فيديو الدرس: التحدب ونقاط الانقلاب الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو سوف نتعلم كيف نحدد تحدب الدالة ونقاط انقلابها باستخدام مشتقتها الثانية. قبل أن نتابع، يجب أن نكون متأكدين من قدرتنا على إيجاد المشتقتين الأولى والثانية لأي دالة باستخدام قواعد الاشتقاق القياسية. ويجب أن نكون قادرين أيضًا على إجراء اختبار المشتقة الأولى لتحديد طبيعة النقطة الحرجة.

لفهم ما نقصده بتحدب الدالة، سنتناول ثلاث دوال شائعة للغاية. دعونا نبدأ بمنحنى الدالة ﺩﺱ يساوي ﺱ تربيع. هذا مثال على دالة محدبة لأسفل على مجالها بالكامل. تشير النقطة الحرجة للأسفل. وقيمة ميل الدالة تتزايد على مجالها بالكامل. بعبارة أخرى، قبل النقطة الحرجة، نجد أن ميل الدالة سالب. عند النقطة الحرجة، الميل يساوي صفرًا. وبعد النقطة الحرجة أو نقطة تحول الدالة، نجد أن الميل موجب.

وبالطبع هناك طريقة بديلة للتفكير في ذلك، وهي أنه في حال كان منحنى دالة ما يقع أعلى جميع مماساته خلال فترة ما، نقول إن الدالة محدبة لأسفل على تلك الفترة.

والآن، دعونا نتناول الدالة ﺭﺱ يساوي سالب ﺱ تربيع. هذا مثال على دالة محدبة لأعلى على مجالها بالكامل. هذه المرة، نلاحظ أن النقطة الحرجة تشير لأعلى، بينما تتناقص قيمة الميل على مجال الدالة بالكامل. قبل النقطة الحرجة، الميل يكون موجبًا. وبعدها، تصير قيمة الميل سالبة. بالنظر إلى مماسات المنحنى مرة أخرى، نلاحظ أنه عندما يقع منحنى الدالة أسفل جميع مماساته خلال فترة ما، لا بد أن تكون الدالة محدبة لأعلى على الفترة نفسها.

بهذا نكون قد عرفنا ما نعنيه بأن تكون الدالة محدبة لأسفل ومحدبة لأعلى على فترة ما. وعرفنا أيضًا تأثير ذلك على ميل الدالة خلال الفترة نفسها. تحديدًا، لكي يكون منحنى دالة ما محدبًا لأسفل، لا بد أن يزداد الميل، ولكي يكون محدبًا لأعلى، لا بد أن يتناقص الميل. يمكننا تعميم ذلك بالتفكير في المشتقة الثانية. إذا كان الميل ﺩ شرطة ﺱ يتزايد، فلا بد أن يكون معدل تغير هذا الميل موجبًا. ومعدل تغير الميل، بالطبع، هو ﺩ شرطتان لـ ﺱ. إذن، ستكون الدالة ﺩﺱ لدينا محدبة لأسفل عند أجزاء المنحنى حيث المشتقة الثانية موجبة.

وبالمثل، لكي تكون الدالة ﺭﺱ لدينا محدبة لأعلى، لا بد أن تكون المشتقة الثانية سالبة. هذا يعني في الأساس أن المشتقة الأولى ﺭ شرطة ﺱ ستتناقص على تلك الفترة.

والآن، بعد أن عرفنا ذلك، دعونا نتناول مثالًا مختلفًا قليلًا. في مثال الدالة ﺩﺱ، كنا نتعامل مع قيمة قصوى نسبية. لكن دعونا نفترض أن لدينا الدالة ﻕﺱ يساوي ﺱ تكعيب. هذه الدالة لها بالفعل نقطة حرجة عند نقطة الأصل، أي عند صفر، صفر. لكن هذه النقطة ليست نقطة قيمة عظمى أو قيمة صغرى. في الواقع، على جهتي هذه النقطة الحرجة، نلاحظ أن إشارة الميل لا تتغير، فقبل النقطة الحرجة نجد أن الميل موجب وبعدها نجد أنه موجب أيضًا.

