نسخة الفيديو النصية
مثلث قائم الزاوية طول وتره ٣٥ سنتيمترًا ومحيطه ٨٤ سنتيمترًا. أوجد طولي الضلعين الآخرين.
في البداية، دعونا نمثل المعطيات لدينا بالرسم. نحن نعلم أن الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، وأن طوله يساوي ٣٥ سنتيمترًا. وطولا الضلعين الآخرين مجهولان، وهذا ما نحاول إيجاده. بالإضافة إلى ذلك، علمنا من المعطيات أن محيط هذا المثلث القائم الزاوية يساوي ٨٤ سنتيمترًا. ولحل هذه المسألة، علينا تكوين بعض المعادلات. حسنًا، بما أن المحيط هو المسافة حول المثلث، يمكننا تكوين المعادلة ﺱ زائد ﺹ زائد ٣٥ يساوي ٨٤. ويمكننا عزل المتغيرات الموجودة في الطرف الأيمن بطرح ٣٥ من طرفي هذه المعادلة لنحصل بذلك على ﺱ زائد ﺹ يساوي ٤٩. حسنًا، سنجعل هذه هي المعادلة الأولى.
لتكوين معادلة ثانية، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس حيث إننا نتعامل مع مثلث قائم الزاوية. وتنص نظرية فيثاغورس على أن ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ﺟ تربيع، ما يعني أن مجموع مربعي طولي الضلعين القصيرين في المثلث القائم الزاوية يساوي مربع طول الوتر. بالتعويض بما نعرفه عن المثلث لدينا، نجد أن ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي ٣٥ تربيع. بتربيع ٣٥، نجد أن ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي ١٢٢٥، وهذه هي المعادلة الثانية.
سنستخدم الآن بعض الطرق لحل المعادلتين الآنيتين لدينا لإيجاد قيمتي ﺱ وﺹ. يمكننا الحل بإعادة كتابة المعادلة الأولى بحيث يكون أحد المتغيرين بدلالة الآخر، ثم التعويض بذلك في المعادلة الثانية. يمكننا أن نجعل ﺱ المتغير التابع في المعادلة الأولى بطرح ﺹ من كلا الطرفين؛ حيث يصبح لدينا معادلة ثالثة توضح أن ﺱ يساوي ٤٩ ناقص ﺹ. المعادلة الثالثة مكافئة للمعادلة الأولى لكنها مكتوبة على صورة مختلفة. سنعوض بالمعادلة الثالثة عن قيمة ﺱ في المعادلة الثانية، وهو ما يعطينا ٤٩ ناقص ﺹ الكل تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي ١٢٢٥.
لإيجاد قيمة ﺹ، الخطوة الأولى هي فك الحد ٤٩ ناقص ﺹ تربيع. ونحن نعلم أن المقدار على الصورة ﺃ ناقص ﺏ الكل تربيع يساوي ﺃ تربيع ناقص اثنين ﺃﺏ زائد ﺏ تربيع. هذه الصورة التحليلية إذن تكافئ ٤٩ تربيع ناقص اثنين في ٤٩ في ﺹ زائد ﺹ تربيع. يمكننا هنا تربيع ٤٩ لنحصل بذلك على ٢٤٠١. سالب اثنين في ٤٩ في ﺹ يساوي سالب ٩٨𝑦. حسنًا، سنجمع هنا الحدود المتشابهة، وهذا يعطينا ٢٤٠١ ناقص ٩٨𝑦 زائد اثنين ﺹ تربيع يساوي ١٢٢٥.
في هذه المرحلة، علينا أن ندرك أننا نتعامل مع معادلة تربيعية. وهذا يعني أنه لإيجاد قيمة ﺹ، علينا أن نساوي هذه المعادلة بصفر. إذا طرحنا ١٢٢٥ من الطرفين، فسنحصل على ١١٧٦ ناقص ٩٨𝑦 زائد اثنين ﺹ تربيع يساوي صفرًا. وبما أن المعاملات الثلاثة لدينا أعداد زوجية، يمكننا قسمة الطرفين على اثنين، ما يعطينا ٥٨٨ ناقص ٤٩𝑦 زائد ﺹ تربيع يساوي صفرًا. لكن الأكثر شيوعًا هو أن نكتب ذلك على الصورة ﺹ تربيع ناقص ٤٩𝑦 زائد ٥٨٨. من هنا، يمكننا حل المعادلة باستخدام القانون العام أو عن طريق التحليل. إننا نبحث عن قيمتين حاصل ضربهما يساوي ٥٨٨، ومجموعهما يساوي سالب ٤٩. هاتان القيمتان هما سالب ٢١ وسالب ٢٨. لحل هذه المعادلة، سنساوي كل حد من هذين الحدين بصفر. ونجد بذلك أن ﺹ يساوي ٢١ أو ﺹ يساوي ٢٨.
والآن بعد أن أصبحت لدينا قيمتان ممكنتان لـ ﺹ، يمكننا إيجاد القيم الممكنة لـ ﺱ. وللقيام بذلك، سنعوض بقيمتي ﺹ في المعادلة الثالثة، وهو ما يعطينا ﺱ يساوي ٤٩ ناقص ٢١ أو ﺱ يساوي ٤٩ ناقص ٢٨. نلاحظ هنا أنه إذا كان ﺹ يساوي ٢١، فإن ﺱ يساوي ٢٨. وإذا كان ﺹ يساوي ٢٨، فإن ﺱ يساوي ٢١. هذا يعني أن طول أحد الضلعين يجب أن يساوي ٢٨ سنتيمترًا، وطول الضلع الآخر يساوي ٢١ سنتيمترًا. ويمكننا التأكد من إجابتنا بالتحقق إذا ما كان ٢١ زائد ٢٨ زائد ٣٥ يساوي ٨٤، وهذا صحيح بالفعل.