نسخة الفيديو النصية
إذا كانت المصفوفة ﺃ تساوي واحدًا، سالب ١٦، خمسة، اثنين، سالب أربعة، سالب ثلاثة، سالب واحد، سبعة، أربعة، فما أكبر قيمة للعدد ﻙ لا يكون عندها أي عنصر من عناصر ﻙﺃ أكبر من واحد؟
في هذا السؤال، لدينا مصفوفة ﺃ. وعلينا تحديد أكبر قيمة للعدد ﻙ بحيث لا يكون أي عنصر من عناصر ﻙ مضروبًا في ﺃ أكبر من واحد. يحتوي هذا السؤال على الكثير من المعطيات؛ لذلك سنقوم بتحليله. أولًا، نحتاج إلى معرفة ما المقصود بـ ﻙ مضروبًا في ﺃ. تذكر أن ﻙ هو عدد وﺃ مصفوفة، إذن فحاصل ضرب ﻙ في ﺃ هو عدد ثابت مضروب في مصفوفة. وهذا عبارة عن ضرب المصفوفة في عدد ثابت. علينا إذن تذكر كيفية ضرب المصفوفة في عدد ثابت. هذا يعني أن علينا ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة ﺃ في العدد الثابت ﻙ. لنبدأ إذن بإيجاد تعبير لـ ﻙ مضروبًا في ﺃ. علينا أن نضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة ﺃ في ﻙ.
في المصفوفة ﺃ، في الصف الأول والعمود الأول، نجد أن العنصر يساوي واحدًا. إذن، في المصفوفة ﻙ مضروبًا في ﺃ، علينا ضرب واحد في ﻙ. وفي الصف الأول والعمود الثاني من المصفوفة ﺃ، لدينا القيمة سالب ١٦. إذن، في الصف الأول والعمود الثاني من المصفوفة ﻙ في ﺃ، علينا ضرب هذه القيمة التي تساوي سالب ١٦ في ﻙ. ويمكننا تطبيق هذه العملية على بقية عناصر المصفوفة. وبذلك نحصل على مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة تمثل ﻙ مضروبًا في ﺃ. كل ما فعلناه هو ضرب كل عنصر داخل ﺃ في العدد الثابت ﻙ.
بالطبع يمكننا تبسيط ذلك. كل ما سنفعله هو تبسيط كل عنصر داخل المصفوفة. وبذلك نحصل على المصفوفة التالية التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة. والآن، تذكر أن السؤال يطلب منا إيجاد أكبر عدد ﻙ بحيث لا يكون أي عنصر في هذه المصفوفة أكبر من واحد. بعبارة أخرى، علينا إيجاد أكبر قيمة لـ ﻙ بحيث لا يكون أي عنصر داخل هذه المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة أكبر من واحد. ما يعني أنه بالنظر إلى كل عنصر على حدة، يمكننا تكوين نظام من المتباينات. العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول في المصفوفة هو ﻙ. وتذكر أن السؤال يطلب منا ألا يكون أي عنصر لـ ﻙ مضروبًا في ﺃ أكبر من واحد. لذا، فإن ﻙ يجب أن يكون أصغر من أو يساوي واحدًا.
يمكننا تكوين متباينة مشابهة بالنظر إلى العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني. هذا العنصر هو سالب ١٦ﻙ. وبما أنه لا يمكن أن يكون أكبر من واحد، فهو أقل من أو يساوي واحدًا. باستخدام نفس الطريقة، يمكننا إيجاد سبع متباينات أخرى بالنظر إلى العناصر السبع الأخرى في المصفوفة. هذا يعطينا المتباينات التسع التالية. كل هذه المتباينات يجب أن تكون صحيحة بحيث لا يكون أي عنصر لـ ﻙ في ﺃ أكبر من واحد. حل نظام المتباينات يشبه تمامًا حل نظام من المعادلات.
لكن علينا الانتباه. تذكر أنه إذا قمنا بقسمة طرفي متباينة على عدد سالب أو ضربهما في عدد سالب، فعلينا تبديل علامة المتباينة. وهذا قد يجعل التعامل مع المتباينات صعبًا للغاية. توجد بضعة طرق مختلفة لحل المسألة. لن نستعرض سوى طريقة واحدة فقط. تذكر أن السؤال يطلب منا إيجاد أكبر عدد ﻙ بحيث تكون المتباينات صحيحة. لذا، سنبدأ بافتراض أن قيمة ﻙ موجبة. إذا وجدنا قيمة موجبة لـ ﻙ، فلن نحتاج حتى إلى التحقق من وجود قيم سالبة لـ ﻙ لأنها ستكون أصغر. وما يعنينا الآن هو أكبر قيمة.