إذن، ما التغيير الذي نلاحظه بشأن تلك النقطة الحرجة؟ عند هذه النقطة يتغير شكل المنحنى من التحدب لأعلى إلى التحدب لأسفل. وتسمى هذه النقطة بنقطة انقلاب. نقطة الانقلاب هي النقطة التي يتغير عندها اتجاه تحدب تلك الدالة. في هذه الحالة، نلاحظ أن المنحنى يتغير من التحدب لأعلى إلى التحدب لأسفل، والعكس قد يكون صحيحًا أيضًا.

في هذا المثال أمامنا، تقع نقطة الانقلاب عند النقطة الحرجة. لكن قد لا يكون هذا هو الحال دائمًا. على سبيل المثال، انظر إلى هذا المنحنى. عند نقطة ما على هذا المنحنى، يتغير اتجاه التحدب من أسفل إلى أعلى. هذه النقطة ليست نقطة حرجة. الميل عند هذه النقطة لا يساوي صفرًا، وبالطبع يمكننا ملاحظة أنه موجود. إذن، من الممكن أن نجد نقطة انقلاب عند نقطة ليست بنقطة حرجة.

الآن، كما فعلنا لتعريف التحدب لأعلى والتحدب لأسفل، يمكننا تعريف نقطة الانقلاب باستخدام المشتقة الثانية. عند هذا النوع من النقاط، قد تكون المشتقة الثانية مساوية لصفر. لكن هذا ليس هو الحال دائمًا. ومن ثم، عندما نجد أن المشتقة الثانية لدينا تساوي صفرًا، علينا تطبيق اختبار المشتقة الأولى أيضًا. هذا يعني أن نتأكد من أن الميل على جهتي تلك النقطة الحرجة له الإشارة نفسها. أو بدلًا من ذلك، نطبق اختبار المشتقة الثانية ونتحقق من أن اتجاه التحدب يتغير عند نقطة الانقلاب هذه. يتغير من التحدب لأعلى إلى التحدب لأسفل أو العكس.

والآن، بعد أن توصلنا إلى التعريفات التي نحتاج إليها، دعونا نعبر عن ذلك بأسلوب أكثر منهجية. يوضح اختبار المشتقة الثانية للدالة ﺩﺱ أنه إذا كانت المشتقة الثانية موجبة على فترة ما ﻑ، تكون الدالة ﺩ محدبة لأسفل على تلك الفترة. وإذا كانت المشتقة الثانية سالبة، تكون الدالة ﺩ محدبة لأعلى على تلك الفترة. أما إذا كانت المشتقة الثانية تساوي صفرًا أو غير معرفة، فقد يكون لدينا نقطة انقلاب.

هناك طريقتان يمكننا من خلالهما التأكد من ذلك. يمكننا التحقق مما إذا كان اتجاه التحدب يتغير. أي، هل يتغير اتجاه تحدب المنحنى من أعلى إلى أسفل أو العكس حول هذه النقطة؟ أو بدلًا من ذلك، يمكننا النظر إلى إشارة المشتقة الأولى. وإذا كانت إشارة المشتقة الأولى على جهتي هذه النقطة لا تتغير، فهذا إشارة جيدة على أنه يوجد لدينا نقطة انقلاب. بأخذ كل ذلك بعين الاعتبار، سنتناول مثالًا حول كيفية حساب الفترات التي تكون خلالها دالة كثيرة الحدود محدبة لأعلى أو لأسفل.

أوجد الفترات التي تكون عليها الدالة ﺩﺱ تساوي سالب أربعة ﺱ أس خمسة زائد ﺱ تكعيب محدبة لأعلى أو محدبة لأسفل.

الدالة ﺩﺱ لدينا هي دالة كثيرة الحدود من الدرجة الخامسة ومطلوب منا تحديد اتجاه تحدبها. نحن نعلم أنه بإمكاننا استخدام المشتقة الثانية لفعل ذلك. وفي الحقيقة، بما أن ﺩﺱ دالة كثيرة الحدود، فإن هذا يعني أنها قابلة للاشتقاق وأنها متصلة على مجالها بالكامل. وهذا يعني أنه يمكننا أن نكون على يقين من قدرتنا على إيجاد المشتقتين الأولى والثانية لهذه الدالة حيث إنهما موجودتان لهذا النوع من الدوال.

