو الدرس: التحويل الهندسي للدوال المثلثية | نجوى فيديو الدرس: التحويل الهندسي للدوال المثلثية | نجوى

فيديو الدرس: التحويل الهندسي للدوال المثلثية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف ننقل دالة مثلثية، أو نمدها، وكيف نوجد قاعدة الدالة المثلثية بمعلومية التحويل.

٢٢:١٠

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف ننقل الدالة المثلثية، أو نمدها، وكيف نوجد قاعدة الدالة المثلثية بمعلومية التحويل. سنتمكن بعد هذا الدرس من إيجاد إحداثيي نقطة في التمثيل البياني لدالة مثلثية بعد التحويل. وسنتمكن أيضًا من نقل التمثيل البياني للدالة المثلثية في اتجاهي المحورين ﺱ وﺹ. وسنمدد أيضًا التمثيل البياني للدالة المثلثية.

حسنًا، أول ما علينا تذكره هو كيف تبدو التمثيلات البيانية للدوال المثلثية. ونلاحظ أن لدينا في هذه الصفحة الأولى التمثيلات البيانية لـ ﺹ يساوي ظا ﺱ، وﺹ يساوي جا ﺱ، وﺹ يساوي جتا ﺱ. لذا، علينا تذكر هذه التمثيلات البيانية عند تناول المسائل الواردة في هذا الدرس.

قبل أن نلقي نظرة على بعض الأسئلة، علينا الآن أن نذكر أنفسنا بكيفية إجراء تحويلات التمثيلات البيانية. لذا، سنذكر أنفسنا بكيفية تحويل التمثيلات البيانية. وإذا تذكرنا، فإننا سنتناول في هذا الدرس الانتقال والتمدد. إذا بدأنا بالانتقال، فسنجد أن لدينا ﺩﺱ زائد ﺃ أو ﺩﺱ زائد ﺃ. لكن ما الفرق بين حالتي الانتقال هاتين؟

أولًا، إذا نظرنا إلى ما يعنيه الانتقال ﺩﺱ زائد ﺃ، فسنجد أنه إزاحة مقدارها سالب ﺃ من الوحدات للتمثيل البياني في اتجاه المحور ﺱ. وهذا يعني عمليًّا أننا نطرح ﺃ من الإحداثيات ﺱ للانتقال الأول للحصول على الانتقال. وبالنسبة إلى الانتقال الثاني، فإننا نضيف ﺃ إلى الإحداثيات ﺹ.

حسنًا، سأخبركم بنصيحة بسيطة أخرى لتذكر هذين الانتقالين أو أي تحويل بصفة عامة. إذا كان التحويل موجودًا داخل القوسين، فإنه سيتضمن المحور ﺱ. وسنفعل عكس ما قد نفكر فيه. لذا، فإننا نلاحظ في هذا التحويل أنه علينا طرح ﺃ بدلًا من إضافته كما هو موضح. لكن إذا كان التحويل يحدث خارج القوسين، فإنه سيتضمن المحور ﺹ. وسنفعل ما هو متوقع. لذا، فإننا نضيف ﺃ هنا كما ذكرنا. سنضيف ﺃ إلى الإحداثيات ﺹ.

عندما ننظر إلى التمثيلات البيانية للدوال المثلثية، فإننا نجد أن الإزاحة في اتجاه المحور ﺱ تسمى إزاحة طور، وأن الإزاحة في اتجاه المحور ﺹ تسمى إزاحة رأسية. حسنًا، إليك مثالًا سريعًا. لدينا هنا التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي جتا ﺱ أو جيب تمام ﺱ، وهو محدد باللون الوردي، فإذا حركنا التمثيل البياني هذا بمقدار ٩٠ درجة إلى اليمين، أي ٩٠ درجة في اتجاه المحور ﺱ، فإننا نحصل على التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي جتا. من ثم، فإننا نحصل على ﺱ ناقص ٩٠؛ لأن هذا التحويل، كما ذكرنا من قبل، سيحدث داخل القوسين لأننا نتعامل مع المحور ﺱ. وبما أننا قد أضفنا ٩٠، فإننا سنطرح ٩٠. بذلك، نحصل على الانتقال.

