نسخة الفيديو النصية
هل المنحنيان تسعة ﺹ أس أربعة ناقص ثمانية ﺹ يساوي ستة ﺱ وسالب خمسة ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺹ يساوي سالب أربعة ﺱ متقاطعان على التعامد عند نقطة الأصل؟
قبل أن نبدأ يمكننا إثبات تقاطع المنحيين عند نقطة الأصل عن طريق التحقق من كلتا المعادلتين عند النقطة صفر، صفر. عندما يكون ﺱ يساوي صفرًا وﺹ يساوي صفرًا، نجد أن كلتا المعادلتين تصبحان صفرًا يساوي صفرًا، وهو ما يشير إلى أن كلا المنحنيين يمران بنقطة الأصل. تذكر أن المنحنيين يتقاطعان على التعامد عند نقطة إذا كان مماسا المنحنيين معرفين عند هذه النقطة وكانا متعامدين أحدهما على الآخر.
دعونا نوجد ميل المماس عند نقطة الأصل لكل منحنى عن طريق اشتقاق المعادلتين المعطاتين ضمنيًّا. بالنسبة إلى المنحنى الأول، لدينا ﺩ على ﺩﺱ لتسعة ﺹ أس أربعة ناقص ثمانية ﺹ يساوي ﺩ على ﺩﺱ لستة ﺱ. نلاحظ أن التعبير الموجود في الطرف الأيمن من المعادلة هو بدلالة المتغير ﺹ. لذا علينا تطبيق قاعدة السلسلة. ﺩ على ﺩﺱ لتسعة ﺹ أس أربعة ناقص ثمانية ﺹ يساوي ﺩ على ﺩﺹ لتسعة ﺹ أس أربعة ناقص ثمانية ﺹ مضروبًا في ﺩﺹ على ﺩﺱ، وهو ما يساوي ٣٦ﺹ تكعيب ناقص ثمانية مضروبًا في ﺩﺹ على ﺩﺱ.
من ناحية أخرى، فإن الطرف الأيسر يساوي ﺩ على ﺩﺱ لستة ﺱ، وهو ما يساوي ستة. ومن ثم، يصبح لدينا ٣٦ﺹ تكعيب ناقص ثمانية مضروبًا في ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ستة. بقسمة الطرفين على ٣٦ﺹ تكعيب ناقص ثمانية، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ستة على ٣٦ﺹ تكعيب ناقص ثمانية. ونعلم أن حساب قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ عند نقطة الأصل يعطينا ميل المماس.
وبالتعويض بنقطة الأصل صفر، صفر في المعادلة، نحصل على هذا المقدار. بحساب قيمة المقام، يصبح لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ستة على سالب ثمانية، وهو ما يساوي سالب ثلاثة أرباع. ومن ثم فإن ميل مماس المنحنى الأول عند نقطة الأصل يساوي سالب ثلاثة أرباع.
بعد ذلك، نوجد ميل مماس المنحنى الثاني. باشتقاق المعادلة الثانية ضمنيًّا نحصل على ﺩ على ﺩﺱ لسالب خمسة ﺱ تربيع ناقص ﺩ على ﺩﺱ لثلاثة ﺹ يساوي ﺩ على ﺩﺱ لسالب أربعة ﺱ. الحد الأول في الطرف الأيمن والحد الموجود في الطرف الأيسر من المعادلة هما مشتقتان عاديتان؛ لأن متغير هذين المقدارين يطابق متغير الاشتقاق ﺱ.
بالنسبة إلى الحد الثاني في الطرف الأيسر، علينا استخدام قاعدة السلسلة. لدينا ﺩ على ﺩﺱ لسالب خمسة ﺱ تربيع يساوي سالب ١٠ﺱ. وﺩ على ﺩﺱ لثلاثة ﺹ يساوي ﺩ على ﺩﺹ لثلاثة ﺹ مضروبًا في ﺩﺹ على ﺩﺱ، وهو ما يساوي ثلاثة مضروبًا في ﺩﺹ على ﺩﺱ. وﺩ على ﺩﺱ لسالب أربعة ﺱ يساوي سالب أربعة. وهذا يعطينا سالب ١٠ﺱناقص ثلاثة مضروبًا في ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب أربعة.
بإعادة ترتيب المعادلة لجعل ﺩﺹ على ﺩﺱ المتغير التابع، يصبح لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب أربعة زائد ١٠ﺱمقسومًا على سالب ثلاثة. بإيجاد قيمة هذه المعادلة عند نقطة الأصل صفر، صفر ثم تبسيط المقدار الناتج، فإننا نحصل على المقدار الآتي، وهو ما يبسط إلى ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي أربعة أثلاث. ومن ثم فإن ميل المماس للمنحنى الثاني عند نقطة الأصل يساوي أربعة أثلاث.
أصبح لدينا الآن ميلا كلا المماسين عند نقطة الأصل. تذكر أنه إذا كان حاصل ضرب ميلي مستقيمين يساوي سالب واحد، إذن فهما متعامدان. ولقد حصلنا على ميلي المماسين لهذين المنحنيين، وهما سالب ثلاثة أرباع وأربعة أثلاث. ونلاحظ أن سالب ثلاثة أرباع مضروبًا في أربعة أثلاث يساوي سالب واحد.
ومن ثم يمكننا الاستنتاج أن المنحنيين يتقاطعان على التعامد عند نقطة الأصل.