إذن، كيف تساعدنا المشتقة الثانية في تحديد اتجاه تحدب أي دالة؟ حسنًا، نعلم أن الدالة تكون محدبة لأعلى على الفترات حيث المشتقة الثانية أقل من صفر، أي سالبة. وتكون محدبة لأسفل على الفترات حيث المشتقة الثانية موجبة، بمعنى آخر عندما يتزايد الميل، أي المشتقة الأولى. لذا، دعونا نبدأ بإيجاد المشتقة الأولى ثم المشتقة الثانية للدالة المعطاة لنا.

سنوجد أولًا المشتقة الأولى. وكما نعلم، يمكننا الاشتقاق حدًّا تلو الآخر. وفقًا لقاعدة القوة للاشتقاق سنضرب الحد بالكامل في الأس ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. ومن ثم، عند اشتقاق سالب أربعة ﺱ أس خمسة بالنسبة إلى ﺱ، نحصل على خمسة مضروبًا في سالب أربعة أس أربعة. وبالمثل، ستكون مشتقة ﺱ تكعيب هي ثلاثة ﺱ تربيع. بهذا، تكون المشتقة الأولى لدينا هي سالب ٢٠ﺱ أس أربعة زائد ثلاثة ﺱ تربيع.

والآن، نكرر العملية نفسها لـ ﺩ شرطتين لـ ﺱ. هذه المرة، اشتقاق حد تلو الآخر ثم التبسيط يعطينا سالب ٨٠ﺱ تكعيب زائد ستة ﺱ. المشتقة الثانية هنا هي كثيرة حدود تكعيبية. وهي تحتوي على معامل رئيسي سالب يمكننا منه التوصل لمعلومات عن شكل المنحنى. هذا يعني أنه إذا فكرنا في المنحنى تحديدًا، فسنتمكن من معرفة المناطق حيث تكون المشتقة الثانية سالبة، والمناطق حيث تكون موجبة.

سنبدأ بتحديد المناطق حيث تكون المشتقة الثانية مساوية لصفر. وبناء على ذلك، سنعرف نقاط تقاطعها مع المحور ﺱ، أو بعبارة أخرى، قيم ﺱ التي يكون عندها سالب ٨٠ﺱ تكعيب زائد ستة ﺱ مساويًا لصفر. بتحليل الطرف الأيمن من المعادلة، نحصل على اثنين ﺱ مضروبًا في سالب ٤٠ﺱ تربيع زائد ثلاثة. ولكي يكون حاصل ضرب هذين التعبيرين صفرًا، يجب أن يكون أحد التعبيرين في حد ذاته مساويًا لصفر. هذا يعني أنه لا بد أن يكون اثنان ﺱ مساويًا لصفر، أو يكون سالب ٤٠ﺱ تربيع زائد ثلاثة مساويًا لصفر.

إذا قسمنا المعادلة الأولى على اثنين، نحصل على ﺱ يساوي صفرًا. وللمعادلة الثانية، سنضيف ٤٠ﺱ تربيع إلى طرفي المعادلة ثم نقسمها بالكامل على ٤٠. بذلك، يصبح لدينا ﺱ تربيع يساوي ثلاثة على ٤٠. لإيجاد قيمة ﺱ، نأخذ موجب وسالب الجذر التربيعي لثلاثة على ٤٠. وبالتبسيط نجد أن ﺱ يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لـ ٣٠ على ٢٠. إذن، نستنتج أن منحنى الدالة التكعيبية سالب ٨٠ﺱ تكعيب زائد ستة ﺱ يقطع المحور ﺱ عند صفر، وسالب وموجب جذر ٣٠ على ٢٠. وبما أن الدالة معاملها الرئيسي سالب، نعلم أيضًا أنها ينبغي أن تبدو بهذا الشكل.

