نسخة الفيديو النصية
افترض أن ﺹ يساوي ﻉ أس ثمانية وﻉ يساوي سالب ﺱ ناقص واحد. أوجد ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع.
ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع هي مشتقة ﺹ الثانية بالنسبة إلى ﺱ. فإذا اشتققت ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، فإنك تحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ. وإذا اشتققت مرة أخرى بالنسبة إلى ﺱ، فإنك تحصل على هذا: ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. بعبارة أخرى، هذه هي المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لقيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ.
ومن ثم، لإيجاد هذا المقدار، نوجد أولًا ﺩﺹ على ﺩﺱ. فكيف نوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ؟ حسنًا، لدينا ﺹ بدلالة متغير آخر، وهو ﻉ، وﻉ بدلالة ﺱ. إذن يبدو أننا سنستخدم قاعدة السلسلة. إذ تخبرنا قاعدة السلسلة أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻉ مضروبًا في ﺩﻉ على ﺩﺱ.
فلنطبق هذه القاعدة على المسألة. ﺹ يساوي ﻉ أس ثمانية، وبالتالي فإن ﺩﺹ على ﺩﻉ يساوي ثمانية ﻉ أس سبعة. نحتاج الآن إلى إيجاد قيمة ﺩﻉ على ﺩﺱ. وهذا سهل لأننا نعلم أن ﻉ يساوي سالب ﺱ ناقص واحد. ومشتقة سالب ﺱ ناقص واحد بالنسبة إلى ﺱ هي سالب واحد. إذن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ثمانية ﻉ أس سبعة.
حسنًا، تلك هي قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ. ولكن تذكر أننا نريد إيجاد ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. وقد سبق وأشرنا إلى أن هذه هي المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لقيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ. الآن وقد عرفنا أن قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ هي سالب ثمانية ﻉ أس سبعة، يمكننا أن نرى أن المقدار الذي نبحث عنه لـ ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع هو المشتقة ﺩ على ﺩﺱ لسالب ثمانية ﻉ أس سبعة.
والطريقة الأسهل لإيجاد هذه المشتقة هي استخدام قاعدة السلسلة مجددًا. فأسهل طريقة للقيام بذلك على الأرجح هي استخدام متغير آخر ﺭ وجعله مساويًا لسالب ثمانية ﻉ أس سبعة. إذن نعمل على إيجاد ﺩﺭ على ﺩﺱ. وقد سبق وكتبنا قاعدة السلسلة، ومن ثم فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ هو المتغير المطلوب إيجاد قيمته. ولكن يمكننا تغيير ﺹ في كل من البسط والمقام بالمتغير ﺭ مع استمرارنا في استخدام القاعدة نفسها ولكن بمتغيرات مختلفة. بكتابة قاعدة السلسلة بهذه الطريقة، يمكننا قراءة ﺩﺭ على ﺩﺱ بأنه يساوي ﺩﺭ على ﺩﻉ مضروبًا في ﺩﻉ على ﺩﺱ.
لنفرغ الآن بعض المساحة. إذن، ما ناتج ﺩﺭ على ﺩﻉ؟ حسنًا، ﺭ يساوي سالب ثمانية ﻉ أس سبعة. إذن ﺩﺭ على ﺩﻉ يساوي سالب ٥٦ﻉ أس ستة. وقد سبق وأوجدنا قيمة ﺩﻉ على ﺩﺱ. وبالاستفادة من حقيقة أن ﻉ يساوي سالب ﺱ ناقص واحد، يكون الناتج هو سالب واحد. وبالتبسيط، نحصل على ٥٦ﻉ أس ستة.
ولكننا لم ننته بعد. إذ نريد إيجاد ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع بدلالة ﺱ بدلًا من المتغير المساعد ﻉ. ويمكننا القيام بذلك لأن لدينا التعبير عن ﻉ بدلالة ﺱ يساوي سالب ﺱ ناقص واحد. ويمكننا التعويض في هذا التعبير بقيمة ﻉ.
بناء عليه، فإن الحل النهائي هو ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي ٥٦ في سالب ﺱ ناقص واحد أس ستة. كان بإمكاننا كذلك وضع سالب واحد خارج القوسين كعامل لنحصل بذلك على الناتج ٥٦ﺱ زائد واحد أس ستة. فهذا الحل صحيح أيضًا.