إذن، ما فعلناه هنا هو إجراء إزاحة طور مقدارها ٩٠ درجة في اتجاه المحور ﺱ. لكننا نلاحظ أيضًا أن إزاحة الطور هذه تعني أن التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي جتا ﺱ قد أصبح التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي جا ﺱ.

حسنًا، دعونا ننتقل الآن إلى التمدد. بالنظر إلى هذين التمددين، فإننا نجد أن ﺩﺃﺱ هو تمدد يوازي المحور ﺱ بعامل قياس يساوي واحدًا على ﺃ، وﺃﺩﺱ هو تمدد يوازي المحور ﺹ بعامل قياس يساوي ﺃ. مرة أخرى، نلاحظ أنه عند النظر إلى المحور ﺱ، سنجد أنه علينا فعل عكس ما قد تعتقد. لذا، بدلًا من الضرب في العدد، فإننا نقسم عليه؛ لأن عامل القياس يساوي واحدًا على ﺃ، لكننا نضرب في ﺃ عند التعامل مع المحور ﺹ.

من ثم، فإن هذا يعني عمليًّا أنه عند النظر إلى التمدد الأول، فإننا نقسم كلًّا من إحداثيات ﺱ على ﺃ. وهذا في الواقع هو تغير في طول دورة التمثيل البياني للدالة المثلثية. أما طول دورة التمثيل البياني للدالة المثلثية فهو المسافة من قمة إلى الأخرى أو من أي نقطة إلى النقطة المشابهة التالية، بينما إذا نظرنا إلى التمدد الثاني، فإن ما نفعله عمليًّا هو ضرب الإحداثيات ﺹ في ﺃ. ويؤدي ذلك إلى تغير سعة التمثيل البياني. والسعة هي الارتفاع من خط المركز إلى القمة أو إلى القاع. أو يمكننا إيجاد السعة كذلك عبر قياس الارتفاع من أعلى نقطة إلى أدنى نقطة، ثم قسمة ذلك على اثنين.

دعونا نلق نظرة سريعة الآن على مثال للتمدد. لدينا هنا ﺹ يساوي جا ﺱ. بعد ذلك، رسمنا التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي جا اثنين ﺱ. ونلاحظ هنا أن كلًّا من الإحداثيات ﺱ يقسم على اثنين. من ثم، فإننا نلاحظ أن طول الدورة يقسم على اثنين؛ لأن طول دورة الدالة الأولى التي لدينا، وهي ﺹ يساوي جا ﺱ، يساوي ٣٦٠ درجة. ونلاحظ أن المسافة من قاع إلى الآخر أو من نقطة مناظرة إلى الأخرى تساوي ٣٦٠ درجة، بينما إذا نظرنا إلى الخط الأزرق، وهو يمثل ﺹ يساوي جا اثنين ﺱ، فسنجد أن المسافة بين القمة والأخرى تساوي ١٨٠ درجة.

حسنًا، لقد ذكرنا أنفسنا الآن بما يعنيه تحويل التمثيل البياني للتمثيلين البيانيين للدالتين المثلثتين لدينا. دعونا الآن نحل بعض المسائل.

يوضح الشكل الآتي التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ. أدى تحويل هندسي إلى تحويل الدالة ﺩﺱ إلى الدالة ﺩﺱ ناقص ثلاثة. أوجد إحداثيات النقطة ﺃ بعد هذا التحويل الهندسي.

حسنًا، إذا كان لدينا تحويل هندسي يؤدي إلى تحويل الدالة ﺩﺱ إلى الدالة ﺩﺱ ناقص ثلاثة، فإن التحويل الهندسي الذي ننظر إليه سيكون إزاحة أو انتقالًا. وإذا ذكرنا أنفسنا سريعًا بالانتقالين، فسنعرف أن ﺩﺱ زائد ﺃ هو إزاحة في اتجاه المحور ﺹ بمقدار ﺃ من الوحدات، بينما ﺩﺱ زائد ﺃ هو إزاحة في اتجاه المحور ﺱ بمقدار سالب ﺃ من الوحدات.

