فيديو السؤال: حل المعادلات المثلثية التي تتضمن محددات الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

حل المعادلة: المحدد سالب جتا 𝜃، جا 𝜃، قتا 𝜃، قتا 𝜃 يساوي سالب اثنين؛ حيث 𝜃 أكبر من صفر درجة وأقل من ٩٠ درجة.

دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه بمحدد المصفوفة، وتحديدًا مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين. محدد المصفوفة العامة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها هي: ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. باستخدام هذا التعريف، نجد أن محدد المصفوفة سالب جتا 𝜃، جا 𝜃، قتا 𝜃، قتا 𝜃 يساوي سالب جتا 𝜃 مضروبًا في قتا 𝜃 ناقص جا 𝜃 مضروبًا في قتا 𝜃.

لمساعدتنا في معرفة الإجابة، دعونا نسترجع أولًا أن قتا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃. والآن، دعونا نعوض عن قتا 𝜃 بواحد على جا 𝜃. وبذلك، يصبح لدينا سالب جتا 𝜃 مضروبًا في واحد على جا 𝜃 ناقص جا 𝜃 مضروبًا في واحد على جا 𝜃 يساوي سالب اثنين. سنعيد كتابة هذا الحد ليكون على الصورة: سالب جتا 𝜃 على جا 𝜃، وكذلك هذا الحد ليكون على الصورة: جا 𝜃 على جا 𝜃. ويمكننا هنا ملاحظة أن جا 𝜃 على جا 𝜃 يساوي واحدًا. يمكننا أيضًا إعادة كتابة جتا 𝜃 على جا 𝜃 باستخدام إحدى المتطابقات التي نعرفها. بما أننا نعلم أن جا 𝜃 على جتا 𝜃 يساوي ظا 𝜃، فإن جتا 𝜃 على جا 𝜃 يساوي واحدًا على ظا 𝜃. إذن، لدينا سالب واحد على ظا 𝜃 ناقص واحد يساوي سالب اثنين.

دعونا الآن نبسط المعادلة التي لدينا. يمكننا البدء بإضافة واحد على ظا 𝜃 إلى طرفي هذه المعادلة. هذا يعطينا: سالب واحد يساوي سالب اثنين زائد واحد على ظا 𝜃. سنضيف بعد ذلك اثنين إلى طرفي المعادلة، وهذا يعطينا: واحد يساوي واحدًا على ظا 𝜃. يمكننا بعد ذلك ضرب الطرفين في ظا 𝜃. هذا يعطينا: ظا 𝜃 يساوي واحدًا، والآن ليس علينا سوى الحل لإيجاد قيمة 𝜃. يمكننا فعل ذلك بإيجاد الدالة العكسية لـ ظا واحد، وهذا يساوي ٤٥ درجة.

يمكننا بدلًا من ذلك استخدام التمثيل البياني لـ ظا لنجد أنه عندما يكون ظا 𝜃 يساوي واحدًا، فإن 𝜃 تساوي ٤٥ درجة. لاحظ أنه سيكون هناك المزيد من القيم حيث ظا 𝜃 يساوي واحدًا في هذا التمثيل البياني. في الواقع، القيمة التالية تقع عند ١٨٠ زائد ٤٥. لكن هذه القيمة تساوي ٢٢٥، وهي خارج النطاق المعطى في السؤال. إذن، الإجابة هي 𝜃 تساوي ٤٥ درجة.