نسخة الفيديو النصية
أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب أربعة لـ ﺱ تربيع ناقص تسعة ﺱ زائد اثنين الكل مقسومًا على سالب ثمانية ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ ناقص تسعة.
عندما يطلب السؤال إيجاد نهاية، فأول شيء علينا أن نجربه هو التعويض المباشر. يمكننا ملاحظة أنه مطلوب منا إيجاد نهاية دالة كسرية. وهي خارج قسمة الدالتين الكثيرتي الحدود: ﻡﺱ مقسومًا على ﻥﺱ. ونتذكر أنه يمكننا إيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من قيمة نهائية لـ ﺃ لدالة كسرية باستخدام التعويض المباشر، إذا كانت الدالة الكثيرة الحدود في المقام عند ﺃ لا تساوي صفرًا. وهذا يعطينا أن النهاية، عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ، تساوي قيمة ﺩ عند ﺃ.
وفي الواقع، حتى إذا كانت كثيرة الحدود في المقام عند ﺃ تساوي صفرًا، فيمكننا أن نتحقق إذا ما كانت كثيرة الحدود في البسط عند ﺃ تساوي صفرًا أيضًا. يمكننا إذن تطبيق نظرية العوامل لنلاحظ أن الدالتين الكثيرتي الحدود تشتركان في عامل مقداره ﺱ ناقص ﺃ. وعند حذف هذا العامل المشترك الذي مقداره ﺱ ناقص ﺃ، سنحصل على دالة كسرية جديدة، تتفق في كل موضع مع الدالة الكسرية القديمة ﺩﺱ باستثناء النقطة التي يكون فيها ﺱ يساوي ﺃ. يمكننا بعد ذلك استخدام التعويض المباشر في هذه الدالة الكسرية الجديدة لإيجاد النهاية.
نريد إيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب أربعة. سنجعل ﺃ يساوي سالب أربعة. نجعل ﻡﺱ يساوي كثيرة الحدود في بسط النهاية. وهي ﺱ تربيع ناقص تسعة ﺱ زائد اثنين. وسنجعل ﻥﺱ يساوي كثيرة الحدود في مقام النهاية. وهي سالب ثمانية ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ ناقص تسعة.
علينا الآن التحقق من القيمة المخرجة للمقام عند إدخال ﺱ يساوي سالب أربعة. بالتعويض عن ﺱ يساوي سالب أربعة في كثيرة الحدود ﻥﺱ، نحصل على سالب ثمانية في سالب أربعة تربيع ناقص ثلاثة في سالب أربعة ناقص تسعة. ويمكننا تبسيط ذلك لنحصل على سالب ١٢٨ زائد ١٢ ناقص تسعة، وهو ما يساوي سالب ١٢٥. وعلى وجه التحديد، هذا لا يساوي صفرًا. إذن يمكننا استخدام التعويض المباشر لإيجاد النهاية المعطاة في السؤال.
لذا، باستخدام التعويض المباشر، نحصل على النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب أربعة لـ ﺱ تربيع ناقص تسعة ﺱ زائد اثنين الكل مقسوم على سالب ثمانية ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ ناقص تسعة يساوي سالب أربعة تربيع ناقص تسعة في سالب أربعة زائد اثنين الكل مقسوم على سالب ثمانية في سالب أربعة تربيع ناقص ثلاثة في سالب أربعة ناقص تسعة. يمكننا تبسيط هذه العملية الحسابية؛ لأن المقام يساوي ﻥ عند سالب أربعة، وهو ما وجدنا بالفعل أنه يساوي سالب ١٢٥.
إذن علينا الآن حساب البسط فقط. لدينا سالب أربعة تربيع يساوي ١٦. ثم نطرح تسعة في سالب أربعة، وهو ما يساوي موجب ٣٦. ثم نضيف اثنين. ويمكننا تبسيط ذلك لنحصل على سالب ٥٤ مقسومًا على ١٢٥.
وبذلك نكون قد أوضحنا أن النهاية، عندما يقترب ﺱ من سالب أربعة لـ ﺱ تربيع ناقص تسعة ﺱ زائد اثنين الكل مقسوم على سالب ثمانية ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ ناقص تسعة، تساوي سالب ٥٤ مقسومًا على ١٢٥.