إذن، ما نتناوله هنا هو الانتقال الأول أو الإزاحة الأولى. وهذه الإزاحة ستكون في اتجاه المحور ﺹ بمقدار ﺃ من الوحدات. لذا، فهي تسمى إزاحة رأسية. ‏ﺃ في هذه المسألة ستساوي سالب ثلاثة. وهذا يعني عمليًّا أنه علينا طرح ثلاثة من الإحداثي ﺹ للنقطة التي لدينا. من ثم، فإننا نلاحظ أن النقطة ﺃ ستتحرك لأسفل بمقدار ثلاث وحدات في اتجاه المحور ﺹ. إذن، يمكننا القول إن إحداثي النقطة ﺃ بعد التحويل الهندسي هو ٤٥، سالب اثنين.

حسنًا، دعونا نتناول الآن مثالًا آخر. في المثال التالي، سنستخدم التحويل الذي تناولناه من قبل في المقدمة. ولكننا سنركز على نقطة واحدة محددة خلال هذا التحويل.

يوضح الشكل التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ. التحويل الهندسي يحول ﺩﺱ إلى ﺩ لاثنين ﺱ. أوجد إحداثيات النقطة ﺃ بعد هذا التحويل الهندسي.

حسنًا، نتناول في هذه المسألة تحويلًا هندسيًّا يحول ﺩﺱ إلى ﺩ لاثنين ﺱ. لذا، فإننا نتعامل مع تمدد. إذا ذكرنا أنفسنا بالتمددين السابقين، فسنعرف أن ﺃﺩﺱ هو تمدد يوازي المحور ﺹ بعامل قياس يساوي ﺃ، وأن ﺩﺃﺱ هو تمدد يوازي المحور ﺱ بعامل قياس يساوي واحدًا على ﺃ. ونلاحظ أننا نتناول الحالة الثانية؛ لأننا ننظر إلى تمدد يوازي المحور ﺱ، وذلك لأن لدينا ﺩ لاثنين ﺱ. بما أن لدينا ﺩ لاثنين ﺱ، فإننا نلاحظ أن عامل القياس سوف يساوي نصفًا. وهذا يعني عمليًّا أن كلًّا من الإحداثيات ﺱ سيقسم على اثنين.

لقد أوضحنا بالرسم كيف يبدو ذلك على التمثيل البياني. إذن، يمكننا القول إن إحداثي النقطة ﺃ بعد التحويل الهندسي هو ٩٠، سالب واحد. يمكننا ملاحظة هذا الإحداثي باعتباره النقطة المناظرة في التمثيل البياني. أو يمكننا إيجاده، كما ذكرنا، من خلال تنصيف الإحداثي ﺱ، أي تنصيف ١٨٠، وهو ما يعطينا ٩٠، أي ٩٠، سالب واحد.

حسنًا، فلننتقل الآن إلى مثال يتضمن مجموعة من التمثيلات البيانية، وعلينا أن نختار منها التمثيل البياني الصحيح لتحويل إحدى الدوال المثلثية التي لدينا.

أي من الآتي تمثيل ﺹ يساوي جتا ﺱ ناقص ٩٠ البياني؟

دعونا أولًا نذكر أنفسنا بالشكل الذي يبدو عليه التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي جتا ﺱ. ويمكننا رؤيته هنا. هذا هو شكل التمثيل البياني. يمكننا الآن ملاحظة أن ما نبحث عنه هو ﺹ يساوي جتا ﺱ ناقص ٩٠. وهذا سيكون انتقالًا أو إزاحة للتمثيل البياني لـ ﺹ يساوي جتا ﺱ. وذلك لأنه يمكننا اعتباره تحويل ﺩﺱ زائد ﺃ، حيث يمثل هذا النوع من الانتقال إزاحة في اتجاه المحور ﺱ بمقدار سالب ﺃ من الوحدات. وبما أن ﺃ يساوي سالب ٩٠، فإن سالب ﺃ يساوي موجب ٩٠. ما سنفعله إذن هو إزاحة التمثيل البياني بمقدار ٩٠ درجة إلى اليمين، أي بمقدار ٩٠ درجة في اتجاه المحور ﺱ، وهو ما أوضحناه هنا في الرسم الذي لدينا.