بأخذ ذلك في الاعتبار، دعونا نحدد المناطق حيث تكون المشتقة الثانية سالبة. وبناء على ذلك نحدد الفترة التي تكون فيها الدالة الأصلية ﺩﺱ محدبة لأعلى. نلاحظ أن المشتقة الثانية تحديدًا أقل من صفر. هذا يعني أن منحنى هذه الدالة يقع أسفل المحور ﺱ على الفترتين المفتوحتين «من سالب جذر ٣٠ على ٢٠ إلى صفر»، «ومن جذر ٣٠ على ٢٠ إلى ما لا نهاية». هاتان إذن هما المنطقتان حيث تكون الدالة محدبة لأعلى.

والآن، بعد أن عرفنا ذلك، سنكرر العملية نفسها ونحدد أجزاء المنحنى حيث تكون المشتقة ﺩ شرطتان لـ ﺱ موجبة. بالنظر إلى منحنى 𝑦 يساوي ﺩ شرطتين لـ ﺱ، نجد أن هاتين هما المنطقتان حيث يكون المنحنى فوق المحور ﺱ. ومن ثم، نلاحظ أن ﺩ شرطتين لـ ﺱ أكبر من صفر على الفترتين المفتوحتين «من سالب ما لا نهاية إلى سالب جذر ٣٠ على ٢٠ »، «ومن صفر إلى جذر ٣٠ على ٢٠ ». هاتان هما المنطقتان حيث تكون الدالة الأصلية محدبة لأسفل.

وبهذا نكون قد أجبنا عن السؤال. الدالة ﺩﺱ محدبة لأعلى على الفترتين المفتوحتين «من سالب جذر ٣٠ على ٢٠ إلى صفر»، «ومن جذر ٣٠ على ٢٠ إلى ما لا نهاية». ومحدبة لأسفل على الفترتين المفتوحتين «من سالب ما لا نهاية إلى سالب جذر ٣٠ على ٢٠ »، «ومن صفر إلى جذر ٣٠ على ٢٠ ».

بعد أن أوضحنا كيفية تحديد اتجاه تحدب الدالة، سنتناول كيفية تحديد إذا ما كان لها نقطة انقلاب.

أوجد نقطة الانقلاب على منحنى الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تكعيب ناقص تسعة ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ.

تذكر أنه لكي نوجد نقطة الانقلاب على منحنى أي دالة، علينا تحديد النقطة التي يتغير عندها اتجاه تحدب هذه الدالة. وعلى الرغم من أننا قد نجد نقطة الانقلاب عند النقطة الحرجة، فليس من الضروري أن يكون هذا هو الحال هنا. مع ذلك، يمكننا تحديد المواضع الممكنة لتلك النقطة عن طريق استخدام المشتقة الثانية. فإذا كانت المشتقة الثانية تحديدًا تساوي صفرًا أو غير موجودة، فقد نجد نقطة انقلاب. للتحقق من ذلك، يمكننا التأكد مما إذا كان اتجاه التحدب يتغير على إحدى جهتي هذه النقطة. بمعنى آخر، هل يتغير اتجاه تحدب المنحنى من أعلى إلى أسفل أو العكس؟

الدالة ﺩﺱ كثيرة حدود. وهذا أمر رائع جدًّا لأن هذا يعني أنها متصلة وقابلة للاشتقاق على مجالها بالكامل. في الواقع، عند اشتقاق الدالة ﺩﺱ، نحصل على كثيرة حدود أخرى تكون أيضًا متصلة وقابلة للاشتقاق. وعليه، يمكننا البدء بإيجاد المشتقة الأولى ثم الاشتقاق مرة أخرى للحصول على المشتقة الثانية.

سنقوم بالاشتقاق حدًّا تلو الآخر. مشتقة ﺱ تكعيب بالنسبة إلى ﺱ هي ثلاثة ﺱ تربيع. تذكر أننا نضرب الحد في الأس ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. وبالمثل، باشتقاق سالب تسعة ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ، نحصل على سالب ١٨ﺱ. وأخيرًا، مشتقة ستة ﺱ هي ستة. إذن، المشتقة الأولى، أي ﺩ شرطة ﺱ، تساوي ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ١٨ﺱ زائد ستة.