وهذا الأمر مفيد جدًّا لأن حاصل ضرب عدد سالب في عدد موجب يكون سالبًا. لذا، سيكون دائمًا أقل من أو يساوي واحدًا. إذن، كل المتباينات التي يكون معامل ﻙ بها سالبًا ستكون حتمًا صحيحة. سالب ١٦ﻙ يساوي قيمة سالبة، وسالب أربعة ﻙ يساوي قيمة سالبة، وسالب ثلاثة ﻙ يساوي قيمة سالبة، وسالب ﻙ يساوي قيمة سالبة. إذن، جميع هذه القيم أقل من أو تساوي واحدًا. لذا كان ﻙ عددًا موجبًا، تكون هذه المتباينات الأربع صحيحة بالفعل. وكل ما علينا فعله عندئذ هو جعل المتباينات الخمس المتبقية صحيحة.
توجد العديد من الطرق المختلفة لفعل ذلك. وأسهل طريقة هي إعادة ترتيب كل متباينة لإيجاد قيمة ﻙ. على سبيل المثال، المتباينة الأولى بدلالة ﻙ. لدينا ﻙ أصغر من أو يساوي واحدًا. ويمكننا تغيير المتباينة الثالثة بقسمة كلا طرفي المتباينة على خمسة. وعندما نفعل ذلك، سنتأكد من أن ﻙ يجب أن يكون أصغر من أو يساوي خمسًا. ويمكننا فعل الأمر نفسه تمامًا مع المتباينات الثلاث الأخرى ذات المعاملات الموجبة. فقط سنقسم الطرفين على المعامل. فنحصل على ﻙ أصغر من أو يساوي نصفًا، وﻙ أقل من أو يساوي واحدًا على سبعة، وﻙ أقل من أو يساوي ربعًا. ولا ننسى المتباينة الأولى، ﻙ يجب أن يكون أصغر من أو يساوي واحدًا.
نحتاج أن تكون كل هذه المتباينات صحيحة عند التعويض بقيمة ﻙ. لكن كل هذا يؤكد أن ﻙ يجب أن يكون عددًا موجبًا ويجب أن يكون أقل من أو يساوي قائمة من بعض القيم. ولكي يكون ﻙ أصغر من أو يساوي كل هذه القيم، كل ما علينا فعله هو أن نجعل ﻙ أقل من أو يساوي أصغر هذه القيم. بالطبع، أصغر عدد من هذه الأعداد الموجبة هو واحد على سبعة لأننا نقسم على أكبر عدد موجب. وعليه، إذا كان ﻙ أصغر من أو يساوي واحدًا على سبعة، فيمكننا استنتاج أن ﻙ أصغر من أو يساوي واحدًا. وأيضًا أصغر من أو يساوي واحدًا على خمسة ونصفًا وربعًا؛ لأن واحدًا على سبعة أصغر منها جميعًا.
في الواقع، هذا يكفي للإجابة عن السؤال. نعلم أنه إذا كانت قيمة ﻙ موجبة، فلا بد أن يكون ﻙ أصغر من أو يساوي واحدًا على سبعة أيضًا. نريد معرفة أكبر هذه القيم. وذلك سيكون عند ﻙ تساوي واحدًا على سبعة. وبذلك، نكون قد حصلنا على الإجابة وهي واحد على سبعة. جدير بالذكر هنا، أن هذه القيم ليست القيم الوحيدة لـ ﻙ التي ستحل المعادلة لأننا نفترض أن ﻙ سيكون موجبًا. توجد أيضًا قيم غير موجبة لـ ﻙ لها هذه الخاصية كذلك. على سبيل المثال، ﻙ يساوي صفرًا له نفس الخاصية أيضًا، لكننا أردنا أن نحصل على أكبر قيمة لـ ﻙ وجميع هذه القيم ستكون أصغر من ذلك.
من ثم، بمعلومية المصفوفة ﺃ التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة، تمكننا من أن نبين أن أكبر قيمة للعدد ﻙ، والتي لا تزيد عندها قيمة أي عنصر من عناصر ﻙﺃ عن واحد، هي واحد على سبعة.