والآن، كل ما علينا فعله هو تحديد أي من التمثيلات البيانية التي لدينا هو التمثيل البياني الذي يوضح هذه الإزاحة. حسنًا، نلاحظ أن التمثيل البياني (أ) يطابق هذه الإزاحة. وهذا هو التمثيل البياني الصحيح؛ لأنه يوضح لنا الإزاحة الطورية التي أجريناها، ومقدارها ٩٠ درجة. ونلاحظ أيضًا أن التمثيلات البيانية الأخرى غير صحيحة؛ لأن التمثيل البياني (ب) يوضح التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي جتا ﺱ، والتمثيل البياني (ج) هو تغير في طول الدورة، والتمثيل البياني (د) هو تغير في طول الدورة وإزاحة طور، والتمثيل البياني (هـ) هو إزاحة رأسية. إذن، يمكننا التأكد من أن التمثيل البياني الصحيح هو التمثيل البياني (أ).

حسنًا، سنتناول الآن مثالًا آخر على الإزاحة. لكن هذه المرة، سنتناول مسألة تتضمن إزاحة رأسية أو انتقالًا في اتجاه المحور ﺹ.

أي مما يلي هو التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي جتا ﺱ زائد واحد؟

حسنًا، نلاحظ هنا أن ﺹ يساوي جتا ﺱ زائد واحد هو انتقال لـ ﺹ يساوي جتا ﺱ. ونعرف أن هذا هو انتقال؛ لأنه على الصورة ﺩﺱ زائد ﺃ، حيث يمثل ذلك إزاحة مقدارها ﺃ من الوحدات في اتجاه المحور ﺹ. إذن، سنتحرك الآن بمقدار ﺃ من الوحدات في اتجاه المحور ﺹ. لكن ما الذي سيحدث له هذا الانتقال؟

حسنًا، سيحدث هذا الانتقال لـ ﺹ يساوي جتا ﺱ. من ثم، فنحن نعرف أن ذلك سيكون إزاحة مقدارها وحدة واحدة في اتجاه المحور ﺹ. لكن ماذا يعني هذا عمليًّا؟ هذا يعني أننا نضيف واحدًا إلى كل من إحداثيات ﺹ. ولمساعدتنا في معرفة أي التمثيلات البيانية الآتية يمثل هذه الإزاحة، ومقدارها وحدة واحدة في اتجاه المحور ﺹ، فقد رسمنا هنا ﺹ يساوي جتا ﺱ. ولقد رسمنا ذلك على التمثيل البياني (أ).

حسنًا، إذا حركنا هذا التمثيل البياني بمقدار وحدة واحدة في اتجاه المحور ﺹ، أي إننا أضفنا واحدًا إلى كل من إحداثيات ﺹ، فسنلاحظ أنه سيحول نفسه إلى التمثيل البياني الموضح في الخيار (أ). وذلك لأن القمة ستقع عند اثنين بدلًا من واحد. وسيقع القاع عند صفر بدلًا من سالب واحد. إذن، يمكننا القول إن التمثيل البياني (أ) هو التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي جتا ﺱ زائد واحد. وإذا أردنا التحقق من التمثيلات البيانية الأخرى، فسنجد أنها غير صحيحة؛ لأن (ب) يوضح التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي جتا ﺱ. و(ج) هو إزاحة طور، و(د) هو تغير في طول الدورة، و(هـ) هو تغير في طول الدورة وإزاحة طور.

بذلك، نكون قد تناولنا بعض الأسئلة التي تحدد التمثيل البياني الذي يطابق معادلة معينة. لكن بالنسبة إلى السؤال التالي، ما علينا فعله هو تحديد المعادلة الصحيحة للتمثيل البياني الذي ننظر إليه.

يوضح الشكل رسمًا بيانيًّا لدالة. أي معادلة من المعادلات الآتية تحقق الرسم البياني؟ (أ) ﺹ يساوي جا اثنين ﺱ، أم (ب) ﺹ يساوي جا ﺱ زائد اثنين، أم (ج) ﺹ يساوي اثنين جا ﺱ، أم (د) ﺹ يساوي جا ﺱ ناقص اثنين، أم (هـ) ﺹ يساوي جا ﺱ زائد اثنين.