والآن، سنكرر هذه العملية مرة أخرى لنوجد تعبير المشتقة الثانية. هذه المرة، سنحصل على ستة ﺱ ناقص ١٨. ولمعرفة الموضع الذي قد نجد نقطة الانقلاب عنده، سنساوي هذا بصفر. أي إنه يصبح لدينا ستة ﺱ ناقص ١٨ يساوي صفرًا. لإيجاد قيمة ﺱ، نبدأ بإضافة ١٨ إلى طرفي المعادلة، وهذا يعطينا ١٨ يساوي ستة ﺱ أو ستة ﺱ يساوي ١٨. بعد ذلك، نقسم المعادلة بالكامل على ستة. وبهذا نحصل على ﺱ يساوي ١٨ على ستة أو ببساطة ثلاثة. إذن، يمكننا الاستنتاج أننا قد نجد إحدى نقاط الانقلاب عند النقطة حيث ﺱ يساوي ثلاثة. وهذه هي النقطة التي تساوي المشتقة الثانية عندها صفرًا.

للتحقق من أن هذه نقطة انقلاب بالفعل، سنلقي نظرة على المشتقة الثانية على جهتي النقطة ﺱ يساوي ثلاثة ونرى إذا ما كان اتجاه التحدب يتغير فعليًّا. تحديدًا، دعونا ننظر إلى النقطتين حيث ﺱ يساوي اثنين وﺱ يساوي أربعة. بالتعويض بـ ﺱ يساوي اثنين في تعبير المشتقة الثانية لدينا، نحصل على ستة في اثنين ناقص ١٨، وهو ما يساوي سالب ستة. نحن نعلم أنه عندما تكون المشتقة الثانية سالبة، يكون ميل الدالة متناقصًا. هذا يعني أنه على الفترة حيث تكون المشتقة الثانية سالبة، نجد أن الدالة محدبة لأعلى. ومن ثم، عند النقطة ﺱ يساوي اثنين، نجد أن الدالة محدبة لأعلى.

بتكرار الخطوات نفسها للنقطة حيث ﺱ يساوي أربعة، نجد أن المشتقة الثانية تساوي ستة في أربعة ناقص ١٨ وهو ما يعطينا موجب ستة. هذه المرة، ستكون الدالة ﺩﺱ محدبة لأسفل، وذلك لأن المشتقة الثانية موجبة عند ﺱ يساوي أربعة. وهكذا، نجد أن اتجاه تحدب منحنى الدالة يتغير من أعلى إلى أسفل حول النقطة حيث ﺱ يساوي ثلاثة.

يمكننا إيجاد إحداثيات هذه النقطة كاملة عن طريق التعويض بـ ﺱ يساوي ثلاثة في الدالة الأصلية. ‏ﺩ لثلاثة يساوي ثلاثة تكعيب ناقص تسعة مضروبًا في ثلاثة تربيع زائد ستة في ثلاثة وهو ما يساوي سالب ٣٦. ومن ثم، نستنتج أن نقطة الانقلاب على منحنى الدالة موجودة عند النقطة ثلاثة، سالب ٣٦.

دعونا الآن نلخص النقاط الرئيسية التي تعلمناها في هذا الفيديو. في هذا الفيديو، تعلمنا أنه لأي دالة ﺩﺱ، إذا كانت المشتقة الثانية موجبة على فترة ما، فإن الدالة نفسها تكون محدبة لأسفل على هذه الفترة نفسها. والعكس صحيح. إذا كانت المشتقة الثانية سالبة على تلك الفترة، تكون الدالة ﺩﺱ محدبة لأعلى. وأخيرًا، تكون نقطة الانقلاب موجودة عندما يتغير اتجاه تحدب منحنى الدالة. وهذا يصح عندما تكون ﺩ شرطتان لـ ﺱ تساوي صفرًا أو غير موجودة. لكن هذا المعيار ليس كافيًا بمفرده. لذا، علينا التحقق مما إذا كان اتجاه تحدب المنحنى يتغير أو أن إشارة المشتقة الأولى لا تتغير.