نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﺃ ناقص مدور المصفوفة ﺃ يساوي مصفوفة صفرية، فإن ﺃ مصفوفة (فراغ). الخيار (أ) شبه متماثلة، أم الخيار (ب) متماثلة، أم الخيار (ج) صف، أم الخيار (د) عمود.
في هذا السؤال، عرفنا من المعطيات خاصية للمصفوفة ﺃ. كما عرفنا أن ﺃ ناقص مدورها يساوي مصفوفة صفرية. بفرض أن هذه الخاصية صحيحة، مطلوب منا تحديد نوع المصفوفة ﺃ. ولدينا أربعة خيارات ممكنة. وإحدى طرق الإجابة عن هذا السؤال هي تذكر ما تعنيه الإجابات الأربع بالضبط.
سنبدأ بتعريف المصفوفة شبه المتماثلة. أي مصفوفة ﺏ تكون شبه متماثلة إذا كان مدور المصفوفة ﺏ يساوي سالب ﺏ. بعبارة أخرى، يمكن إيجاد مدور المصفوفة عن طريق ضرب المصفوفة في سالب واحد. وهناك طريقة أخرى للتفكير في ذلك. في المعادلة المصفوفية التي لدينا، يمكننا إضافة ﺏ إلى طرفي المعادلة. وهذا سيعطينا العبارة المكافئة: ﺏ زائد مدور ﺏ يساوي مصفوفة صفرية لها نفس رتبة ﺏ. وهذه تقريبًا الخاصية المعطاة لنا في السؤال. لكن بدلًا من إضافة مدور ﺏ، علينا طرح مدور ﺏ.
دعونا الآن نتذكر ما نعنيه بالمصفوفة المتماثلة. تكون المصفوفة ﺏ متماثلة إذا كانت تساوي مدورها. ومرة أخرى، يمكننا إيجاد عبارة مكافئة لهذه الخاصية عن طريق طرح مدور المصفوفة ﺏ من طرفي المعادلة. ومن ذلك، نجد أنه إذا كان ﺏ ناقص مدور ﺏ يساوي صفرًا، فلا بد أن تكون ﺏ مصفوفة متماثلة. ويمكننا ملاحظة أن هذه هي الخاصية المعطاة لنا في السؤال عن المصفوفة ﺃ. إحدى طرق التأكد من ذلك هي إضافة مدور المصفوفة ﺃ إلى طرفي معادلة المصفوفة. ونجد هنا أن ﺃ تساوي مدورها. ومن ثم، تكون ﺃ مصفوفة متماثلة.
وعليه، فإننا نعرف الآن أن الخيار (ب) هو الخيار الصحيح؛ فالمصفوفة ﺃ هي مصفوفة متماثلة. لكن هذه ليست الطريقة الوحيدة لحل هذا السؤال. فبدلًا من البدء بالخواص التي نريد إثباتها، سنبدأ بالمعادلة المصفوفية المعطاة. نحن نعرف من المعطيات أن المصفوفة ﺃ ناقص مدورها يساوي مصفوفة صفرية. أول ما علينا ملاحظته هنا هو أنه عند إيجاد مدور مصفوفة، فإننا نبدل بين الصفوف والأعمدة. لكن ما زال بإمكاننا طرح هاتين المصفوفتين، ولن نتمكن من فعل ذلك إلا إذا كانت المصفوفتان من الرتبة نفسها. أي يجب أن تكون المصفوفة ﺃ ومدور ﺃ لهما نفس الرتبة. بعبارة أخرى، يجب أن تكون ﺃ مصفوفة مربعة. وبالطبع، إذا كانت ﺃ مصفوفة مربعة، فإن المصفوفة الصفرية ستكون مصفوفة مربعة أيضًا.
لذا، سنحاول اكتشاف خواص المصفوفة ﺃ. لنفعل ذلك، علينا إيجاد تعبير دال على العنصر الموجود في الصف ﺱ والعمود ﺹ في ﺃ. سنطلق عليه ﺃﺱﺹ. لكن يمكننا استخدام هذا التعبير والمعادلة المصفوفية التي لدينا للتوصل إلى معادلة جديدة. أولًا، تذكر أنه عند إيجاد مدور المصفوفة ﺃ، علينا التبديل بين صفوف وأعمدة المصفوفة ﺃ. بعبارة أخرى، العنصر الموجود في الصف ﺱ والعمود ﺹ لمدور المصفوفة ﺃ سيكون ﺃﺹﺱ. كل ما علينا فعله هو التبديل بين ﺱ وﺹ. وبالطبع، عند طرح مصفوفتين لهما الرتبة نفسها، ليس علينا سوى طرح العناصر الموجودة في الصف والعمود نفسيهما. وأخيرًا، نحن نعرف أن الناتج يساوي مصفوفة صفرية. ونعرف أن العناصر في الصف ﺱ والعمود ﺹ من المصفوفة الصفرية تكون أصفارًا دائمًا. هذا لأن كل عنصر في المصفوفة الصفرية يساوي صفرًا.