لحل هذه المسألة، لقد رسمنا رسمًا سريعًا لجزء من التمثيل البياني لدالة الجيب. وهو الجزء الأول الذي لدينا، الجزء الموجب. ونلاحظ أن قمة ﺹ يساوي جا ﺱ تقع عند واحد. وإذا أكملنا هذا الرسم قليلًا، بحيث نأخذه من عند الصفر إلى الجانب السالب، فسنجد أن القاع أو أحد القيعان سيقع عند سالب واحد. لكن إذا نظرنا إلى التمثيل البياني الذي لدينا هنا، فسنجد أن القمة تقع عند سالب واحد. والقاع يقع عند سالب ثلاثة. من ثم، فإننا نلاحظ أن هناك إزاحة رأسية لأسفل بمقدار وحدتين.

إذن ما علينا فعله هو أن نذكر أنفسنا بحالتي انتقال التمثيل البياني. حسنًا، نحن نعرف أن ﺩﺱ زائد ﺃ هو إزاحة رأسية مقدارها ﺃ من الوحدات، أو إزاحة في الاتجاه ﺹ. ونعرف أيضًا أن ﺩﺱ زائد ﺃ هو إزاحة طور أو إزاحة في الاتجاه ﺱ بمقدار سالب ﺃ من الوحدات. ومن ثم، إذا نظرنا إلى الإزاحة فحسب، فيمكننا القول إنها ستكون ﺹ يساوي جا ﺱ ناقص اثنين؛ لأنها تتفق مع الانتقال الأول. لكن السؤال هنا هو: هل سيحدث تمدد أيضًا؟

حسنًا، نحن لا نعرف أين تقع الإحداثيات ﺱ؛ لأنها ليست بالدرجات. لذا، من الصعب تحديد إذا ما كان قد حدث تمدد أو لا. إذا نظرنا إلى المعادلة (ج)، فسنجد أنها تتضمن تمددًا. وسيكون هذا التمدد في اتجاه المحور ﺹ. لذا، فإننا نستنتج أن هذه المعادلة لا يمكن أن تكون الإجابة الصحيحة؛ لأن سعتي التمثيلين البيانيين متساويتان تمامًا؛ حيث إن قيمة كل سعة منهما تساوي واحدًا.

وإذا ألقينا نظرة على التمدد الآخر الذي لدينا، فسنلاحظ أن هذا التمدد يوازي المحور ﺱ. ولا توجد إزاحة هنا. من ثم، لا يوجد لدينا هنا إلا التمدد. وقد أوضحنا بالفعل حدوث إزاحة. لذا، لا يمكن أن تكون هذه المعادلة هي الإجابة الصحيحة. إذن، يمكننا القول إن المعادلة (د) هي المعادلة التي تمثل التمثيل البياني الذي لدينا. وإذا نظرنا إلى المعادلتين (ب) و(هـ)، فسنجد أن المعادلة (ب) غير صحيحة؛ لأنها تمثل إزاحة في الاتجاه ﺱ. لذا، فإنها ستمثل إزاحة طور. لكننا أوضحنا أن الإزاحة التي لدينا هي إزاحة رأسية. والمعادلة (هـ) لن تكون صحيحة أيضًا؛ لأنها تتطلب تحريك التمثيل البياني لأعلى بمقدار وحدتين بدلًا من تحريكه لأسفل بمقدار وحدتين. لذا، فإن هذه المعادلة غير صحيحة أيضًا.

حسنًا، لقد تناولنا عددًا من الأمثلة المختلفة، وكانت كلها تدور حول تحويل واحد. في السؤال الأخير، سنتناول تحويلًا مزدوجًا وسنرى ما يفعله هذا التحويل.

أي من الآتي التمثيل البياني للدالة ﺹ يساوي جا ﺱ على أربعة ناقص واحد؟

في هذه المسألة، سنتناول مزيجًا من تحويلين. لكن بما أن أحد التحويلين هو تحويل أفقي والآخر هو تحويل رأسي، فلا يهم الترتيب الذي نجري به هذين التحويلين. إذا نظرنا إلى الجزء الأول من التحويل الذي لدينا، فسنجد أنه يمثل تمددًا؛ لأنه على الصورة ﺩﺃﺱ. وهذا هو الجزء الذي يكون فيه التمدد موازيًا للمحور ﺱ بعامل قياس يساوي واحدًا على ﺃ، بينما نلاحظ أن الجزء الثاني من التحويل هو انتقال. وذلك لأنه على الصورة ﺩﺱ زائد ﺃ. لذا، فهو إزاحة رأسية مقدارها ﺃ من الوحدات.

