فيديو: تحديد إذا ما كان المنحيين المعرفين ضمنيا متعامدين أم لا

هل المنحنيان ٩ﺹ^٤ − ٨ﺹ = ٦ﺱ، −٥ﺱ^٢ − ٣ﺹ = −٤ﺱ متقاطعان على التعامد عند نقطة الأصل؟

٠٥:٤٢

‏نسخة الفيديو النصية

هل المنحنيان تسعة ص أُس أربعة ناقص تمنية ص يساوي ستة س، وسالب خمسة س تربيع ناقص تلاتة ص يساوي سالب أربعة س، متقاطعان على التعامد عند نقطة الأصل؟

أول حاجة هل همّ متقاطعان عند نقطة الأصل. يبقى معناها إن نقطة الأصل بتمُرّ بالمنحنيين. نقطة الأصل اللي هي النقطة صفر وصفر. لو عوّضنا بالصفر وصفر هنا المفروض تحقق المنحنى. يعني تسعة ص أُس أربعة، هنعوّض مكان الـ ص بصفر. يبقى تسعة في صفر بصفر. ناقص تمنية في صفر يساوي … ستة في الـ س بتساوي صفر. يبقى ستة في صفر بصفر. يبقى فعلًا بتحقق المنحنى الأول. الصفر وصفر لو عوضنا بيها في المنحنى التاني، هنلاقيها هي كمان بتحقق المنحنى. يبقى معناها إن الصفر والصفر نقطة تقاطع بين المنحنين.

علشان نعرف هل همّ متقاطعان على التعامد على نقطة الأصل ولّا لأ، هنشوف ميل المنحنى الأول، وميل المنحنى التاني، واللي هو بيبقى د ص على د س، اللي هو المشتقة الأولى للـ ص بالنسبة للـ س. لو ميل المنحنى اللي هو مماس المنحنى د ص د س للمنحنى الأول، بيساوي سالب واحد على د ص د س للمنحنى التاني عند النقطة صفر وصفر. يبقى معنى كده إن همّ فعلًا بيتقاطعوا على التعامد عند نقطة الأصل.

يبقى هنوجد د ص د س للمنحنى الأول، ونعوّض فيها بالنقطة صفر وصفر. ونوجد د ص د س للمنحنى التاني عند النقطة صفر وصفر. ولو اتحقّقت العلاقة دي ما بينهم، يبقى معنى كده إن هو فعلًا متقاطعان على التعامد.

هنشتق المنحنى الأول تسعة ص أُس أربعة، ناقص تمنية ص يساوي ستة س. هنشتق اشتقاق ضمني؛ يعني التسعة ص أُس أربعة، الـ ص هننزّل الأُس ده نضرب فيه، وننقص الأُس واحد. يبقى تسعة في أربعة ص أُس تلاتة د ص د س؛ لأن الـ ص هنا هنشتقها ضمنيًّا. ناقص تمنية … الـ ص اشتقاقها ضمني هيبقى د ص بالنسبة للـ س. هيساوي … ستة س اشتقاقها بالنسبة للـ س هيبقى ستة. يبقى ستة وتلاتين ص أُس تلاتة، د ص د س هناخدها مشترك، ويبقى هنا ناقص تمنية، يساوي ستة.

هنقسم طرفَي المعادلة دي على ستة وتلاتين ص أُس تلاتة ناقص تمنية. يبقى د ص د س هيساوي ستة على ستة وتلاتين ص أُس تلاتة ناقص تمنية. هنعوّض بالصفر وصفر. يبقى د ص د س عند الصفر وصفر، هيبقى ستة على ستة وتلاتين ص تكعيب. هنضرب في الصفر تبقى بصفر. ناقص تمنية. يبقى المنحنى الأول د ص د س عند النقطة صفر وصفر، ميله هيبقى سالب تلاتة على أربعة.

هنوجد د ص د س للمنحنى التاني ونعوّض بالنقطة صفر وصفر. هنشتق سالب خمسة س تربيع هتبقى سالب خمسة في الأُس اللي هو اتنين، وننقص الأُس واحد بتاع الـ س. ناقص تلاتة … الـ ص لمّا هنشتقها هتبقى د ص د س اشتقاق ضمني. يساوي … سالب أربعة س لمّا هنشتقها بالنسبة للـ س هتبقى سالب أربعة. هنوجد د ص د س لوحدها في طرف. يبقى هنجمع عشرة س على طرفَي المعادلة. يبقى سالب تلاتة د ص د س هيساوي عشرة س ناقص أربعة. هنقسم طرفَي المعادلة على سالب تلاتة. يبقى د ص د س هتساوي عشرة س ناقص أربعة على سالب تلاتة.

هنعوّض بالنقطة صفر وصفر علشان نوجد ميل المنحنى عند الصفر والصفر. هيساوي … عشرة س يبقى عشرة في صفر بصفر. يبقى سالب أربعة على سالب تلاتة يساوي أربعة على تلاتة. يبقى هو ده ميل المنحنى التاني.

يبقى الأول سالب تلاتة على أربعة. والتاني أربعة على تلاتة. هنلاقي إن ميل المنحنى الأول اللي هو سالب تلاتة على أربعة، لو قلبناه وعكسنا إشارته؛ يعني هنقلب سالب واحد على سالب تلاتة على أربعة، هتساوي أربعة على تلاتة. وهو ده ميل المنحنى التاني. يبقى فعلًا المنحنيان متقاطعان على التعامد عند نقطة الأصل. يبقى الإجابة هي نعم.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.