والآن، بدلًا من طرح المصفوفتين، يمكننا دمجهما في مصفوفة واحدة عنصرها في الصف ﺱ العمود ﺹ هو: ﺃﺱﺹ ناقص ﺃﺹﺱ. كل ما نقوله هنا هو أننا نطرح العناصر المتناظرة في المصفوفة ﺃ ومدور المصفوفة ﺃ. لكن لكي تكون هاتان المصفوفتان متساويتين، يجب أن تكون جميع العناصر متساوية، ويجب أن تكون المصفوفتان من الرتبة نفسها. للتأكد من أن هذه المعادلة منطقية، يجب أن تكون ﺃ مصفوفة مربعة، ومن ثم تكون المصفوفة ومدورها من الرتبة نفسها، ذلك بشرط أن نختار مصفوفة صفرية لها نفس أبعاد المصفوفة ﺃ.
وعليه، لكي تكون هاتان المصفوفتان متساويتين، يجب أن يكون ﺃﺱﺹ ناقص ﺃﺹﺱ يساوي صفرًا، وذلك بالنسبة لجميع قيم ﺱ وﺹ. بعبارة أخرى، ﺃﺱﺹ يساوي ﺃﺹﺱ لجميع قيم ﺱ وﺹ. الجدير بالذكر هنا أنه عندما نقول: جميع قيم ﺱ وﺹ، فإننا نعني جميع قيم ﺱ وﺹ بين العدد واحد وعدد صفوف وأعمدة المصفوفة. وإذا كان ﺃﺱﺹ يساوي ﺃﺹﺱ بالنسبة لجميع قيم ﺱ وﺹ، فإن هذا يماثل تمامًا قول: إن ﺃ تساوي مدورها؛ لأن هاتين المصفوفتين لهما الرتبة نفسها، وقد أوضحنا أن جميع عناصرهما المتناظرة متساوية. وهذا بالطبع يماثل قولنا: إن ﺃ مصفوفة متماثلة.
حسنًا، تجدر الإشارة هنا إلى أن الطريقة الثانية كانت أكثر تعقيدًا من الطريقة الأولى. ومع ذلك، ليس من السهل دائمًا توضيح توافق الخاصية الموجودة لدينا مع أحد التعريفات التي نعرفها. لذا، في بعض الأحيان يكون علينا التفكير في تعريف المصفوفة ﺃ بشكل مختلف. الأمر الأخير الذي سنوضحه هو أن الخيارين (ج) و(د) لا يمكن أن يكونا صحيحين. أولًا، إذا كانت المصفوفة تحتوي على صف واحد فقط، فإننا نطلق عليها: مصفوفة صفًّا. وإذا كانت المصفوفة تحتوي على عمود واحد فقط، فإننا نطلق عليها: مصفوفة عمودًا.
لكن تذكر أننا نعرف من الخاصية المعطاة لنا من البداية أن ﺃ يجب أن تكون مصفوفة مربعة؛ لأننا عرفنا من المعطيات أنه من الممكن طرح ﺃ من مدورها. وتدوير المصفوفة يعني تبديل الصفوف والأعمدة. ولن يكون هذا منطقيًّا إلا إذا كانت ﺃ لها العدد نفسه من الصفوف والأعمدة. إذن، لا يمكن أن تكون ﺃ مصفوفة صفًّا عامة، ولا يمكن أن تكون أيضًا مصفوفة عمودًا عامة؛ لأن الحالة الوحيدة التي يمكننا فيها طرح ﺃ من مدورها هي عندما تكون ﺃ مصفوفة مربعة من الرتبة واحد في واحد. وبذلك، نكون قد أوضحنا أنه إذا كانت ﺃ ناقص مدورها يساوي مصفوفة صفرية، فإن ﺃ يجب أن تكون مصفوفة متماثلة، وهذا يكافئ الخيار (ب).