إذن، مثلما ذكرت من قبل، ما كان لدينا هنا كان يشير إلى اتجاه أفقي لأنه يوازي المحور ﺱ. وقد أصبح لدينا شيء آخر وهو إزاحة، ونوعها إزاحة رأسية. وهذا ما نلاحظه على المحور ﺹ. حسنًا، كما ذكرنا من قبل، سيكون هذا التمثيل البياني تحويلًا للتمثيل البياني ﺹ يساوي جا ﺱ. لذا، لقد رسمنا التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي جا ﺱ هنا على التمثيل البياني (ج). وهكذا نلاحظ أن هذا هو الشكل الذي يبدو عليه.

نلاحظ على الفور أن التمثيل البياني يمر بنقطة الأصل: صفر، صفر. إذن، كما نرى من التحويل الذي لدينا، ستكون لدينا إزاحة رأسية مقدارها سالب واحد؛ لأننا سنطرح واحدًا من كل من الإحداثيات ﺹ. بذلك، فإن النقطة التي تمر بنقطة الأصل في التمثيل البياني المحول ستمر بالنقطة صفر، سالب واحد. لذا، فيمكننا الآن استبعاد التمثيلين البيانيين (أ) و(هـ). وذلك لأننا نلاحظ أن كليهما لا يمر بالنقطة صفر، سالب واحد.

حسنًا، لا تزال لدينا ثلاثة تمثيلات بيانية. ما الذي علينا فعله الآن؟ يمكننا أيضًا استبعاد التمثيلين البيانيين (ج) و(د). وذلك لأنه على الرغم من أنهما يمران بالنقطة صفر، سالب واحد، نلاحظ أنه كان لا بد من حدوث إزاحة طور لتحويلهما من ﺹ يساوي جا ﺱ؛ لأنهما لا يمران بها عند النقطة نفسها على التمثيل البياني. وذلك لأن قاع كل من التمثيلين البيانيين يقع عند صفر، سالب واحد. لذا، يمكننا بالتأكيد القول إن التمثيل البياني (ب) هو التمثيل البياني الصحيح.

لكن للتأكد من صحة هذا التمثيل البياني، يمكننا أن ننظر إلى المسافة بين النقطة التي يقطع عندها التمثيل البياني المحور ﺹ وقمته الأولى. وبالنظر إلى التمثيل البياني الأصلي لـ ﺹ يساوي جا ﺱ، فسنجد أن هذه المسافة تساوي ٩٠. وإذا نظرنا إلى التمثيل البياني الجديد، فسنجد أنها تساوي ٣٦٠، وهذا منطقي لأن عامل القياس يجب أن يساوي واحدًا على ﺃ للتمدد الذي لدينا. وواحد على واحد على أربعة هو نفسه الضرب في أربعة. ٩٠ في أربعة يساوي ٣٦٠.

بذلك، نكون قد تناولنا عددًا من الأمثلة. دعونا الآن نلق نظرة على النقاط الرئيسية في الدرس. أولًا، لقد تناولنا في هذا الدرس الانتقال. إذا كان لدينا ﺩﺱ زائد ﺃ، فهذا يعبر عن إزاحة موازية للمحور ﺱ، ومقدارها سالب ﺃ من الوحدات، أي إنها إزاحة طور. وﺩﺱ زائد ﺃ هو إزاحة موازية للمحور ﺹ، ومقدارها ﺃ من الوحدات، وتسمى إزاحة رأسية. بعد ذلك، تناولنا التمدد. وعرفنا أنه إذا كان لدينا ﺩﺃﺱ، فإن لدينا تمددًا في الاتجاه ﺱ بعامل قياس يساوي واحدًا على ﺃ. وإذا كان لدينا ﺃﺩﺱ، فإن هذا هو تمدد في الاتجاه ﺹ بعامل قياس يساوي ﺃ. ويؤدي التمدد الأول إلى تغير طول الدورة، بينما يؤدي التمدد الثاني إلى تغير السعة.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية